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第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 1 第第 5 5 章章 习题习题参考答案参考答案 5 1 思考题思考题 答案暂略 5 1 练习题练习题 5 2 1 确定下列时间函数的拉普拉斯变换和收敛域 画出零 极点图 1 21 ut 2 23tt eu teu t 3 45 sin5 tt eu tet u t 4 23tt e ute ut 5 2t te 5 2 1 1 tu t 6 0 3 5 2 t eu t 7 2t t e ut 8 2t teu t 9 tu t 10 2 1 t eu t 11 atb 12 33tut 13 23 1 1 t tteu t 14 101 0 t x t other 15 01 212 tt x t tt 答 1 21 ut 2 1 s F se s 2 23tt eu teu t 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 2 3 45 sin5 tt eu tet u t 4 23tt e ute ut 5 2t te 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 3 5 2 1 1 tu t 32 111 2 s F se sss 6 0 3 5 2 t eu t 2 0 6 5 0 3 s e F se s 7 2t t e ut 8 2t teu t 9 tu t 10 2 1 t eu t 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 4 11 atb 12 33tut 13 23 1 1 t tteu t 15 101 0 t x t other 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 5 16 01 212 tt x t tt 5 2 2 对下列每个信号的拉普拉斯变换及其收敛域 确定其对应的连续时间函数 f t 1 1 1 2 0 2 s s sF 2 2 1 0 9 F s s 3 2 0 9 s F s s ss ss sF 5 2 1 1 19 s F s s 6 2 2 43 712 s F s ss 8 2 1 32 56 s F s ss 10 2 1 1 s e F s ss 11 223 2 32 ss s ee F s s ss 12 2 1 1 2 s se F s sS 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 6 13 22 0 1 s F s s 14 3 1 2 ss e sF s 解 1 1 1 2 0 2 s s sF 00 0 1 cos sin tt f tetu tetu t 2 2 1 0 9 F s s 3 2 0 9 s F s s ss ss sF 2 2 3 tt f ttte u teu t 5 2 1 1 19 s F s s 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 7 6 2 2 43 712 s F s ss 8 2 1 32 56 s F s ss 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 8 10 2 1 1 s e F s ss 2 2 t f tu teu t 11 223 2 32 ss s ee F s s ss 2 2 2 2 3 3 2 2 2 0 5 3 0 5 3 3 tt tt f teu teu tu t eu teu t 12 2 1 1 2 s se F s sS 13 22 0 1 s F s s 14 3 1 2 ss e sF s 2 3 1 2 3 1 63 tuetuetututf t 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 9 5 2 3 已知信号 x t的拉普拉斯变换为 1 1 1 X s s 试求出卷积信号 2 2 2 txtxtx 的拉普拉斯变换 5 2 4 设一个实信号 x t的拉普拉斯变换是 X s 现已知下述 5 个条件 1 X s只有两个极点 2 X s在有限 s 平面上没有零点 3 X s有一个极点在1sj 处 4 2t e x t不是绝对可积的 5 08X 试确定 X s 并给出其收敛域 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 10 5 2 5 设一个信号 x t有拉普拉斯变换 X s 现已知下述 5 个条件 1 x t是实偶信号 2 X s在有限 s 平面上没有零点 3 X s在有限s平面内有 4 个极点 其中一个极点在 412 j se 4 4x t dt 试确定 X s 并给出其收敛域 解 5 2 6 设信号 x t和 y t是两个连续右边时间 它们满足下面的两个微分方程 2 dx t y tt dt 和 2 dy t x t dt 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 11 试确定信号 x t和 y t的拉普拉斯变换和 X s和 Y s 指出收敛域 解 5 2 7 某连续时间信号 y t与连续时间信号 1 x t和 2 xt之间存在如下卷积关系 12 2 3y tx txt 式中 2 1 t x teu t 并且 3 2 t xteu t 试求出系统输出 y t的拉普拉斯变换 Y s 解 5 2 8 已知 54 4 3 1 2 22 ssss ss sH 试求出它的零 极点 并作图 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 12 解 5 2 9 某一 LTI 系统的系统函数 H s的零 极点分布如题图 5 2 1 所示 Im Re 2 2 11 题图 5 2 1 1 指出与该系统零 极点图有关的所有可能的 ROC 2 对于 1 中所确定的每个 ROC 讨论有关的系统是否稳定和因果的 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 13 5 2 10 系统传输函数的极点位于3 s处 零点位于0 aas处 另外已知 1 H 此系统的阶跃响应中包含一项 t Ke 3 试问若a从 0 变到 5 时 K值如何变化 5 2 11 某二阶连续应果系统的系统函数的极点位于12j 处 若该系统是全通系统 且 4 0 h 试求出该系统的系统函数 H s 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 14 5 2 12 根据初值和终值性质 求下列相函数的初值 0 f及终值 f 如果存在 1 4 1 32 2 2 ss ss sF 2 2 21 4 s F s s 3 2 12 1 4 s F s s s 4 2 2 1 4 s e X s s s 解 1 4 1 32 2 2 ss ss sF 2 2 21 4 s F s s 0 2f f 不存在 3 2 12 1 4 s F s s s f 不定 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 15 4 2 2 1 4 s e X s s s f t的初值 0 f 0 终值 f 不存在 5 2 13 系 统 函 数 为 sH的 应 果 系 统 其 中 112 122 2 23 ss sss sH 当 激 励 t f te u t 时 求系统全响应 ty的初值 0 y 解 0 11y 5 2 14 系统传递函数分别如下 1 25 8 2 1 s sH 2 5432 4 234 2 ssss s sH 3 23 17 2 3 ss s sH 4 3147 285 2 2 4 ss ss sH 试确定它们的稳定性 解 根据极点分布判定 5 2 15 某 一 因 果LTI系 统 已 知 其 输 出 的 拉 普 拉 斯 变 换 为 2211 sHsFsHsFsY 又已知当0 t时有 该系统有以下性质 1 0 1 tf 2 当输入 2 2 2 tueetf tt 时 输出响应为 5 2 tueety tt 3 当输入 2 2 2 tueetf tt 时 输出响应为 5 2 tueety tt 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 16 4 当输入 2 2 tueetf tt 时 输出响应为 2 tueety tt 则当0 t时 求系统输入为 2 2 tueetf tt 时系统的输出响应 y t 解 4 2 tueety tt 5 2 16 已知 LTI 系统的输入信号 tx的拉普拉斯变换0 2 2 tx s s sX t 0 系统输出 3 1 3 2 2 tuetuety tt 1 求系统函数 sH 并确定其收敛域 2 求系统的冲激响应 th 3 根据 1 中求出的 sH 确定当输入 tetx t 3 时的输出 ty 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 17 5 2 17 已知 LTI 系统的输入信号 t x te u t 系统的单位冲激响应为 2t h teu t 1 求出 x t和 h t的拉普拉斯变换 2 用卷积性质确定输出 y t的拉普拉斯变换 Y s 3 对 Y s经反变换求 y t 4 直接计算 x t和 h t的卷积 验证 3 的结果 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 18 5 2 18 一个单位冲激响应为 h t的因果 LTI 系统有下列性质 1 当系统的输入为 2t x te 输出为 2 1 6 t y te 2 单位冲激响应 h t满足下列微分方程 4 2 t dh t h teu tbu t dt 式中 b 是一个未知常数 试确定该系统的系统函数 H s 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 19 5 2 19 已知一因果 LTI 系统的系统函数为 2 1 22 s H s ss 当系统输入 t x tet 和 2 21 33 tt y te ute u t 波形见题图 5 3 2 b 3 2 3 1 h t H s y t x t y t 题图 5 3 2 a 题图 5 3 2 b 1 求系统函数 H s 确定它的收敛域 2 求系统的单位冲激响应 h t 3 若系统输入 3 t x tet 时的零输入响应 3 当输入电流 2t x teu t 且 0 1y 时 试求电路的输出 y t R 1 L 1H y t x t 题图 5 3 3 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 37 5 3 5 设因果 LTI 系统S的输入为 x t 输出为 y t且其系统函数为 2 2 246 32 ss H s ss 为了导出S的直接型框图实现 首先考虑一因果 LTI 子系统 1 S 其输入为 x t 与系统S 的输入相同 但取其系统函数为 1 2 1 32 Hs ss 若子系统 1 S的输出为 1 y t 则 1 S的直接型框图如题图 5 3 4 所示 图中 e t和 f t分 别是两个积分器的输入 3 s 1 s 1 s 1 2 x t e t f t 1 ty 题图 5 3 4 1 将系统S的输出 y t表示成 1 y t 1 dy t dt 和 2 1 2 d y t dt 的线性加权组合 2 1 dy t dt 与 f t如何关联 3 2 1 2 d y t dt 与 e t如何相关联 4 将 y t表示成 e t f t和 1 y t的线性组合 5 根据上述结果将 1 S的直接型框图推广 构建S的框图实现 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 38 6 注意到系统S的系统函数又可以表示成 213 21 ss H s ss 试画出将S作为两个子系统级联的框图结构 7 又注意到系统S的系统函数还可以表示成 68 2 21 H s ss 试画出将S作为三个子系统级联的框图结构 解 5 3 6 画出具有下列系统函数的因果 LTI 系统的直接型描述 1 1 2 1 56 s Hs ss 2 2 2 2 56 710 ss Hs ss 3 32 2 s Hs s 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 39 5 3 7 有一四阶因果 LTI 系统S 其系统函数为 22 1 121 H s ssss 1 证明 若用四个一阶子系统级联组成S的直接型实现中 包含有复数的系数相乘 2 给出用两个二阶子系统级联组成S的框图设计 其中每一个二阶子系统都用直接型 表示 要求所得到的方框图均为实系数的相乘 3 给出用两个二阶子系统并联组成S的框图设计 其中每一个二阶子系统都用直接型 表示 要求所得到的方框图均为实系数的相乘 解 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 40 第五章 拉普拉斯变换 第 5 章 习题参考答案 41 5 3 8 一个 LTI 系统 H s的逆系统是指 当它与 H s级联后 其等效系统的系统函数 为 1 或者说 等效系统的单位冲激响应是一个单位冲激函数 t 1 若用 1 Hs表示 H s的逆系统的系统函数 确定 H s和 1 Hs之间的关系 2 题图 5 3 5 是一个因果稳定系统 H s的零 极点图 试画出其逆系统的零 极点图 Im Re 1 2 1 题图 5 3 5 解 5 3 9 一个信号 x t的自相关函数定义为 xx x t x tdt 1 求当输入为 x t 输出为 xx t 时 LTI 系统 题图 5 3 6 a 所示 的单位冲激响 应 h t 2 根据 1 的结果 求出 xx 的拉普拉斯变换 xx s 以及 xx 的傅里叶变换 xx 3 如果 X s具有如题图 5 3 6 b 所示的零 极点图和 ROC 试画出 xx s 的零 极点图并指出 RO