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第十九章第十九章 四边形四边形 测试测试 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 1 学习要求 学习要求 1 理解平行四边形的概念 掌握平行四边形的性质定理 2 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算 并体会如何利用所学的三角形的知 识解决四边形的问题 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形 它用符号 表示 平行四边 形 ABCD 记作 2 平行四边形的两组对边分别 且 平行四边形的两组对角分别 两邻角 平行四边形的对角线 平行四边形的面积 底边长 3 在 ABCD 中 若 A B 40 则 A B 4 若平行四边形周长为 54cm 两邻边之差为 5cm 则这两边的长度分别为 5 若 ABCD 的对角线 AC 平分 DAB 则对角线 AC 与 BD 的位置关系是 6 若过 ABCD 的对角线交点 O 作一直线 交 BC AD 于 E F 若 BE 2cm AF 2 8cm 则 BC 7 若在 ABCD 中 A 30 AB 7cm AD 6cm 则 S ABCD 8 在 ABCD 中 AB 5 AD 8 若 A D 的平分线分别交 BC 于 E F 点 则 EF 2 选择题 选择题 1 平行四边形一边长是 6cm 周长是 28cm 则这边的邻边长是 A 22cm B 16cm C 11cm D 8cm 2 在 ABCD 中 若 AC BD 交于 O 点 则图中有 对全等的三角形 A 8 B 6 C 4 D 12 3 平行四边形两邻边分别为 24 和 16 若两长边间的距离为 8 则两短边间的距离为 A 5 B 6 C 8 D 12 二 综合运用诊断 3 已知 如图 ABCD 中 AE CF 分别平分 BAD BCD 求证 AE CF 4 已知 如图 ABCD 中 DE AC 于 E BF AC 于 F 求证 DE BF 5 已知 如图 E F 分别为 ABCD 的对边 AB CD 的中点 1 求证 DE FB 2 若 DE CB 的延长线交于 G 点 求证 CB BG 6 已知 如图 ABCD 中 E F 是直线 AC 上两点 且 AE CF 求证 1 BE DF 2 BE DF 三 拓广 探究 思考 7 已知 ABCD 中 AB 5 AD 2 DAB 120 若以点 A 为原点 直线 AB 为 x 轴 如图所示建立直角坐标系 试分别求出 B C D 三点的坐标 8 如图 某村有一四边形池塘 ABCD 其四个角上各有一棵古树 由于抗旱的需要 对池 塘进行扩建 使扩建后的池塘为一平行四边形 且面积为原池塘面积的 2 倍 扩建的过 程中还要保护好四个角上的四棵古树 请你设计扩建的方案 测试测试 2 平行四边形的性质平行四边形的性质 2 学习要求 学习要求 能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 平行四边形一条对角线分一个内角为 25 和 35 则四个内角分别为 2 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 交于 O 若 AC 8 BD 6 则边 AB 长的取值范围是 3 平行四边形周长是 40cm 则每条对角线长不能超过 cm 4 如图 在 ABCD 中 AE AF 分别垂直于 BC CD 垂足为 E F 若 EAF 30 AB 6 AD 10 则 CD AB 与 CD 的距离为 AD 与 BC 的 距离为 D 5 ABCD 的周长为 60cm 其对角线交于 O 点 若 AOB 的周长比 BOC 的周长多 10cm 则 AB BC 6 在 ABCD 中 AC 与 BD 交于 O 若 OA 3x AC 4x 12 则 OC 的长为 7 在 ABCD 中 CA AB BAD 120 若 BC 10cm 则 AC AB 8 在 ABCD 中 AE BC 于 E 若 AB 10cm BC 15cm BE 6cm 则 ABCD 的面积 为 2 选择题 选择题 1 下列说法 平行四边形具有四边形的所有性质 平行四边形是中心对称图形 平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形 其中正确 说法的序号是 A B C D 2 平行四边形一边长是 12cm 那么它的两条对角线的长度可以是 A 8cm 和 16cm B 10cm 和 16cm C 8cm 和 14cm D 8cm 和 12cm 3 以不共线三点 A B C 为顶点的平行四边形共有 个 A 1 B 2 C 3 D 无数 4 如图 已知 ABCD 的对角线 AC 上有两点 E G 且则四边形 BGDE 2 1 GCFGAF 的面积是 ABCD 面积的 A B C D 3 1 2 1 3 2 4 3 5 如图 若 E 是 ABCD 的 AD 边上一点 F 是 BE 的中点 则有 A S ABCD 5S BCF B S ABCD 4S BCF C S ABCD 3S BCF D S ABCD 2S BCF 二 综合运用诊断 3 已知 如图 在 ABCD 中 从顶点 D 向 AB 作垂线 垂足为 E 且 E 是 AB 的中 点 已知 ABCD 的周长为 8 6cm ABD 的周长为 6cm 求 AB BC 的长 4 已知 如图 在 ABCD 中 CE AB 于 E CF AD 于 F 2 30 求 1 3 的度 数 三 拓广 探究 思考 5 已知 如图 O 为 ABCD 的对角线 AC 的中点 过点 O 作一条直线分别与 AB CD 交于 点 M N 点 E F 在直线 MN 上 且 OE OF 1 图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来 2 求证 MAE NCF 6 已知 如图 在 ABCD 中 点 E 在 AC 上 AE 2EC 点 F 在 AB 上 BF 2AF 若 BEF 的面积为 2cm2 求 ABCD 的面积 测试测试 3 平行四边形的判定平行四边形的判定 1 学习要求 学习要求 初步掌握平行四边形的判定定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 平行四边形的判定的方法有 从边的条件有 两组对边 的四边形是平行四边形 两组对边 的四边形是平行四边形 一组对边 的四边形是平行四边形 从对角线的条件有 两条对角线 的四边形是平行四边形 从角的条件有 两组对角 的四边形是平行四边形 注意 一组对边平行另一组对边相等的四边形 是平行四边形 2 四边形 ABCD 中 若 A B 180 C D 180 则这个四边形 填 是 或 不是 或 不一定是 平行四边形 3 一个四边形的边长依次为 a b c d 且满足 a2 b2 c2 d2 2ac 2bd 则这四边 形为 4 四边形 ABCD 中 AC BD 为对角线 BO 4 CO 6 当 AO DO 时 这个四边形是平行四边形 5 如图 四边形 ABCD 中 当 1 2 且 时 这个四边形是 平行四边形 2 选择题 选择题 1 下列命题中 正确的是 A 两组角相等的四边形是平行四边形 B 一组对边相等 两条对角线相等的四边形是平行四边形 C 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 D 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 已知 四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O 如果只给出条件 AB CD 那么还不 能判定四边形 ABCD 为平行四边形 给出以下四种说法 如果再加上条件 BC AD 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件 BAD BCD 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件 OA OC 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件 DBA CAB 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 其中正 确的说法是 A 和 B 和 C 和 D 和 3 能确定平行四边形的大小和形状的条件是 A 已知平行四边形的两邻边 B 已知平行四边形的相邻两角 C 已知平行四边形的两对角线 D 已知平行四边形的一边 一对角线和周长 二 综合运用诊断 3 已知 如图 E F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AF CE DF BE DF BE 求证 1 AFD CEB 2 四边形 ABCD 是平行四边形 4 已知 如图 DB AC 且E 是 AC 的中点 求证 BC DE 2 1 ACDB 5 已知 如图 四边形 ABCD 中 AB DC AD BC 点 E 在 BC 上 点 F 在 AD 上 AF CE EF 与对角线 BD 交于点 O 求证 O 是 BD 的中点 6 已知 如图 ABC 中 D 是 AB 的中点 E 是 AC 上一点 EF AB DF BE 1 猜想 DF 与 AE 的关系 2 证明你的猜想 7 已知 如图 ABC 中 D 是 AC 的中点 E 是线段 BC 延长线上一点 过点 A 作 BE 的 平行线与线段 ED 的延长线交于点 F 连结 AE CF 求证 CF AE 三 拓广 探究 思考 8 用两个全等的不等边三角形 ABC 和三角形 A B C 如图 可以拼成几个不同的四边形 其中有几个是平行四边形 请分别画出相应的图形加以说明 测试测试 4 平行四边形的判定平行四边形的判定 2 学习要求学习要求 进一步掌握平行四边形的判定方法 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 如图 ABCD 中 CE DF 则四边形 ABEF 是 第 1 题 2 如图 ABCD EF AB GH AD MN AD 图中共有 个平行四边形 第 2 题 3 已知三条线段长分别为 10 14 20 以其中两条为对角线 其余一条为边可以画出 个平行四边形 4 已知三条线段分别为 7 15 20 以其中一条为对角线 另两条为邻边 可以画出 个平行四边形 5 已知 如图 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形 则四边形 ABCD 是 第 5 题 2 选择题 选择题 1 能判定一个四边形是平行四边形的条件是 A 一组对边平行 另一组对边相等 B 一组对边平行 一组对角互补 C 一组对角相等 一组邻角互补 D 一组对角相等 另一组对角互补 2 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是 A AD BC AB CD B A B C D C AB BC AD DC D AB CD CD AB 3 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 A B C D 的值为 A 1 2 3 4 B 1 4 2 3 C 1 2 2 1 D 1 2 1 2 4 如图 E F 分别是 ABCD 的边 AB CD 的中点 则图中共有平行四边形的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 5 以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形 最多能作 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 ABCD 的对角线的交点在坐标原点 且 AD 平行于 x 轴 若 A 点坐标为 1 2 则 C 点的坐标为 A 1 2 B 2 1 C 1 3 D 2 3 7 如图 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 将 AOD 平移至 BEC 的位置 则图 中与 OA 相等的其它线段有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 二 综合运用诊断 3 已知 如图 在 ABCD 中 点 E F 在对角线 AC 上 且 AE CF 请你以 F 为一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相 等 只须证明一组线段相等即可 1 连结 2 猜想 3 证明 4 已知 如图 ABC 中 AB AC 10 D 是 BC 边上的任意一点 分别作 DF AB 交 AC 于 F DE AC 交 AB 于 E 求 DE DF 的值 5 已知 如图 在等边 ABC 中 D F 分别为 CB BA 上的点 且 CD BF 以 AD 为边作 等边三角形 ADE 求证 1 ACD CBF 2 四边形 CDEF 为平行四边形 三 拓广 探究 思考 6 下列判断是否正确 正确的说明原因 错误的举出反例 1 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 2 一组对角及一组对边分别相等的四边形必是平行四边形 3 一组对边相等 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 7 已知四边形 ABCD 考虑 1 AB CD 2 BC AD 3 AB CD 4 BC AD 5 A C 6 B D 任取上述条件中的两个 能否都能得出四边形 ABCD 是平行 四边形的结论 说明理由 测试测试 5 平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定 学习要求 学习要求 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 平行四边形长边是短边的 2 倍 一条对角线与短边垂直 则这个平行四边形各角的 度数为 2 从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线 如果这两条高线夹角为 135 则这个平 行四边形的各内角的度数为 3 在 ABCD 中 BC 2AB 若 E 为 BC 的中点 则 AED 4 在 ABCD 中 如果一边长为 8cm 一条对角线为 6cm 则另一条对角线 x 的取值范 围是 5 ABCD 中 对角线 AC BD 交于 O 且 AB AC 2cm 若 ABC 60 则 OAB 的 周长为 cm 6 如图 在 ABCD 中 M 是 BC 的中点 且 AM 9 BD 12 AD 10 则 ABCD 的 面积是 7 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 若 BOC 120 AD 7 BD 10 则 ABCD 的面积为 8 如图 在 ABCD 中 点 E 在边 AD 上 以 BE 为折痕 将 ABE 向上翻折 点 A 正好 落在 CD 上的点 F 处 若 FDE 的周长为 8 FCB 的周长为 22 则 FC 的长为 9 如图 BD 为 ABCD 的对角线 M N 分别在 AD AB 上 且 MN BD 则 S DMC S BNC 填 或 二 综合运用诊断 2 已知 如图 EFC 中 A 是 EF 边上一点 AB EC AD FC 若 EAD FAB AB a AD b 1 求证 EFC 是等腰三角形 2 求 EC FC 3 已知 如图 ABC 中 ABC 90 BD AC 于 D AE 平分 BAC EF DC 交 BC 于 F 求证 BE FC 4 已知 如图 在 ABCD 中 E 为 AD 的中点 CE BA 的延长线交于点 F 若 BC 2CD 求证 F BCF 5 已知 如图 在 ABCD 中 E F 分别在 AD BC 上 且 AE CF AF BE 交于 G CE DF 交于 H 求证 EF 与 GH 互相平分 三 拓广 探究 思考 6 如图 在 ABCD 中 DAB 60 AB 5 BC 3 点 P 从起点 D 出发 沿 DC CB 向 终点 B 匀速运动 设点 P 所走过的路程为 x 点 P 所经过的线段与线段 AD AP 所围成 图形的面积为 y y 随 x 的变化而变化 在下列图象中 能正确反映 y 与 x 的函数关系 的是 7 如图 ABC 是边长为 1 的等边三角形 P 是 ABC 内的任意一点 过点 P 作 EF AB 交 AC BC 于点 E F 作 GH BC 交 AB AC 于点 G H 作 MN AC 交 AB BC 于 M N 请你猜想 EF GH MN 的值是多少 其值是否随点 P 位置的改变而变化 并证 明你的结论 测试测试 6 三角形的中位线三角形的中位线 学习要求 学习要求 理解三角形的中位线的概念 掌握三角形的中位线定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 三角形的中位线 连结三角形两边 叫做三角形的中位线 三角形的中位线定理是三角形的中位线 第三边 并且等于 2 如图 ABC 的周长为 64 E F G 分别为 AB AC BC 的中点 A B C 分别为 EF EG GF 的中点 A B C 的周长为 如果 ABC EFG A B C 分别 为第 1 个 第 2 个 第 3 个三角形 按照上述方法继续作三角形 那么第 n 个三角 形的周长是 3 ABC 中 D E 分别为 AB AC 的中点 若 DE 4 AD 3 AE 2 则 ABC 的周 长为 2 已知 如图 四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 求证 四边形 EFGH 是平行四边形 3 已知 如图 DE 是 ABC 的中位线 求证 ABE 的面积等于 ACD 的面积 4 已知 ABC 的中线 BD CE 交于点 O F G 分别是 OB OC 的中点 求证 四边形 DEFG 是平行四边形 二 综合运用诊断 5 已知 如图 E 为 ABCD 中 DC 边的延长线上一点 且 CE DC 连结 AE 分别交 BC BD 于点 F G 连结 AC 交 BD 于 O 连结 OF 求证 AB 2OF 6 已知 如图 ABC 中 D 是 BC 边的中点 AE 平分 BAC BE AE 于 E 点 若 AB 5 AC 7 求 ED 7 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 DC AB 边的中点 FE 的延长 线分别与 AD BC 的延长线交于 H G 点 求证 AHF BGF 三 拓广 探究 思考 8 经过三角形一边的中点 且平行于三角形第二边的直线是否平分第三边 提出你的猜想 并证明你的结论 9 利用第 8 题的结论证明 已知 如图 在 ABCD 中 E 是 CD 的中点 F 是 AE 的中点 FC 与 BE 交于 G 求证 GF GC 测试测试 7 矩形矩形 学习要求 学习要求 理解矩形的概念 掌握矩形的性质定理与判定定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 矩形的定义 的平行四边形叫做矩形 矩形的性质 矩形是一个特殊的平行四边形 它具有四边形和平行四边形所有的 性质 还有 矩形的四个角 矩形的对角线 矩形是轴 对称图形 它的对称轴是 矩形的判定 一个角是直角的 是矩形 对角线 的平行四 边形是矩形 有 个角是直角的四边形是矩形 2 矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O AOB 60 AC 10cm 则 AB cm BC cm 3 在 ABC 中 C 90 AC 5 BC 3 则 AB 边上的中线 CD 4 矩形的对角线长为两条邻边之比是 2 3 则矩形的周长是 132 5 如图 E 为矩形纸片 ABCD 的 BC 边上一点 将纸片沿 AE 向上折叠 使点 B 落在 DC 边上的 F 点处 若 AFD 的周长为 9 ECF 的周长为 3 则矩形 ABCD 的周长为 2 选择题 选择题 1 下列命题中不正确的是 A 直角三角形斜边中线等于斜边一半 B 矩形的对角线相等 C 矩形的对角线互相垂直 D 矩形是轴对称图形 2 若矩形对角线相交所成钝角为 120 短边长 3 6cm 则对角线的长为 A 3 6cm B 7 2cm C 1 8cm D 14 4cm 3 矩形邻边之比 3 4 对角线长为 10cm 则周长为 A 14cm B 28cm C 20cm D 22cm 4 在下列图形中 沿着虚线将长方形剪成两部分 那么由这两部分既能拼成平行四边 形又能拼成三角形和梯形的是 二 综合运用诊断 3 已知 如图 ABCD 中 AC 与 BD 交于 O 点 OAB OBA 1 求证 四边形 ABCD 为矩形 2 若作 BE AC 于 E CF BD 于 F 求证 BE CF 4 已知 如图 在矩形 ABCD 中 AE BD 于 E BE ED 1 3 从两条对角线的交点 O 作 OF AD 于 F 且 OF 2 求 BD 的长 5 已知 如图 在 ABCD 中 AQ BN CN DQ 分别是 DAB ABC BCD CDA 的平分线 AQ 与 BN 相交于 P CN 与 DQ 相交于 M 试说明四边形 MNPQ 是矩形 6 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AC BD 互相平分于点 O AEC BED 90 求证 四边形 ABCD 是矩形 7 已知 如图 学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为 24 平方米的矩形饲养 场地 ABCD 设 BC 为 x 米 AB 为 y 米 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 延长 BC 至 E 使 CE 比 BC 少 1 米 围成一个新的矩形 ABEF 结果场地的面积增加了 16 平方米 求 BC 的长 测试测试 8 菱形菱形 学习要求 学习要求 理解菱形的概念 掌握菱形的性质定理及判定定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 菱形的定义 的平行四边形叫做菱形 2 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形 它具有四边形和平行四边形的 还 有 菱形的四条边 菱形的对角线 并且每一条对角线平分 菱形的面积等于 它的对称轴是 3 菱形的判定 一组邻边相等的 是菱形 四条边 的四边形是菱形 对角线 的平行四边形是菱形 4 已知菱形的周长为 40cm 两个相邻角度数之比为 1 2 则较长对角线的长为 cm 5 若菱形的两条对角线长分别是 6cm 8cm 则它的周长为 cm 面积为 cm2 2 选择题 选择题 1 对角线互相垂直平分的四边形是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 任意四边形 2 顺次连结对角线相等的四边形各边中点 所得四边形是 A 矩形 B 平行四边形 C 菱形 D 任意四边形 3 下列命题中 正确的是 A 两邻边相等的四边形是菱形 B 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D 对角线垂直的四边形是菱形 4 如图 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 AB AC 的中点 如果 EF 2 那么菱形 ABCD 的周长是 A 4 B 8 C 12 D 16 5 菱形 ABCD 中 A B 1 5 若周长为 8 则此菱形的高等于 A B 4 C 1 D 2 2 1 二 综合运用诊断 3 如图 在菱形 ABCD 中 E 是 AB 的中点 且 DE AB AB 4 求 1 ABC 的度数 2 菱形 ABCD 的面积 4 已知 如图 四边形 ABCD 是菱形 F 是 AB 上一点 DF 交 AC 于 E 求证 AFD CBE 5 已知 如图 DE 是 ABCD 中 ADC 的平分线 EF AD 交 DC 于 F 1 求证 四边形 AEFD 是菱形 2 如果 A 60 AD 5 求菱形 AEFD 的面积 6 如图 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是菱形 ABC 60 点 A 的坐标为 0 3 求点 B C D 的坐标 7 已知 如图 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D BE 平分 ABC 交 AD 于 M EF BC 于 F 求证 四边形 AEFM 是菱形 8 已知 如图 梯形 ABCD 中 AB DC 过对角线 AC 的中点 O 作 EF AC 分别交边 AB CD 于点 E F 连结 CE AF 1 求证 四边形 AECF 是菱形 2 若 EF 4 OE OA 2 5 求四边形 AECF 的面积 三 拓广 探究 思考 9 如图 菱形 ABCD 中 A 72 请设计三种不同的分法 将菱形 ABCD 分割成四个三 角形 使得每个三角形都是等腰三角形 画图工具不限 要求画出分割线段 标出能 够说明分法所得三角形内角的度数 不要求写出画法 不要求证明 注 两种分法只要 有一条分割线段位置不同 就认为是两种不同的分法 分法一 分法二 分法三 10 如图 菱形 OABC 的边长为 4cm AOC 60 动点 P 从 O 出发 以每秒 1cm 的速度 沿 O A B 路线运动 点 P 出发 2 秒后 动点 Q 从 O 出发 在 OA 上以每秒 1cm 的速 度 在 AB 上以每秒 2cm 的速度沿 O A B 路线运动 过 P Q 两点分别作对角线 AC 的平行线 设 P 点运动时间为 x 秒 这两条平行线在菱形上截出的图形 图中的阴影部 分 的周长为 ycm 请你回答下列问题 1 当 x 3 时 y 的值是多少 2 就下列各种情形 求 y 与 x 之间的函数关系式 0 x 2 2 x 4 4 x 6 6 x 8 3 在给出的直角坐标系中 用图象表示 2 中的各种情形下 y 与 x 的关系 测试测试 9 正方形正方形 学习要求 学习要求 1 理解正方形的概念 了解平行四边形 矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系 2 掌握正方形的性质及判定方法 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 正方形的定义 有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形 因此正方 形既是一个特殊的有一组邻边相等的 又是一个特殊的有一个角是直角的 2 正方形的性质 正方形具有四边形 平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形的四个角都 四条边都 且 正方形的两条对角线 并且互 相 每条对角线平分 对角 它有 条对称轴 3 正方形的判定 的平行四边形是正方形 的矩形是正方形 的菱形是正方形 4 对角线 的四边形是正方形 5 若正方形的边长为 a 则其对角线长为 若正方形 ACEF 的边是正方形 ABCD 的对角线 则正方形 ACEF 与正方形 ABCD 的面积之比等于 6 延长正方形 ABCD 的 BC 边至点 E 使 CE AC 连结 AE 交 CD 于 F 那么 AFC 的度 数为 若 BC 4cm 则 ACE 面积 7 在正方形 ABCD 中 E 为 BC 上一点 EF AC EG BD 垂足分别为 F G 如果 AB cm 那么 EF EG 的长为 25 2 选择题 选择题 1 如图 在一个由 4 4 个小正方形组成的正方形网格中 阴影部分面积与正方形 ABCD 面积的比是 A 3 4 B 5 8 C 9 16 D 1 2 2 如图 E F G H 分别是正方形 ABCD 各边的中点 要使中间阴影部分小正方形的 面积为 5 则大正方形的边长应该是 A B C 5 D 52535 二 综合运用诊断 3 已知 如图 正方形 ABCD 中 点 E M N 分别在 AB BC AD 边上 CE MN MCE 35 求 ANM 的度数 4 已知 如图 E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点 且 AE AB EF AC 交 BC 于 F 求 证 BF EC 5 如图 已知正方形 ABCD 把一个直角与正方形叠合 使直角顶点与 A 重合 两边别与 AB AD 重合 将直角绕点 A 按逆时针方向旋转 当直角的一边与 BC 相交于 E 点 另 一边与 CD 的延长线交于 F 点时 作 EAF 的平分线交 CD 于 G 连结 EG 求证 1 BE DF 2 BE DG EG 6 如图 已知正方形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O E 是 AC 上一点 连结 EB 过 点 A 作 AM BE 垂足为 M AM 交 BD 于点 F 1 求证 OE OF 2 如图 若点 E 在 AC 的延长线上 AM BE 于点 M 交 DB 的延长线于点 F 其他条 件不变 则结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说 明理由 图 图 三 拓广 探究 思考 7 已知正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 E 是 AB 延长线上一点 MN DM 且交 CBE 的 平分线于 N 1 试判定线段 MD 与 MN 的数量关系 2 若将上述条件中的 M 是 AB 的 中点 改为 M 是 AB 上或 AB 延长线上的任意一点 其余条件不变 试问 1 中的结论 还成立吗 如果成立 请证明 如果不成立 请说明理由 8 如图 矩形 ABCD 的长为 8cm 宽为 3cm 正方形 EFGH 的边长为 6cm 点 F 与点 C 重 合 CD 边落在 EF 边上 BC 和 FG 在一条直线上 令正方形 EFGH 不动 矩形 ABCD 沿 着 FG 所在的直线向右以每秒 1cm 的速度移动 直到点 B 与点 G 重合为止 设移动 x 秒 后 矩形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分的面积为 ycm2 求 1 y 与 x 之间的函数关系式 2 被正方形挡住的面积 y 最大时所持续的时间为几秒钟 3 当被正方形挡住的面积 y 为 6cm2时 矩形所 行走 的时间为几秒钟 测试测试 10 梯形梯形 1 学习要求 学习要求 1 理解梯形的有关概念 理解直角梯形和等腰梯形的概念 2 掌握等腰梯形的性质和判定 3 初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法 使问题进行转化 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 梯形 一组对边平行而另一组对边 的四边形叫做梯形 梯形中平行的两边 叫做底 按 分别叫做上底 下底 与位置无关 梯形中不平行的两边叫做 两底间的 叫做梯形的高 一腰垂直于底边的梯形叫做 两腰 的梯形叫做等腰梯形 2 等腰梯形的性质 等腰梯形中 的两个角相等 两腰 两对角线 等腰梯形是轴对称图形 只有一条对称轴 就是它的对称轴 3 等腰梯形的判定 的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角 的梯形 是等腰梯形 4 如果等腰梯形两底差的一半等于它的高 那么此梯形较小的一个底角等于 度 5 等腰梯形上底长为 3cm 腰长为 4cm 其中锐角等于 60 则下底长是 6 已知梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 AB 7 BC 6 则第四边 CD 的取值范围是 7 如图 等腰梯形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 那么图中的全等三角形最多有 对 第 7 题图 8 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AD 1 B 60 直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴 P 为 MN 上一点 那么 PC PD 的最小值为 第 8 题图 2 选择题 选择题 1 课外活动时 王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝 其面 积为 450cm2 则两条对角线所用的竹条至少需 A cm B 30cm C 60cm D 60cm2302 2 如图 梯形 ABCD 中 AD BC B 30 BCD 60 AD 2 AC 平分 BCD 则 BC 长为 A 4 B 6 C D 3433 第 2 题图 3 如图 ABCD 是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形 这个图形中等腰梯形的上 底长与下底长的比是 第 3 题图 A 1 2 B 2 3 C 3 5 D 4 7 二 综合运用诊断 3 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 延长 CB 到 E 使 EB AD 连结 AE 求证 AE CA 4 已知 如图 ABCD 中 E 为 BC 边上一点 且 AB AE 1 求证 ABC EAD 2 若 AE 平分 DAB EAC 25 求 AED 的度数 5 已知 等腰梯形 ABCD 中 AD BC ABC 60 AC BD AB 4cm 求梯形 ABCD 的 周长 6 已知 等腰梯形 ABCD 中 对角线 AC BD 上底 AD 3cm 下底 BC 7cm 求梯形 ABCD 的面积 7 已知 如图中图 小明剪了一个等腰梯形 ABCD 其中 AD BC AB DC 又剪了一 个等边 EFG 同座位的小华拿过来拼成如图 的形状 她发现 AD 与 FG 恰好完全重合 于是她用透明胶带将梯形 ABCD 与 EFG 粘在一起 并沿 EB EC 剪下 小华得到的 EBC 是什么三角形 请你作出判断并说明理由 图 图 三 拓广 探究 思考 8 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AD BC 的中点 E F 分别是 BM CM 的中点 1 求证 四边形 MENF 是菱形 2 若四边形 MENF 是正方形 请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系 并证 明你的结论 9 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具 它来源于勾股法 如图 整幅七巧板是由正 方形 ABCD 分割成七小块 其中 五块等腰直角三角形 一块正方形和一块平行四边形 组成 如图 是由七巧板拼成的一个梯形 若正方形 ABCD 的边长为 12cm 请问梯 形 MNGH 的周长是多少 结果保留根号 用七巧板还能拼成什么样的梯形 图 图 测试测试 11 梯形梯形 2 学习要求 学习要求 熟练运用所学的知识解决梯形问题 一 课堂学习检测 1 梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形 其分割拼接的方法有如下 几种 如图 1 平移一腰 即从梯形的一个顶点 把梯形分成一个平行四边形 和一个三角形 图 1 所示 2 从同一底的两端 把梯形分成一个矩形和两个直角三角形 图 2 所示 3 平移对角线 即过底的一端 可以借助新得的平行四边形或三角形来研 究梯形 图 3 所示 4 延长梯形的两腰 得到两个三角形 如果梯形是等腰梯形 则得到两个 等腰三角形 图 4 所示 5 以梯形一腰的中点为 作某图形的中心对称图形 图 5 6 所示 6 以梯形一腰为 作梯形的轴对称图形 图 7 所示 2 填空题 填空题 1 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 若 AD 3 AB 4 BC 7 则 B 2 如图 直角梯形 ABCD 中 AB CD CB AB ABD 是等边三角形 若 AB 2 则 BC 3 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 5 BC 7 若 E 为 DC 的中点 射线 AE 交 BC 的延 长线于 F 点 则 BF 3 选择题 选择题 1 梯形 ABCD 中 AD BC 若对角线 AC BD 且 AC 5cm BD 12cm 则梯形的面 积等于 A 30cm2 B 60cm2 C 90cm2 D 169cm2 2 如图 等腰梯形 ABCD 中 AB CD 对角线 AC 平分 BAD B 60 CD 12 则 梯形 ABCD 的高是 A B 6 C D 123336 3 等腰梯形 ABCD 中 AB CD AD BC 8 AB 10 CD 6 则梯形 AB CD 的面积 是 A B C D 516151617161532 4 梯形 ABCD 中 AB CD E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 要使得四边 形 EFGH 是菱形 下列补充的条件不正确的是 A AC BD B AC BD C AD BC D C D 二 综合运用诊断 4 已知 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BC AD 求 DBC 的度数 5 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 C 45 BE CD 于点 E AD 1 CD 求 BE 的长 22 6 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC E 为 AB 的中点 CD AD BC 求证 DE EC 7 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC E 为 DC 的中点 EF AB 于 F 求证 梯形 ABCD 的面积 AB EF 三 拓广 探究 思考 8 连结梯形两对角线的中点所得线段与此梯形的上 下底之间有怎样的位置关系和数量关 系 并证明你的结论 9 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC BD CD AB CD 且 ABC 为锐角 若 AD 4 BC 12 E 为 BC 边上的一个动点 问 当 CE 分别为何值时 四边形 A BED 是等腰梯形 直角梯形 请分别说明理由 10 1 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC EF 是梯形的中位线 两腰中点的连线 求 证 EF AD EF BC 2 1 BCADEF 2 由 1 可得梯形中位线定理 梯形的中位线 并且等于 11 求证 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 全章测试全章测试 1 一 填空题 一 填空题 1 若 n 边形的每个外角都是 72 则这个 n 边形是 边形 2 若矩形对角线长为 8 对角线与一边夹角为 30 则矩形周长是 3 若菱形一边长为 a 一个内角是 60 则两条对角线分别等于 4 若正方形的面积为 16 则它的对角线长是 5 若直角三角形的一个锐角等于 30 且它所对的边等于 5 则斜边上的中线等于 另一条直角边等于 6 若梯形的上底长为 30 下底长为 70 则它的一条对角线把它分成两部分的面积的 比为 7 如图 梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 交于 O 要使图中出现三对全等三 角形 还需添加的一个条件是 不添加另外的辅助线 第 7 题 8 如图 在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 a b 把剩下的部 分拼成一个梯形 如图 从面积的角度看 验证了公式 第 8 题 9 下列命题中 真命题是 A 有一个角是直角 且对角线相等的四边形是矩形 B 有两个角相等的梯形是等腰梯形 C 矩形是轴对称图形 且对称轴是两条对角线 D 直角三角形的斜边等于斜边上中线长的两倍 10 如图 ABP 与 CDP 是两个全等的等边三角形 且 PA PD 有下列四个结论 PBC 15 AD BC 直线 PC 与 AB 垂直 四边形 ABCD 是轴对称图 形 其中正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 11 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC B 45 C 120 AB 8 则 CD 的 长为 A B C D 3 68 64 3 28 24 12 顺次连结矩形各边的中点 所成的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 梯形 13 ABC 中 D E F 分别是 BC CA AB 边的中点 那么四边形 AFDE 的周长等于 A AB AC B AC BC C BC AB D 2 1 ACBCAB 14 下列图形中 面积最大的是 A 边长为的正方形3 B 边长为 2 高为 1 的平行四边形 C 对角线长分别为 4 和 1 的菱形 D 上 下底分别为 1 和 3 高为 2 的梯形 三 解答题 三 解答题 15 已知 如图 ABC 中 ACB 90 点 D E 分别是 AC AB 的中点 点 F 在 BC 的延长线上 且 CDF A 求证 四边形 DECF 是平行四边形 16 如图 菱形 ABCD 中 AB 4 E 为 BC 的中点 AE BC 于点 E AF CD 于点 F CG AE CG 交 AF 于点 H 交 AD 于点 G 1 求菱形 ABCD 的面积 2 求 CHA 的度数 17 已知 如图 以 ABC 的 AC 边为一边作 ACDE 并使 CE AB 交 BD 于 F 求证 BF DF 请用 3 种方法 18 已知 如图 四边形 ABCD 中 A 90 ABC 与 ADC 互补 1 求 C 的度数 2 若 BC CD 且 AB AD 请在图上画出一条线段 把四边形 ABCD 分成两部分 使得这两部分能够重新拼成一个正方形 并说明理由 3 若 CD 6 BC 8 求 AB 的值 19 折叠矩形纸片 ABCD 先折出折痕 对角线 BD 再折叠使 AD 边落在对角线 BD 上 得折痕 DG 若 AB 2 BC 1 求 AG 20 已知 如图 AB CD AE DC 垂足为 E AE 12 BD 15 AC 20 求梯形 ABCD 的面积 21 如图甲 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD 由 4 个这样的等腰梯形可以拼出图 乙所示的平行四边形 1 求四边形 ABCD 四个内角的度数 2 试探究四边形 ABCD 四条边之间存在的等量关系 并说明理由 3 现有图甲中的等腰梯形若干个 利用它们你能拼出一个菱形吗 若能 请你画 出示意图 图甲 图乙 全章测试全章测试 2 一 填空题 一 填空题 1 若四边形的四个外角之比为 1 2 3 4 则它的四个内角分别为 2 如图 菱形 ABCD 的对角线长分别为 2 和 5 P 是对角线 AC 上任一点 点 P 不与点 A C 重合 且 PE BC 交 AB 于 E PF CD 交 AD 于 F 则阴影部分的面