数学物理方程期末试卷与答案分析.pdf

1 20122012 学年学年第二学期数学与物理方程期末试卷第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷出卷人 欧峥人 欧峥 1 长度为l的弦左端开始时自由 以后受到强度为sinAt 的力的作用 右端 系在弹性系数为k的弹性支承上面 初始位移为 x 初始速度为 x 试写出相 应的定解问题 10 分 2 长为l的均匀杆 侧面绝热 一端温度为 0 度 另一端有已知的恒定热流进入 设单位时间流入单位截面积的热量为q 杆的初始温度分布是 2 x lx 试写出 其定解问题 10 分 3 试用分离变量法求定解问题 10 分 x tx x u t u u uu t xx 2 0 0 0 40 0 40 2 2 4 分离变量法求定解问题 10 分 2 22 sincos 0 0 0 3 6 4 0 3 1 0 sin ttxx t ua uxxxl t ll utu l t x u xu xx ll 5 利用行波法 求解波动方程的特征问题 又称古尔沙问题 10 分 0 0 2 2 2 2 2 xu xu x u a t u atx atx 0 0 2 6 用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题 10 分 0 2sin 0 cos 00 2 2 2 2 2 tt t u xu txx x u a t u 7 用积分变换法求解定解问题 10 分 1 1 0 0 1 0 0 2 y x u yu yx yx u 8 用积分变换法求解定解问题 10 分 0 0 sin 0 0 2 xuxxu tRxuau t xxtt 9 用格林函数法求解定解问题 10 分 22 22 0 0 y0 y uu xy uf xx 10 写出格林函数公式 三维 及满足的条件 并解释其物理意义 10 分 3 答案答案及分析及分析 1 解 这是弦的自由振动 其位移函数 u x t满足 2 ttxx ua u 2 分 其中 2 T a 由于左端开始时自由 以后受到强度为sinAt 的力的作用 所以 0 0 0 0 sin0 0 xx uTutAtt 因此 sin 0 0 x At utt T 2 分 又右端系在弹性系数为k的弹性支承上面 所以 0 x Tu l tku l t 即 0 x Tu l tku l t 2 分 而初始条件为 00 ttt ux ux 2 分 因此 相应的定解问题为 2 00 0 0 sin 0 0 0 ttxx xx ttt ua uxl t At utTu l tku l tt T ux ux 2 分 2 解 侧面绝热 方程为 2 0 0 txx ua uxl t 3 分 边界条件为 0 0 0 xxx l q uut k 3 分 初始条件为 0 0 2 t x lx uxl 3 分 因此 相应的定解问题为 4 2 0 0 txx ua uxl t 0 0 0 xxx l q uut k 0 0 2 t x lx uxl 1 分 3 解 令 tTxXtxu 2 分 代入原方程中得到两个常微分方程 0 tTtT 0 xXxX 2 分 由边界条件得到 0 4 0 XX 对 的情况讨论 只有当 0 时才有非零解 令 2 得到 2 22 2 4 n 为 特征值 特征函数 4 sin n BxX nn 1 分 再解 tT 得到 16 22 tn nn eCtT 2 分 于 是 4 sin 16 1 22 xn eCtxu tn n n 1 分 再 由 初 始 条 件 得 到 1 4 0 1 16 4 sin2 4 2 n n n xdx n xC 1 分 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为 4 sin 1 16 16 1 1 22 xn e n txu tn n n 1 分 4 解 令 u x tV x tW x 1 分 将其代入定解问题可以得到 2 0 0 0 0 0 1 4 0 3 1 0 sin ttxx t Va Vxl t VtV l t x V xW x V xx ll 1 分 2 22 sincos0 2 0 3 6 a Wxxx ll WW l 1 分 2 的解为 2 22 4 sin3 1 32 lx W xx all 2 分 5 对于 1 由分离变量法可得一般解为 1 cossinsin nn n n atn atn x V x tab lll 2 分 由初始条件可求得 2 22 444 cossinsin 324 lalatx V x tt alall 2 分 所以 原定解问题的解为 22 2222 4444 cossinsinsin3 1 32432 lalatxlx u x ttx alallall 1 分 5 解 u x t F x at G x at 2 分 令 x at 0得 x F 0 G 2x 2 分 令 x at 0得 x F 2x G 0 2 分 所以F x 2 x G 0 G x 2 x F 0 2 分 且F 0 G 0 0 0 1 分 所以u x t 2 atx 2 atx 0 1 分 即为古尔沙问题的解 6 解令 xwtxvtxu 1 分 代入原方程中 将方程齐次化 因此 x a xwxxwaxxw x v a t v cos 1 0cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 分 再求 定解问题 0 cos 1 2sin 0 0 2 0 2 2 2 2 2 t tt v xxw a x t x v a t v v 2 分 由达朗贝尔 公式得到以上问题的解为 6 atx a atx atx a atxata a atxtxv coscos 1 cossin 0 cos 1 2sin cos 1 2 sin 2 1 2 22 4 分 故 cos 1 coscos 1 cossin 22 x a atx a atxtxu 1 分 7 解 对 y 取拉普拉斯变换 pxUyxuL 1 分 对方程和边界条件同时对 y 取拉普拉斯变换得到 pp U pdx dU p x 11 1 2 0 3 分 解这个微分方程得到 pp x p pxU 111 22 3 分 再取拉普拉斯逆变换有 1 yyxyxu 2 分 所以原问题的解为 1 yyxyxu 1 分 8 解 对于初值问题关于 x 作 Fourier 变换 得 0 0 sin 0 0 d d 22 2 2 t uxFu tRxtua t tu 2 分 该方程变为带参数 的常微分方程的初值问题 解得 tjatja eCeCtu 21 2 分 于是 0 0 sin 0 2121 CCjauCCxFu t 2 分 则由 sin 2 1 21 xFCC 得 sin 2 1 tjatja eexFtu 2 分 作像函数 tu 的 Fourier 逆变换 atx atxatxeexFFtuFtxu tjatja cossin sin sin 2 1 sin 2 1 11 2 分 9 解 设 000 yxM为下半平面中任意一点 已知二维调和函数的积分表达式 为 dS n u rrn MuMu MMMM 1 ln 1 ln 2 1 00 0 1 分 7 设v为调和函数 则由第二格林公式知 0 22 dS n u v n v uduvvu 2 1 2 可得 dS n u v r dS rnn v MuMu MMMM 1 ln 2 1 1 ln 2 1 00 0 2 分 若能求得v满足 0 0 2 0 1 ln 2 1 0 0 y MM y r v yv 3 则定义格林函数v r MMG MM 0 1 ln 2 1 0 则有 dS n G MuMu 0 2 分 由电象法可知 001 yxM 为 000 yxM的象点 故可取 1 1 ln 2 1 MM r v 1 分 显然其满足 3 从而可得格林函数 2 1 1 ln 1 ln 2 1 1 ln 2 11 ln 2 1 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 10 10 yyxx yy yyxx yy rryy G n G rr MMG MMMM MMMM 3 分 故而 df yx y dS n G MuMu 1 2 0 2 0 0 0 1 分 10 解 1 格林函数公式 三维 为 G M M 0 0 1 4 M M r g M M 0 M 2 分 其中函数 g 满足的条件为 8 0 0 1 4 MM gM g r 式中 为区域 的