中考数学轨迹专题练习(含解析).pdf

4D 专题一 轨迹专题一 轨迹 1 如图 已知 ABC C 90 A 30 BC 2 动点D在边 AC 上 以BD为边作等边 BDE 点 E A 在BD的同侧 在点D 从点 A 移动至点 C 的过程中 点 E 移动的路线为 A B 2 2 如图 把直角 ABC 的斜边 AC 放在直线 l 上 按顺时针的方向在直线 l 上转动两次 使它转到 A2B1C2的位置 设 AB BAC 30 则顶点 A 运动到点 A2的位置时 点 A 所经过的路线为 A B C 2 D 3 如图 在 Rt ABC 中 A 20 AC 6 将 ABC 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转得到 A B C 当点 B 第一次落在 AB 边上 时 点 A 经过的路径长 即的长 为 A B C 2 D 4 如图 Rt ABC 中 AB AC 3 点 D 是 AB 上一点 以 CD 为边作等边 CDE 使 A E 位于 BC 异侧 当 D 点从 A 点运动到 B 点 E 点运动的路径长为 A 3B 2C 3D 3 5 如图 AB为 O 的直径 且 AB 8 点 C 在半圆上 OC AB 垂足为点 O PBC 上任意一点 过 P 点作 PE OC 于点 E M是 OPE 的内心 连接 OM PM 当点 P 在弧 BC 上从点 B 运动到点 C 时 求内心 M 所经过的路径长 A B 2C D 6 如图 将边长为cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻动 不滑动 当正方形连续翻动 6 次后 正方形的中心 O 经过的路线长是 A 2 B 3 C 4 D 5 7 如图 在平面直角坐标系中 A B 两点的坐标分别是 0 4 0 4 点 C 是 x 轴上一个动点 过点 B 作直线BH AC 于点H 过点 C 作 CD y 轴 交 BH 于点 D 点 C 在 x 轴上运动的过程中 点 D 不可能经过的点是 A 2 3 B 1 3 C 4 0 D 0 4 8 如图 已知 Rt ABC 中 C 90 ABC 30 AB 6cm 将 ABC 绕着点 B 顺时针旋转至 A BC 的位置 且 A B C 三点在同一条直线上 则点 C 经过的路线的长度是 A 12cmB C D 9 如图 在菱形 ABCD 中 BAD 120 AB 2 点 E 是 AB 边上的动点 过点 B 作直线 CE 的垂线 垂足为 F 当点 E 从点 A 运动 到点 B 时 点 F 的运动路径长为 A B C D 10 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E F 分别在边 AB BC 上 AE BF 1 动点 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动 每当碰到正方 形的边时反弹 反弹时反射角等于入射角 经过若干次反弹 当动点 P 第一次回到点 E 时 动点 P 所经过的路程长为 A 4B 8C 8D 8 11 正方形 ABCD 的边长为 4 P 为 BC 边上的动点 连接 AP 作 PQ PA交 CD 边于点 Q 当点 P 从 B 运动到 C 时 线段 AQ 的中点 M 所经过的路径长 A 2B 1C 12 如图 矩形 ABCD 中 AB 9 AD 12 将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两次旋转 则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是 A B 13 C D 14 13 如图 抛物线 y x2 x 4 分别交 x 轴于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 动点 P 从 D 0 2 出发 先到达 x 轴上的某点 E 再到达抛物线对称轴上的某点 F 最后运动到点 C 求点 P 运动的最短路径长 为 A B 8C 7D 9 C D 14 如图 等腰 Rt ABC 中 斜边 AB 的长为 2 O 为 AB 的中点 P 为 AC 边上的动点 OQ OP 交 BC 于点 Q M 为 PQ 的中点 当点 P 从点 A 运动到点 C 时 点 M 所经过的路线长为 15 如图 在 ABCD 中 DAB 60 AB 10 AD 6 O 分别切边 AB AD于点 E F 且圆心 O 恰好落在 DE 上 现将 O 沿 AB 方向滚动到与边 BC 相切 点O在 ABCD的内部 则圆心O移动的路径长为 A 4B 6C 7 D 10 2 16 如图 O 的半径为 2 AB CD 是互相垂直的两条直径 点 P 是 O 上任意一点 过点 P 作 PM AB 于点 M PN CD 于点 N 点 Q 是 MN 的中点 当点 P 从点 A 运动到点 D 时 点 Q 所经过的路径长为 A B C D 17 如图 已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个 AC x 轴于点 M 交直线 y x 于点 N 若点 P 是线段 ON 上的一个动点 以 AP 为边向 AP 右侧作等边三角形 APB 取线段 AB 的中点 H 当点 P 从点 O 运动到点 N 时 点 H 运动的路径长是 A 2B 1C D 18 如图 ABC 为 O 的内接三角形 BC 24 A 60 点 D 为弧 BC 上一动点 CE 垂直直线 OD 于点 E 当点 D 由 B 点沿弧 BC 运动到点 C 时 点 E 经过的路径长为 A 8 B 18C D 36 20 如图 四边形 ABCD 是正方形 动点 E F 分别从 D C 两点同时出发 以相同的速度分别在边 DC CB 上移动 当点 E 运动到点 C 时都停止运动 DF 与 AE 相交于点 P 若 AD 8 则点 P 运动的路径长为 A 8B 4C 4 D 2 21 如图 矩形 ABCD 的边 AB 3cm AD 4cm 点 E 从点 A 出发 沿射线 AD 移动 以 CE 为直径作 O 点 F 为 O 与射线 BD 的公共点 连接 EF 过点 E 作 EG EF 交 O 于点 G 当 O 与射线 BD 相切时 点 E 停止移动 则在运动过程中点 G 移动路程的长为 A 4cmB cmC cmD cm 22 如图 水平地面上有一面积为 30 cm2的灰色扇形 OAB 其中 OA 6cm 且 OA 垂直于地面 将这个扇形向右滚动 无滑动 至点 B 刚好接触地面为止 则在这个滚动过程中 点 O 移动的距离是 A 10 cmB 20 cmC 24 cmD 30 cm 23 如图 已知扇形 AOB 中 OA 3 AOB 120 C 是在上的动点 以 BC 为边作正方形 BCDE 当点 C 从点 A 移动至点 B 时 点 D 经过的路径长是 25 如图 四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形 点 C D 在边 AB 上 且 AC DB 1 点 P 是线段 CD 上的动点 分别以 AP PB 为边在 线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP 1 正方形 AMNP 和正方形 BRQP 的面积之和的最大值是 2 E F 分别为 MN QR 的中点 连接 EF 设 EF 的中点为 G 则当点 P 从点 C 运动到点 D 时 点 G 移动的路径长为 26 如图 边长为 20 厘米的正方形木块在水平桌面上 距离 C 点 40 厘米的 E 处有一与水平方向成 30 角的斜置木板 木板长度为 1 米 现 将正方形木块水平向右无滑动翻滚 若使正方形木块 AB 边完全落在木板上 则正方形的中心点 O 经过的路径长为 27 如图 Rt ABC 中 C 90 AB 5 BC 4 点 G 为边 BC 的中点 点 D 从点 C 出发沿 CA 向点 A 运动 到点 A 停止 以 GD 为边作正方形 DEFG 则点 E 运动的路程为 28 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E 为 AD 的延长线上一点 点 P 为边 AD 上一动点 且 PC PG PG PC 点 F 为 EG 的中点 当点 P 从 D 点运动到 A 点时 则点 F 运动的路径长为 A B C 1D 2 29 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 将长为 4 的线段 QR 的两 端放在正方形的相邻的两边上同时滑动 如果点 Q 从点 A 出发 沿图 中所示方向按 A B C D A 滑动到 A 止 同时点 R 从点 B 出发 沿图中所示方向按 B C D A B 滑动到 B 止 在这个过程中 线 段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为 30 如图 O 的半径为 1 O 沿着边长为 4 的正方形 ABCD 的外边缘滚动一圈 则圆心 O 的运动路径长为 31 已知正方形 ABCD 的边长是 2 点 P 从点 D 出发沿 DB 向点 B 运动 至点 B 停止运动 连结 AP 过点 B 作 BH AP 于点 H 在点 P 运动过程中 点 H 所走过的路径长是 32 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E 是边 AD 上一点 且 ED AD 点 F 在 AB 上且从点 B 向点 A 运动 连接 EF 并延长交 CD 的延长线于点 G 过点 E 作 EH FG 交 BC 的延长线于点 H 点 O 是 EH 的中点 则点 O 的运动路径长为 33 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 点 P 为 BC 边上的动点 连接 AP 作 PQ AP 交 CD 于点 Q 连接 AQ 当点 P 从 B 点运动到 C 点时 线段 AQ 的中点所经过的路径长为 3 5 如图 正方形 ABCD 边长为 a 正方形 BEFG 边长为 b A B E 在同一直线上 两个正方形在同侧 连 AG 与 DF 交于 P 1 如 a 2 b 1 则 DF 2 如 a 2 b 是一个变量 在 b 的变化过程中 动点 P 运动的路径为 3 6 如图是一个边长为 4 的正方形 长为 4 的线段 PQ 的两端在正方形相邻的两边上滑动 且点 P 沿 A B C D 滑动到点 D 终止 在 整个滑动过程中 PQ 的中点 R 所经过的路线长为 3 7 如图 AB 为 O 的直径 且 AB 4 点 C 在半圆上 OC AB 垂足为点 O P 为半圆上任意一点 过 P 点作 PE OC 于点 E 设 OPE 的内心为 M 连接 OM PM 当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时 内心 M 所经过的路径长为 3 8 如图 线段 AB 上有 C D 两点 AB 6 AC BD 1 点 P 是线段 CD 上的一个动点 分别以 PA PB 为斜边在线段 AB 的同侧作等腰 直角三角形 MAP 和等腰直角三角形 NBP 连接 MN 当点 P 从点 C 运动到点D的过程中 PMN 的外接圆圆心经过的路程是 3 9 如图 等腰 Rt ABC 中 斜边 AB 的长为 2 O 为 AB 的中点 P 为 AC 边上的动点 OQ OP 交 BC 于点 Q M 为 PQ 的中点 当点 P 从点 A 运动到点 C 时 点 M 所经过的路线长为 4 0 已知一个半圆形工件 未搬动前如图中阴影部分所示 其直径平行于地面 l 现将其按图示方法翻滚一周 使其直径依然平行于地面 l 已知半圆的直径为 2m 则圆心 O 所终过的路线长是 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 22 小题 小题 1 2017 沭阳县校级模拟 如图 已知 ABC C 90 A 30 BC 2 动点 D 在边 AC 上 以 BD 为边作 等边 BDE 点 E A 在 BD 的同侧 在点 D 从点 A 移动至点 C 的过程中 点 E 移动的路线为 A B 2C D 分析 作 EF AB 垂足为 F 连接 CF 由 EBF DBC 推出点 E 在 AB 的垂直平分线上 在点 D 从点 A 移动至 点 C 的过程中 点 E 移动的路线和点 D 运动的路线相等 由此即可解决问题 解答 解 如图 作 EF AB 垂足为 F 连接 CF ACB 90 A 30 ABC 60 EBD 是等边三角形 BE BD EBD 60 EBD ABC EBF DBC 在 EBF 和 DBC 中 EBF DBC BF BC EF CD FBC 60 BFC 是等边三角形 CF BF BC BC AB BF AB AF FB 点 E 在 AB 的垂直平分线上 在点 D 从点 A 移动至点 C 的过程中 点 E 移动的路线和点 D 运动的路线相等 在点 D 从点 A 移动至点 C 的过程中 点 E 移动的路线为 2 故选 B 点评 本题考查轨迹 等边三角形的性质 全等三角形的判定和性质等知识 解题的关键是添加辅助线构造全等三 角形 正确找到点 E 的运动路线 属于中考常考题型 2 2018 秋 辽源期末 如图 把直角 ABC 的斜边 AC 放在直线 l 上 按顺时针的方向在直线 l 上转动两次 使它转 到 A2B1C2的位置 设 AB BAC 30 则顶点 A 运动到点 A2的位置时 点 A 所经过的路线为 A B C 2 D 分析 A 点所经过的弧长有两段 以 C 为圆心 CA 长为半径 ACA1为圆心角的弧长 以 B1为圆心 AB 长 为半径 A1B1A2为圆心角的弧长 分别求出两段弧长 然后相加即可得到所求的结论 解答 解 在 Rt ABC 中 AB BAC 30 ACB 60 AC 2 由分析知 点 A 经过的路程是由两段弧长所构成的 A A1段的弧长 L1 A1 A2段的弧长 L2 点 A 所经过的路线为 故选 A 点评 本题考查的是弧长的计算 30 度角直角三角形的性质 旋转的性质 难点在于与动点知识相结合 但是只要 将运动的过程分解清楚 就能顺利作答 3 2017 秋 温州期末 如图 在 Rt ABC 中 A 20 AC 6 将 ABC 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转得到 A B C 当点 B 第一次落在 AB 边上时 点 A 经过的路径长 即的长 为 A B C 2 D 分析 根据三角形的内角和得到 B 70 根据旋转的性质得到 BC B C 根据等腰三角形的性质得到 BB C B 70 求得 ACA 40 根据弧长的公式即可得到结论 解答 解 ACB 90 A 20 B 70 将 ABC 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转得到 A B C BC B C BB C B 70 BCB 40 ACA 40 点 A 经过的路径长 故选 B 点评 本题考查了轨迹 符合一定条件的动点所形成的图形为点运动的轨迹 也考查了旋转的性质和弧长公式 4 2018 秋 江汉区校级月考 如图 Rt ABC 中 AB AC 3 点D 是 AB 上一点 以 CD 为边作等边 CDE 使 A E 位于 BC 异侧 当 D 点从 A 点运动到 B 点 E 点运动的路径长为 A 3B 2C 3D 3 分析 如图 作等边三角形 BCH 连接 EH 由 DCB ECH SAS 推出 BD EH 可得点 E 的运动轨迹 线 段 AB 的长 3 解答 解 如图 作等边三角形 BCH 连接 EH CDE BCH 都是等边三角形 DCE BCH DCB ECH CD CE CB CH DCB ECH SAS BD EH 点 E 的运动轨迹 线段 AB 的长 3 故选 A 点评 本题考查等边三角形的性质 全等三角形的判定和性质 轨迹等知识 解题的关键是正确寻找点 E 的运动轨 迹 属于中考常考题型 5 2018 秋 梁溪区校级期中 如图 AB 为 O 的直径 且 AB 8 点 C 在半圆上 OC AB 垂足为点 O PBC 上 任意一点 过 P 点作 PE OC 于点 E M 是 OPE 的内心 连接 OM PM 当点 P 在弧 BC 上从点 B 运动到点 C 时 求内心 M 所经过的路径长 A B 2C D 分析 首先证明 CMO PMO 135 推出当点 P 在弧 BC 上从点 B 运动到点 C 时 点 M 在以 OC 为弦 并且 所对的圆周角为 135 的劣弧上 利用弧长公式计算即可解决问题 解答 解 OPE 的内心为 M MOP MOC MPO MPE PMO 180 MPO MOP 180 EOP OPE PE OC 即 PEO 90 PMO 180 EOP OPE 180 180 90 135 OP OC OM OM 而 MOP MOC OPM OCM CMO PMO 135 所以当点 P 在弧 BC 上从点 B 运动到点 C 时 点 M 在以 OC 为弦 并且所对的圆周角为 135 的劣弧上 点 M 在扇形 BOC 内时 过 C M O 三点作 O 连 O C O O 在优弧 CO 取点 D 连 DA DO CMO 135 CDO 180 135 45 CO O 90 而 OA 2cm O O OC 4 2 弧 OMC 的长 cm 故选 D 点评 本题考查了弧长的计算公式 l 其中 l 表示弧长 n 表示弧所对的圆心角的度数 同时考查了三角形 内心的性质 三角形全等的判定与性质 圆周角定理和圆的内接四边形的性质 解题的关键是正确寻找点 M 的运动轨 迹 属于中考选择题中的压轴题 6 2018 红花岗区校级二模 如图 将边长为cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻动 不滑动 当正方形连续翻动 6 次后 正方形的中心 O 经过的路线长是 A 2 B 3 C 4 D 5 分析 根据题意 画出正方形 ABCD 滚动 时中心 O 所经过的轨迹 然后根据弧长的计算公式求得中心 O 所经过 的路程 解答 解 正方形 ABCD 的边长为cm 正方形的对角线长是 2cm 翻动一次中心经过的路线的半径是以对角线的一半为半 径 圆心角是 90 度的弧 则中心经过的路线长是 6 3 cm 故选 B 点评 本题考查了弧长的计算 正方形的性质以及旋转的性质 在半径是 R 的圆中 因为 360 的圆心角所对的弧 长就等于圆周长 C 2 R 所以 n 圆心角所对的弧长为 l n R 180 7 2017 秋 长兴县期末 如图 在平面直角坐标系中 A B 两点的坐标分别是 0 4 0 4 点 C 是 x 轴上 一个动点 过点 B 作直线 BH AC 于点 H 过点 C 作 CD y 轴 交 BH 于点 D 点 C 在 x 轴上运动的过程中 点 D 不可能经过的点是 A 2 3 B 1 3 C 4 0 D 0 4 分析 利用特殊值法解决问题即可 解答 解 当点 C 坐标为 2 0 时 直线 AC 的解析式为 y 2x 4 直线 BC 的解析式为 y x 4 CD y 轴 D 2 3 当点 C 的坐标为 4 0 时 点 D 与点 C 重合 D 4 0 当点 C 的坐标为 0 0 时 点 D 与点 B 重合中 D 0 4 点 D 的坐标可以为 2 3 4 0 0 4 故选 B 点评 本题考查轨迹 坐标与图形性质 一次函数的应用等知识 解题的关键是学会利用特殊值法解决问题 属于 中考常考题型 8 2017 秋 白云区期末 如图 已知 Rt ABC 中 C 90 ABC 30 AB 6cm 将 ABC 绕着点 B 顺时针 旋转至 A BC 的位置 且 A B C 三点在同一条直线上 则点 C 经过的路线的长度是 A 12cmB C D 分析 由题意可得 BC 的长度 CBC 的度数 由弧长公式可求点 C 经过的路线的长度 解答 解 C 90 ABC 30 AB 6cm AC 3 BC AC 3 将 ABC 绕着点 B 顺时针旋转至 A BC 的位置 且 A B C 三点在同一条直线上 CBC 150 则点 C 经过的路线的长度为 故选 C 点评 本题考查了点的轨迹 旋转的性质 利用弧长公式求轨迹是本题的关键 9 2018 港南区二模 如图 在菱形 ABCD 中 BAD 120 AB 2 点 E 是 AB 边上的动点 过点 B 作直线 C 的垂线 垂足为 F 当点 E 从点 A 运动到点 B 时 点 F 的运动路径长为 A B C D 分析 因为 AFB 90 推出点 F 的运动轨迹是以 BC 为直径的 圆弧 BM 求出圆心角 BOM 即可解决问题 解答 解 如图 取 AB 的中点 O 连接 OF AFB 90 点 F 的运动轨迹是以 BC 为直径的 圆弧 BM 当点 E 与 A 重合时 点 F 与 AC 中点 M 重合 四边形 ABCD 是菱形 BAD 120 BCM 60 OM OC OB 1 OMC 是等边三角形 MOC 60 BOM 120 的长 故选 B 点评 本题考查轨迹 菱形的性质 弧长公式 等边三角形的判定和性质等知识 解题的关键是学会准确寻找点的 运动轨迹 所以中考常考题型 10 2018 梁溪区二模 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E F 分别在边 AB BC 上 AE BF 1 动点 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动 每当碰到正方形的边时反弹 反弹时反射角等于入射角 经过若干次反弹 当动点 P 第一次 回到点 E 时 动点 P 所经过的路程长为 A 4B 8C 8D 8 分析 根据已知中的点 E F 的位置 可知入射角的正切值为 通过相似三角形 来确定反射后的点的位置 从而 可得反射的次数 再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度 解答 解 根据已知中的点 E F 的位置 可知入射角的正切值为 第一次碰撞点为 F 在反射的过程中 根据入 射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得 第二次碰撞点为 G 在 DA 上 且 DG DA 第三次碰撞点为 H 在 DC 上 且 DH DC 第四次碰撞点为 M 在 CB 上 且 CM BC 第五次碰撞点为 N 在 DA 上 且 AN AD 第六次回到 E 点 AE AB 由勾股定理可以得出 EF FG GH HM MN NE 故小球经过的路程为 8 故选 C 点评 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用 通过相似三角形的性质来确定反射后的点的位置 从而 可得反射的次数 由勾股定理来确定小球经过的路程 是一道数学物理学科综合试题 难度较大 11 2018 江阴市二模 正方形 ABCD 的边长为 4 P 为 BC 边上的动点 连接 AP 作 PQ PA 交 CD 边于点 Q 当点 P 从 B 运动到 C 时 线段 AQ 的中点 M 所经过的路径长 A 2B 1C 4D 分析 由题意知 PQ AP 即 APB QPC 90 BAP APB 180 B 90 所以 QPC BAP 又 B C 即 ABP PCQ 由相似三角形的性质可得 CQ BP 又 BP x PC BC BP 4 x AB 4 将其代入该式求出 CQ 的值即可 利用 配方法 求该函数的最大值 易知点 M 的运动轨迹是 M O M CQ 最大时 OM CQ 解答 解 如图 连接 AC 设 AC 的中点为 O 设 BP 的长为 xcm CQ 的长为 ycm 四边形 ABCD 是正方形 B C 90 PQ AP APB QPC 90 APB BAP 90 BAP QPC ABP PCQ 即 y x2 x x 2 2 1 0 x 4 当 x 2 时 y 有最大值 1cm 易知点 M 的运动轨迹是 M O M CQ 最大时 MO CQ 点 M 的运动轨迹的路径的长为 2OM 1 故选 B 点评 本题主要考查正方形的性质 二次函数的应用 三角形的中位线定理等知识 关键在于理解题意运用三角形 的相似性质求出 y 与 x 之间的函数关系 学会探究点 M 的运动轨迹 12 2018 鱼台县三模 如图 矩形 ABCD 中 AB 9 AD 12 将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两 次旋转 则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是 A B 13 C D 14 分析 如答图所示 第一次旋转 以点 D 为旋转中心 旋转角 ADA 90 第二次旋转 以点 C 为旋转中 心 旋转角 B C B 90 然后依据扇形的弧长公式求解即可 解答 解 如图所示 AB 9 AD 12 BD 15 第一次旋转 以点 D 为旋转中心 旋转角 ADA 90 第二次旋转 以点 C 为旋转中心 旋转角 B C B 90 点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长 故选 C 点评 本题主要考查的是旋转的性质 扇形的弧长公式的应用 确定出旋转中心 旋转角的大小以及旋转半径的大 小是解题的关键 13 2018 兰州模拟 如图 抛物线 y x2 x 4 分别交 x 轴于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 动点 P 从 D 0 2 出发 先到达 x 轴上的某点 E 再到达抛物线对称轴上的某点 F 最后运动到点 C 求点 P 运动的最短路径长为 A B 8C 7D 9 分析 根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解 可做 C 点关于直线 x 的对称点 C 做 D 点关于 x 轴的 对称点 D 连接 C D 那么 E F 就是直线 C D 与 x 轴和抛物线对称轴的交点 求出长度即可 解答 解 作 C 点关于直线 x 的对称点 C 做 D 点关于 x 轴的对称点 D 连接 C D 则 E F 就是直线 C D 与 x 轴和抛物线对称轴的交点 此时 C D 即为点 P 运动的最短路径长 则有 C 5 4 D 0 2 故点 P 运动的最短路径长 C D 故选 A 点评 此题主要考查了轨迹 二次函数的性质 抛物线与 x 轴的交点 以及利用对称求最小值问题等知识 得出 C D 点的坐标是解题关键 14 2018 荆门 如图 等腰 Rt ABC 中 斜边 AB 的长为 2 O 为 AB 的中点 P 为 AC 边上的动点 OQ OP 交 BC 于点 Q M 为 PQ 的中点 当点 P 从点 A 运动到点 C 时 点 M 所经过的路线长为 A B C 1D 2 分析 连接 OC OM CM 如图 利用斜边上的中线性质得到 OM PQ CM PQ 则 OM CM 于是可判 断点 M 在 OC 的垂直平分线上 则点 M 运动的轨迹为 ABC 的中位线 然后根据三角形中位线性质求解 解答 解 连接 OC OM CM 如图 M 为 PQ 的中点 OM PQ CM PQ OM CM 点 M 在 OC 的垂直平分线上 点 M 运动的轨迹为 ABC 的中位线 点 M 所经过的路线长 AB 1 故选 C 点评 本题考查了轨迹 通过计算确定动点在运动过程中不变的量 从而得到运动的轨迹 也考查了等腰直角三角 形的性质 15 2018 鹿城区模拟 如图 在 ABCD 中 DAB 60 AB 10 AD 6 O 分别切边 AB AD 于点 E F 且圆心 O 恰好落在 DE 上 现将 O 沿 AB 方向滚动到与边 BC 相切 点 O 在 ABCD 的内部 则圆心 O 移动的路 径长为 A 4B 6C 7 D 10 2 分析 图所示 O 滚过的路程即线段 EN 的长度 EN AB AE BN 所以只需求 AE BN 的长度即可 分别根据 AE 和 BN 所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可 解答 解 连接 OE OA BO AB AD 分别与 O 相切于点 E F OE AB OF AD OAE OAD 30 在 Rt ADE 中 AD 6 ADE 30 AE AD 3 OE AE AD BC DAB 60 ABC 120 设当运动停止时 O 与 BC AB 分别相切于点 M N 连接 ON OM 同理可得 BON 为 30 且 ON 为 BN ON tan30 1cm EN AB AE BN 10 3 1 6 O 滚过的路程为 6 故选 B 点评 此题考查了切线的性质 平行四边形的性质及解直角三角形等知识点 关键时计算出 AE 和 BN 的长度 16 2018 荆门二模 如图 O 的半径为 2 AB CD 是互相垂直的两条直径 点 P 是 O 上任意一点 过点 P 作 PM AB 于点 M PN CD 于点 N 点 Q 是 MN 的中点 当点 P 从点 A 运动到点 D 时 点 Q 所经过的路径长为 A B C D 分析 OP 的长度不变 始终等于半径 则根据矩形的性质可得 OQ 1 再由走过的角度代入弧长公式即可 解答 解 如图所示 PM y 轴于点 M PN x 轴于点 N 四边形 ONPM 是矩形 又 点 Q 为 MN 的中点 点 Q 为 OP 的中点 则 OQ 1 点 Q 走过的路径长 故 选 C 点评 本题考查了弧长的计算及矩形的性质 解答本题的关键是根据矩形的性质得出点 Q 运动轨迹的半径 要求同 学们熟练掌握弧长的计算公式 17 2018 句容市一模 如图 已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个 AC x 轴于点 M 交直线 y x 于点 N 若点 P 是线段 ON 上的一个动点 以 AP 为边向 AP 右侧作等边三角形 APB 取线段 AB 的中点 H 当点 P 从点 O 运动到点 N 时 点 H 运动的路径长是 A 2B 1C D 分析 根据已知条件得到 B1B2的运动轨迹也为直线 根据等边三角形的性质得到 1 3 根据全等三角形的性质 得到 B1B2 ON 求得 M 0 N 求得 ON 2 B1B2 根据三角形的中位线的性质得到结论 解答 解 由上图可知 当 P 在 O 点时 AOB1为正三角形 当 P 在 N 点时 ANB2为正三角形 H1 H2分别为 AB1与 AB2的中点 P 在直线 ON 上运动 AB2N 60 为定值 B1B2的运动轨迹也为直线 OAB1为正三角形 OAB1 1 2 60 同理 NAB2 2 3 60 1 3 在 OAN 与 B1AB2中 OAN B1AB2 B1B2 ON 点 A 横坐标为 AN x 轴 M 0 直线 ON 的解析式为 y x MON 45 N ON 2 B1B2 H1 H2分别为 AB1与 AB2的中点 H1H2 B1B2 1 故选 B 点评 本题考查了轨迹 等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 三角形的中位线的性质 正确的作出图形 是解题的关键 18 2018 惠山区一模 如图 ABC 为 O 的内接三角形 BC 24 A 60 点 D 为弧 BC 上一动点 CE 垂直 直线 OD 于点 E 当点 D 由 B 点沿弧 BC 运动到点 C 时 点 E 经过的路径长为 A 8 B 18C D 36 分析 如图 作 OH BC 于 H 设 OC 的中点为 K 当 E 的运动轨迹是以 OC 为直径的园弧 圆心角为 240 根 据弧长公式计算即可 解答 解 如图 作 OH BC 于 H 设 OC 的中点为 K OH BC BH CH 12 A 60 COH 60 OCH 30 OC 8 CEO 90 当 E 的运动轨迹是以 OC 为直径的园弧 圆心角为 240 点 E 经过的路径长 故选 C 点评 本题考查三角形的外心与外接圆 轨迹等知识 解题的关键是正确寻找点 E 的运动轨迹 属于中考常考题型 19 2017 秋 宜阳县期末 如图 O 的半径为 2 AB CD 是互相垂直的两条直径 点 P 是 O 上任意一点 点 P 与点 A B C D 不重合 过点 P 作 PM AB 于点 M PN CD 于点 N 点 Q 是 MN 的中点 当点 P 沿着圆周转 过 90 时 点 Q 走过的路径长为 A B C D 分析 由于 OP 的长度不变 始终等于半径 则根据矩形的性质可得 OQ 1 再由走过的角度代入弧长公式求得点 Q 走过的路径长 解答 解 如图连接 OP PM AB 于点 M PN CD 于点 N 四边形 ONPM 是矩形 又 点 Q 为 MN 的中点 点 Q 也是 OP 的中点 则 OQ 1 点 Q 走过的路径长 故选 B 点评 本题考查了弧长的计算 矩形的性质 解答本题的关键是根据矩形的性质得出点 Q 运动轨迹的半径 要求同 学们熟练掌握弧长的计算公式 20 2017 秋 南宁期末 如图 四边形 ABCD 是正方形 动点 E F 分别从 D C 两点同时出发 以相同的速度分别 在边 DC CB 上移动 当点 E 运动到点 C 时都停止运动 DF 与 AE 相交于点 P 若 AD 8 则点 P 运动的路径长 为 A 8B 4C 4 D 2 分析 如图 连接 AC BD 交于点 O 首先证明 DPE APD 90 即可推出点 P 的运动轨迹是以 AD 为直径 的圆上的弧 由此即可解决问题 解答 解 如图 连接 AC BD 交于点 O DE CF AD DC ADE DCF ADE DCF DAE CDF DAE AED 90 CDF DEP 90 DPE APD 90 点 P 的运动轨迹是以 AD 为直径的圆上的弧 点 P 运动的路径长为 2 4 2 故选 D 点评 本题考查正方形的性质 弧长公式 全等三角形的判定和性质等知识 解题的关键是正确寻找全等三角形 判断出 APD 90 这个突破点 属于中考常考题型 21 2018 宜兴市模拟 如图 矩形 ABCD 的边 AB 3cm AD 4cm 点 E 从点 A 出发 沿射线 AD 移动 以 CE 为 直径作 O 点 F 为 O 与射线 BD 的公共点 连接 EF 过点 E 作 EG EF 交 O 于点 G 当 O 与射线 BD 相 切时 点 E 停止移动 则在运动过程中点 G 移动路程的长为 A 4cmB cmC cmD cm 分析 利用图 1 证明点 G 的在射线 BG 上 CBG 是定值 DBG 90 如图 2 中 当 O 与 BD 相切时 F 与 B 重合 由 BCG BAD 时 可得 列出方程即可解决问题 解答 解 如图 1 中 连接 CF CG FG 易知四边形 EFCG 是矩形 EF CG CBG ABD 点 G 的在射线 BG 上 CBG 是定值 DBG 90 如图 2 中 当 O 与 BD 相切时 F 与 B 重合 由 BCG BAD 时 可得 BG cm 点 G 的运动路径的长为cm 故选 B 点评 本题考查轨迹 矩形的性质和判定 切线的性质 相似三角形的判定和性质等知识 解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题 探究运动轨迹是关键 属于中考选择题中的压轴题 22 2017 秋 苍溪县期末 如图 水平地面上有一面积为 30 cm2的灰色扇形 OAB 其中 OA 6cm 且 OA 垂直于地 面 将这个扇形向右滚动 无滑动 至点 B 刚好接触地面为止 则在这个滚动过程中 点 O 移动的距离是 A 10 cmB 20 cmC 24 cmD 30 cm 分析 根据题意可知点 O 移动的距离正好是灰色扇形的弧长 所以先根据扇形的面积求得扇形的圆心角的度数 再 根据弧长公式求得弧长 即点 O 移动的距离 解答 解 设扇形的圆心角为 n 度 则 30 n 300 扇形的弧长为 10 cm 点 O 移动的距离 10 cm 故选 A 点评 此题考查了轨迹及弧长的计算的知识 解决本题要牢记扇形的面积公式和弧长公式 要会从题 意中分析得到点 O 移动的距离是灰色扇形的弧长 二 填空题 共二 填空题 共 20 小题 小题 23 2017 工业园区模拟 如图 已知扇形 AOB 中 OA 3 AOB 120 C 是在上的动点 以 BC 为边作正方 形 BCDE 当点 C 从点 A 移动至点 B 时 点 D 经过的路径长是2 分析 如图 由此 BO 交 O 于 F 取的中点 H 连接 FH HB BD 易知 FHB 是等腰直角三角形 HF HB FHB 90 由 FDB 45 FHB 推出点 D 在 H 上运动 轨迹是 图中红线 易知 HFG HGF 15 推出 FHG 150 推出 GHB 120 易知 HB 3 利用弧长公式即可解决问题 解答 解 如图 由此 BO 交 O 于 F 取的中点 H 连接 FH HB BD 易知 FHB 是等腰直角三角形 HF HB FHB 90 FDB 45 FHB 点 D 在 H 上运动 轨迹是 图中红线 易知 HFG HGF 15 FHG 150 GHB 120 易知 HB 3 点 D 的运动轨迹的长为 2 故答案为 2 点评 本题考查轨迹 弧长公式 圆的有关知识 正方形的性质等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 正确 寻找点 D 的运动轨迹 属于中考填空题中的压轴题 24 2016 秋 河西区期末 将边长为 4 的正方形 ABCD 向右倾斜 边长不变 ABC 逐渐变小 顶点 A D 及对角线 BD 的中点 N 分别运动到 A D 和 N 的位置 若 A BC 30 则点 N 到点 N 的运动路径长为 分析 根据题意可以画出相应的图形 可以求得 NMN 的度数 然后根据弧长公式即可解答本题 解答 解 作 NM BC 于点 M 连接 MN 点 N 和点 M 分别为线段 BD 和 BC 的中点 MN 2 MN BM MBN MN B A BC 30 MBN 15 N MC 30 NMN 60 点 N 到点 N 的运动路径长为 故答案为 点评 本题考查轨迹 正方形的性质 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 25 2016 衢州校级三模 如图 四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形 点 C D 在边 AB 上 且 AC DB 1 点 P 是 线段 CD 上的动点 分别以 AP PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP 1 正方形 AMNP 和正方形 BRQP 的面积之和的最大值是26 2 E F 分别为 MN QR 的中点 连接 EF 设 EF 的中点为 G 则当点 P 从点 C 运动到点 D 时 点 G 移动的路径 长为2 分析 1 根据正方形的面积公式得到正方形 AMNP 和正方形 BRQP 的面积之和 再配方可求它们的最大值 2 设 KH 中点为 S 连接 PE ES SF PF PS 可证明四边形 PESF 为平行四边形 判断出 G 的运行轨迹为 CSD 的中位线 从而求出点 G 移动的路径长 解答 解 1 设正方形 AMNP 的边长为 x 则正方形 BRQP 的边长为 6 x 依题意有 x2 6 x 2 2x2 12x 36 2 x 3 2 18 1 x 6 1 5 正方形 AMNP 和正方形 BRQP 的面积之和的最大值是 2 1 3 2 18 26 2 设 KH 中点为 S 连接 PE ES SF PF PS 可证明四边形 PESF 为平行四边形 G 为 PS 的中点 即在点 P 运动过程中 G 始终为 PS 的中点 G 的运行轨迹为 CSD 的中位线 CD AB AC BD 6 1 1 4 点 G 移动的路径长为 4 2 故答案为 26 2 点评 本题考查了正方形的性质和轨迹 判断出 G 的运行轨迹为 CSD 的中位线是解题的关键 26 2016 黄冈模拟 如图 边长为 20 厘米的正方形木块在水平桌面上 距离 C 点 40 厘米的 E 处有一与水平方向成 30 角的斜置木板 木板长度为 1 米 现将正方形木块水平向右无滑动翻滚 若使正方形木块 AB 边完全落在木板 上 则正方形的中心点 O 经过的路径长为 或 中心点 O 经过的路径长为 2 或 2 10 分析 如图 在整个运动过程中 正方形木块 AB 边完全落在木板上 有两种情形 分别根据弧长公式求出即可 解答 解 正方形中心 O 运动的路径如图所示 故答案为 或 点评 本题考查轨迹 正方形的性质 弧长公式等知识 解题的关键是正确画出图形 记住弧长公式 l 属 于中考常考题型 27 2018 春 江都区期末 如图 Rt ABC 中 C 90 AB 5 BC 4 点 G 为边 BC 的中点 点 D 从点 C 出 发沿 CA 向点 A 运动 到点 A 停止 以 GD 为边作正方形 DEFG 则点 E 运动的路程为 3 分析 建立如答图所示的坐标系 过点 E 作 EG y 轴 垂足为 G 先证明 EDG DGC 则 DG GC 2 DC EG 设 DC t 则 EG t 点 E 的坐标为 t t 2 然后求得当 t 0 和 t 3 时点 E 的坐标 然后利用两点间的 距离公式求解即可 解答 解 建立如图所示的坐标系 过点 E 作 EG y 轴 垂足为 G BC 4 点 G 为边 BC 的中点 GC 2 DEFG 为正方形 ED DG EDG 90 EDG GDC 90 又 EDG GED 90 GDC GED 在 EDG 和 DGC 中 GDC GED EGD DCG ED DG EDG DGC DG GC 2 DC EG 设 DC t 则 EG t 点 E 的坐标为 t t 2 点 E 在直线 y x 2 由题意可知 0 t 3 当 t 0 时 y 2 E 0 2 当 t 3 时 y 5 E 3 5 点 E 运动的路线长 3 故答案为 3 点评 本题主要考查的动点的轨迹 正方形的性质 求得点 E 运动的轨迹是解题的关键 28 2017 春 硚口区期末 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E 为 AD 的延长线上一点 点 P 为边 AD 上一动点 且 PC PG PG PC 点 F 为 EG 的中点 当点 P 从 D 点运动到 A 点时 则点 F 运动的路径长为2 分析 先确定当点 P 从 D 点运动到 A 点时 则点 F 运动的路径为 FH 的长 根据三角形的中位线定理可得 FH 的长 解答 解 正方形 ABCD 的边长为 4 AB BC 4 B 90 AC 4 如图 当 P 与 D 重合时 EP 的中点为 H 所以当点 P 从 D 点运动到 A 点时 则点 F 运动的路径为 FH 的长 EAG 中 H 是 AE 的中点 F 是 EG 的中点 FH AG AC 2 故答案为 2 点评 本题考查了点的运动轨迹 正方形的性质和三角形的中位线定理 确定点 F 的运动路径是本题的关键 也是 难点 29 2017 秋 太仓市校级期中 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 将长为 4 的线段 QR 的两 端放在正方形的相邻的 两边上同时滑动 如果点 Q 从点 A 出发 沿图中所示方向按 A B C D A 滑动到 A 止 同时点 R 从点 B 出发 沿图中所示方向按 B C D A B 滑动到 B 止 在这个过程中 线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面 积为16 4 分析 根据直角三角形的性质 斜边上的中线等于斜边的一半 可知 点 M 到正方形各顶点的距离都为 2 故点 M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心 以 2 为半径的四个扇形 点 M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形 ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积 解答 解 根据题意得点 M 到正方形各顶点的距离都为 2 点 M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心 以 2 为 半径的四个扇形 点 M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形 ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积 而正方形 ABCD 的面积为 4 4 16 4 个扇形的面积为 4 4 点 M 所经过的路线围成的图形的面积为 16 4 故答案为 16 4 点评 本题考查轨迹问题 关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 正方形的性质以及扇形面积的计 算解答 30 2017 秋 宿豫区校级月考 如图 O 的半径为 1 O 沿着边长为 4 的正方形 ABCD 的外边缘滚动一圈 则圆 心 O 的运动路径长为16 2 分析 通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆 利用弧长公式即可计算 解答 解 弧长为 因此圆心 O 共转过了 4 4 2 16 2 故答案为 16 2 点评 本题考查了矩形的性质和弧长的弧长的计算方法 本题中弄清圆的运动轨迹是关键 31 2016 徐州校级二模 已知正方