7.3.2 多边形的内角和.doc

7.3.2 多边形的内角和(第6课时) 三维目标 一、知识与技能 掌握多边形的内角和公式，并能运用 二、过程与方法 1经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理能力，养成主动探究的习惯 2能运用多边形内角和公式解决问题 三、情感态度与价值观 1通过师生的共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神 2通过运用内角和公式解决问题，使学生认识到数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点 教学重点 多边形内角和与外角和定理 教学难点 多边形内角和公式的推导 教具准备 投影片四张 第一张（记作732A）；第二张（记作732B）；第三张（记作732C）；第四张（记作732D） 教学过程 一、创设问题情境，导入新课我们知道三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都等于360，那么其他四边形的内角和等于多少？如图73-6中的这两个漂亮的多边形的内角和又是多少呢？相信在本节课结束时，大家都会轻而易举地作出回答 二、动手试一试，你会有收获 活动1 问题： 任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和再画几个四边形，量一量、算一算你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180得出这个结论？ 设计意图： 通过学生自己动手操作，让他们积极参加数学活动，主动思考、合作交流的“做数学”过程，让学生亲身体验数学发现的过程，增强动手能力、主动思考的能力 师生活动： 生：任意一个四边形，它的四个内角和都为360 我们可以利用上节课学过的知识来解决如图73-7，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360 （出示投影片732A） 问题： 从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察73-8，请填空： 从五边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将五边形分为_个三角形，五边形的内角和等于180_ 从六边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的内角和等于180_ 设计意图： 在得出任意四边形的内角和的求法后，再让学生思考五边形、六边形的内角和的求法，旨在让学生能从中找到规律，为后面求n边形的内角和打基础 师生活动： 生：从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它们将五边形分成3个三角形、五边形的内角和等于3180=540 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，因此六边形的内角和等于4180=720 师：由此我们可以看出，求多边形的内角和，可以把多边形用对角线分成若干个三角形利用三角形的内角和求解而分得的三角形的个数又与从一个顶点引出的对角线的条数有关 通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空： 从n边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将n边形分为_个三角形，n边形的内角和等于180_ 生：从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180（n-2） 即n边形内角和等于（n-2）180（n是大于等于3的整数） 师：利用刚才的思路，大家猜想一下，还有其他的方法吗？生：以五边形为例，可以在五边形内部任找一点，如图73-9把这一点与各个顶点连接起来，把五边形分成五个三角形，这时多了一个周角，因此，五边形的内角和为：5180-360=540 师：非常的了不起 生：老师，我还有别的方法，如图73-10可以在五边形的任一条边上取一个点，然后将这个点与各顶点连接，这时五边形被分割成四个三角形，但多了一个平角，所以，五边形的内角和为1804-180=540 生：我还有不同方法，如图73-11可以在五边形的外部任取一点，将此点与各顶点连接，这时图中共有五个三角形，原五边形的内角和等于4个三角形的内角和减去最下边一个三角形的内角和，即为4180-180=540 师：大家思维敏捷，富有创新精神，很棒，哪位同学来总结一下，如何推导多边形的内角和公式呢？ 生：数学中有一个重要的思想是转化思想，即把求多边形的内角和转化为求若干个三角形的内角和，关键是将n边形分割转化为三角形，分割的方法很好，上面给出了好多方法因此，可以得出结论：n边形的内角和公式为（n-2）180 尝试反馈 巩固练习 1一个多边形的每个内角都等于140，那么这个多边形是几边形？ 2一个多边形有35条对角线，则这个多边形是几边形？ 答案：1九 2十 活动3 （出示投影片732B） 【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 设计意图： 利用多边形内角和解决问题 师生活动： 师：大家思考一下，应从哪儿入手？ 生：应从四边形内角和入手因为它只有一组对角互补，要求另一组对角之间的关系，而这两组对角和恰好构成四边形的内角和，是360，从而可以求出另一组对角间的关系 师：可以写出证明过程吗？ 生：解：如图73-12，四边形ABCD中，A+C=180 因为A+B+C+D=（4-2）180=360， 所以B+D=360-（A+C）=360-180=180这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 活动4 （出示投影片732C） 【例2】如图73-13，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？ 设计意图： 利用内角和求外角和，从而得出n边形内角和 师生活动： 师：请大家先分析题意，然后找出解决问题的方法 生：外角和是指每个顶点处各取一个外角而每个顶点处的一个外角与它相邻的内角是互为邻补角，因此外角和与内角和之和就是6个平角再减去内角和，就是外角和 师：请大家把过程写出来 生：1+BAF=180，2+ABC=180； 3+BCD=180，4+CDE=180； 5+DEF=180，6+EFA=180； （1+2+3+4+5+6）+（BAF+ABC+BCD+CDE+DEF+AFE）=6180=1080 BAF+ABC+BCD+CDE+DEF+AFE=（6-2）180=720 1+2+3+4+5+6=1080-720=360 所以六边形的外角和为360 师：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？ 生：还相同因为三角形、四边形、六边形的外角和都是360 生：那也不一定正确，这只能作为猜想，不能作出结论，还要经过证明才行 师：能证明出来吗？ 生：可以根据刚才的思路，n边形中，每个顶点处的内角和外角组成一个平角，n个顶点处有n个平角，它们的和是180n即为多边形的内角和与外角和的和，而内角和为（n-2）180，所以外角和应为180n-（n-2）180=180n-n180+360=360 师：很好，还有其他的证明方法吗？ 生：有 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360如图73-14，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360 师：前面我们学习了n边形的内角和为（n-2）180，外角和为360，下面我们作一些巩固练习 尝试反馈 巩固练习 （出示投影片732D） 1一个多边形的内角和等于900，求它的边数 2一个多边形的每一个内角都等于140，求它的边数 3一个多边形的每一个外角都等于40，求它的边数 答案：17 29 39 三、课时小结 本节学习了以下主要内容： 1探索了n边形的内角和公式，外角和公式 2学会转化的数学思想方法 板书设计 732 多边形的内角和 活动一（探究四边形的内角和） 活动二（探究多边形的内角和） 活动三（多边形内角和的应用） 活动四（探究多边形的外角和） 活动与探究 1如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120，AF=AB=2，BC=CD=3求DE、EF的长 解：把边AB、CD、EF向两方延长，分别交于M、N、P 因为六边形的每个内角都是120，所以MNP是等边三角形，NAF，MBC，PDE也都是等边三角形 设EF=x，DE=y，则 x+2+y=3+3+y=2+2+3 x=4，y=1 2在一个凸n边形中，有（n-1）个内角的和恰为8 940，求边数n的值 解：设此凸n边形中有一个内角为，剩余（n-1）个内角之和恰为8940 =（n-2）180-8940 0180， 0（n-2）180-8940180 49.67n-250.67 n-2是整数 n-2=50 n=52 所以这个凸多边形是凸52边形 习题详解 习题73 1略 2（1）4x+60=（5-2）180 解得x=120 （2）3x+3x+2x+4x=（4-2）180解得x=303多边形边数 3 4 5 6 8 9内角和18036054072010801800外角和360360360360360360 4五边形的内角和=（5-2）180=540，正五边形的每个内角是，即108 十边形的内角和=（10-2）180=1 440，正十边形的每个内角是，即144 5九边形 6（1）三角形 （2）六边形 7由A+B+C+D=360， A+C，B=D， 得A+D+A+D=360， 即A+D=180 因此ABCD 同样可得BCAD 8（1）由BCCD，得BCD=90 由1+2=90，1=2，得1=2=45， 由1=2=3，得3=45 在CDO中，COD=180-1-3=90 因此，CO是BCD的高 （2）由COD=90，4=60，得5=90-4=90-60=30 （3）由5=30，5=6，得DAB=5+6=30+30=60 在ABD中，ABD=180-4-DAB=180-60-60=60 ABC=2+ABD=45+60=105 BCD=90 ADC=1+4=45+60=105 9五边形的内角和=（5-2）180=540， 由五边形ABCDE的内角都相等可得，CDE=E=C=108 由1+2+E=180，1=2，得1=2=36 同样，得3=4=36 ADB=CDE-1-3=108-36-36=36，即x=36 10六边形的内角和=（6-2）180=720 由六边形ABCDEF的内角相等可得， CDE=B=C=E=120 在四边形ABCD中，ADC=360-DAB-B-C=360-60-120-120=60 ADE=CDE-ADC=120-60=60 由DAB=ADE，得ABDE 由DAB+B=60+120=180，得BCAD 由ADE+E=60+120=180，得EFAD 由BCAD，EFAD得BCEF 备课资料 “峰房”中的数学问题 左之辉 马克思说过：“蜜蜂建造蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧”人们之所以赞美蜜蜂的蜂房结构，因为它是符合数学观点的最省材料的设计蜂房是一座十分精密的建筑工程蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大小，而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体，每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小，6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好120度，形成一个完美的几何图形 对于如此精妙的蜂房结构，人们一直情有这样的疑问：“蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢？”虽然蜂房是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，在高度一定的情况下，蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面面积 公元四世纪，古希腊数学家佩波斯提出：“蜂房的优美形状，是自然界最有效劳动的代表”他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂房，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的他的这一猜想称为“蜂窝猜想”，但这一猜想一直没有人能证明 1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的多边形中，正多边形的周长是最小的但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢？陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点后