2015年广州二模 数学答案.pdf

数学 文科 试题 A 第 1 页 共 9 页 2015 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 数学 文科 试题参考答案及评分标准数学 文科 试题参考答案及评分标准 说明 说明 1 参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共 10 小题 每小题 满分 50 分 题号 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共 10 小题 每小题 满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案答案 D A C B C A D B B D 二 填空题 本大题考查基本知识和基本运算 体现选择性 共二 填空题 本大题考查基本知识和基本运算 体现选择性 共 5 小题 每小题 满分小题 每小题 满分 20 分 其中分 其中 14 15 题是选做题 考生只能选做一题 题是选做题 考生只能选做一题 题号题号 11 12 13 14 15 答案答案 2 3 60 3 4 3 1 16 本小题满分12分 解 解 1 因为 7 5 3a b c 所以可设7ak 5bk 3ck 0k 2 分 由余弦定理得 222 cos 2 bca A bc 222 537 2 53 kkk kk 3分 1 2 4 分 2 由 1 知 1 cos 2 A 因为A是 ABC的内角 所以 2 3 sin1 cos 2 AA 6 分 由正弦定理2 sin a R A 7 分 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 2 页 共 9 页 得 3 2 sin2 1414 3 2 aRA 8 分 由 1 设7ak 即2 3k 所以510 3bk 36 3ck 10 分 所以 1 sin 2 ABC SbcA D 13 10 36 3 22 11 分 45 3 所以 ABC的面积为45 3 12 分 17 本小题满分12分 解 1 解 1 因为抽取总问卷为 100 份 所以 10040 102030n 1 分 年龄在 40 50中 抽取份数为 10 份 答对全卷人数为 4 人 所以4 100 4b 2 分 年龄在 50 60中 抽取份数为 20 份 答对全卷的人数占本组的概率为0 1 所以200 1a 解得2a 3 分 根据频率直方分布图 得 0 040 030 01101c 解得0 02c 4 分 2 因为年龄在 40 50与 50 60中答对全卷的人数分别为 4 人与 2 人 年龄在 40 50中答对全卷的 4 人记为 1 a 2 a 3 a 4 a 年龄在 50 60中答对全卷的 2 人记为 1 b 2 b 则从这 6 人中随机抽取 2 人授予 环保之星 奖的所有可能的情况是 12 a a 13 a a 14 a a 11 a b 12 a b 23 a a 24 a a 21 a b 22 a b 34 a a 31 a b 32 a b 41 a b 42 a b 12 b b共 15 种 8 分 其中所抽取年龄在 50 60的人中至少有1人被授予 环保之星 的情况是 11 a b 12 a b 21 a b 22 a b 31 a b 32 a b 41 a b 42 a b 12 b b共 9 种 11 分 故所求的概率为 5 3 15 9 12 分 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 3 页 共 9 页 18 本小题满分14分 1 证明 证明 连接 1 AB 在四边形 11 ABCD中 11 ADBCP且 11 ADBC 所以四边形 11 ABCD是平行四边形 所以 11 ABDCP 2分 在 1 ABA中 1AMAN 1 3AAAB 所以 1 AMAN AAAB 所以 1 MNABP 4分 所以 1 MNDCP 所以M N C 1 D四点共面 6分 2 解法一 解法一 记平面 1 MNCD将正方体分成两部分的下部分体积为 1 V 上部分体积为 2 V 连接 1 D A 1 D N DN 则几何体 1 DAMN 1 DADN 1 DCDN 均为三棱锥 所以 111 1DAMNDADNDCDN VVVV 1111 111 333 AMNADNCDN SD ASD DSD D DDD ggg 9分 111319 333 323232 13 2 11分 从而 1 1 111 2 1341 27 22 ABCD A B C DAMNDD C VVV 13分 所以 1 2 13 41 V V 所以平面 1 MNCD分此正方体的两部分体积的比为 13 41 14分 C1 A B A1 B1 D1 C D M N C1 A B A1 B1 D1 C D M N 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 4 页 共 9 页 解法二 解法二 记平面 1 MNCD将正方体分成两部分的下部分体积为 1 V 上部分体积为 2 V 因为平面 11 ABB AP平面 11 DCC D 所以平面AMNP平面 1 DDC 延长CN与DA相交于点P 因为ANDCP 所以 ANPA DCPD 即 1 33 PA PA 解得 3 2 PA 延长 1 D M与DA相交于点Q 同理可得 3 2 QA 所以点P与点Q重合 所以 1 D M DA CN三线相交于一点 所以几何体 1 AMNDDC 是一个三棱台 9分 所以 1 1 1119913 3 322222 AMNDD C VV 11分 从而 1 1 111 2 1341 27 22 ABCD A B C DAMNDD C VVV 13分 所以 1 2 13 41 V V 所以平面 1 MNCD分此正方体的两部分体积的比为 13 41 14分 19 本小题满分14分 解 解 1 因为 111 P a b是直线l 31yx 与y轴的交点 0 1 所以 1 0a 1 1b 2分 因为数列 n a是公差为1的等差数列 所以1 n an 4分 因为点 nnn P a b在直线l 31yx 上 所以31 nn ba 32n 所以数列 n a n b的通项公式分别为1 n an 32 n bn n N 6分 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 5 页 共 9 页 2 因为 1 32 nn f n nn 为奇数 为偶数 假设存在k N 使 34f kf k 成立 7分 当k为奇数时 3k 为偶数 则有 33241kk 解得11k 符合题意 10分 当k为偶数时 3k 为奇数 则有 314 32kk 解得 10 11 k 不合题意 13分 综上可知 存在11k 符合条件 14分 20 本小题满分 14 分 解 解 1 函数 f x的定义域为 0 1 分 因为 2 lnf xxaxx 所以 1 21fxax x 2 分 依题意有 10 f 即1210a 解得1a 3 分 此时 2 12121xxxx fx xx 所以当01x 当1x 时 0fx 此时函数 f x在 0 是增函数 9 分 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 6 页 共 9 页 当0a 此时 fx 2 12 221a xxxxaxx xx 其中 1 11 8 4 a x a 2 11 8 4 a x a 因为0a 又因为 12 1 0 2 x x a 所以 1 0 x 11 分 所以当 2 0 xx 当 2 xx 时 0fx 所以函数 f x在 2 0 x上是增函数 在 2 x 上是减函数 13 分 综上可知 当0a 时 函数 f x的单调递增区间是 0 当0a 1 分 因为圆C过点 0 0和 1 1 所以 22 2 22 11 ar ar 3 分 解得1a 1r 所以圆C的方程为 2 2 11xy 4 分 方法二 方法二 设 0 0O 1 1A 依题意得 圆C的圆心为线段OA的垂直平分线l与x轴的交点C 1 分 因为直线l的方程为 11 22 yx 即1yx 2 分 所以圆心C的坐标为 1 0 3 分 所以圆C的方程为 2 2 11xy 4 分 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 7 页 共 9 页 2 方法一 方法一 设圆D上的动点P的坐标为 00 xy 则 2 2 00 44xy 即 2 2 00 440yx 解得 0 26x 5 分 由圆C与圆D的方程可知 过点P向圆C所作两条切线的斜率必存在 设PA的方程为 010 yykxx PB的方程为 020 yykxx 则点A的坐标为 010 0 yk x 点B的坐标为 020 0 yk x 所以 120 ABkk x 因为PA PB是圆C的切线 所以 1 k 2 k满足 00 2 1 1 kykx k 即 1 k 2 k是方程 222 00000 22110 xxkyxky 的两根 7 分 即 00 12 2 00 2 0 12 2 00 21 2 1 2 yx kk xx y k k xx 所以 120 ABkk x 2 2 0 00 0 22 0000 41 21 22 y yx x xxxx 9 分 因为 2 2 00 44yx 所以 0 2 0 56 2 2 2 x AB x 10 分 设 0 0 2 0 56 2 x f x x 则 0 0 3 0 522 2 x fx x 11 分 由 0 26x 可知 0 f x在 22 2 5 上是增函数 在 22 6 5 上是减函数 12 分 广 州 教 研 数学 文科 试题 A 第 8 页 共 9 页 所以 0 max 2225 564 fxf min 0 1 31 min2 6min 4 84 f xff 所以AB的取值范围为 5 2 2 4 14 分 方法二方法二 设圆D上的动点P的坐标为 00 xy 则 2 2 00 44xy 即 2 2 00 440yx 解得 0 26x 5 分 设点 0 Aa 0 Bb 则直线PA 0 0 ya yax x 即 000 0ya xx yax 因为直线PA与圆C相切 所以 00 2 2 00 1 ayax yax 化简得 2 000 220 xay ax 同理得 2 000 220 xby bx 由 知a b为方程 2 000 220 xxy xx 的两根 7 分 即 0 0 0 0 2 2 2 y ab x x ab x 所以 2 4ABababab 2 00 00 24 22 yx xx 2 000 2 0 442 2 yxx x 9 分 广 州 教 研 数学