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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 158 2 28 8 显含时间力场中的功能原理及其应用显含时间力场中的功能原理及其应用 弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法 朱如曾 中国科学院 力学研究所 非线性国家重点实验室 微 重力国家实验室 北京 100190 摘要摘要 给出显含时间和不显含时间的保守力场与其它力共 同作用系统的功能原理 对于一个惯性系S 例如地面 中一端 固定的振动着的轻质弹簧振子 在另一平行于振动方向运动的惯 性系 S 例如运行中的小车 中观察 采用实体模型和力场模型得 到相同结论 该系统在惯性系S中机械能守恒 在惯性系 S 中 机械能不守恒 并指出在惯性系 S 中机械能也守恒的误解之错 误根源 这表明机械能守恒定律虽然满足相对性原理 但不是任 何情况下都具有伽利略协变性的 关键词关键词 显含时间力场 功能原理 机械能守恒定律 运 动弹簧振子 力学相对性原理 伽利略不变量 中文分类号中文分类号 0 301 文献标识码文献标识码 A 文献 1 2 讨论了一个问题 如图 1所示 一弹性系数为k的 轻质弹簧 其质量忽略不计 一端系在墙上 另一端系一质量 为m的小球 弹簧平行于光滑水平地面的x方向 小球处于该水 平地面上 在平衡位置o附近沿x方向做一维振动 一小车以 沿x方向的恒速u运动 试问 分别从地面 地球质量视为无限 大 故稳定地保持为惯性系 和小车上看 弹簧和小球 这个振 28 显含时间力场中的功能原理及其应用 弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法 159 动着的系统的机械能是否守恒 并证明之 轻质弹簧振子系统的运动可以从两种不同视角来观察 即有 两种等价的处理方式 第一种是 实体模型 即将系统看成由质 量为m的质点 本文以下仍称之为小球 和质量为零的弹簧所构 成 弹簧一端固定于墙壁 另一端与质点连接 弹簧两端的拉力 遵从胡克定律 这一问题可以称之为 准多体动力学问题 由于 忽略了弹簧的质量 所以系统的机械能就是弹簧的弹性势能加上 小球的动能 第二种是 保守外力场模型 即由于忽略了弹簧的 质量 干脆拼拼弃弹簧实体 但保留弹簧提供给小球的力 即系统 表示为质量为m的质点 小球 在按照胡克定律分布的外力场 中 因此问题化归为胡克定律力场中的 单质点动力学问题 系 统的机械能就是小球的动能加上小球在保守外力场中的势能 通常在 实体模型 下采用功能原理来分析这一问题 1 2 这是 一个保守系统 在地面上看 记为惯性系S 虽然系统之外的墙 壁对系统有外作用力 f 但是被这个力作用的弹簧端点没有位 移 做功为零 故系统的机械能守恒 在小车上看 记为惯性 系 S 因为固定在墙壁上的弹簧端点有速度 u 所以墙壁对弹 簧的外作用力不断做正负功 故机械能不守恒 但是最近有几位 大学物理教授 副教授向我提出争议说 既然轻质弹簧的质量已 经假定为零 这就相当于没有了弹簧 并且墙壁对弹簧端点的约 束作用力可以看做直接作用在小球上 成为小球受到的力场 既 然小球已经被视为在一个力场中运动 再计算墙壁对弹簧所做的 功不是重复计算了吗 因此他们坚持认为无论在地面上看 还是 小 车 u v f 墙 o 图图 1 1 轻质轻质弹簧振子体系弹簧振子体系 光滑水平地面光滑水平地面 x m x 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 160 在小车上看 系统的机械能都是守恒的 这个矛盾如何解决 遇 到的矛盾往往意味着一些物理概念的混淆 解决矛盾对于澄清 学生的物理概念和培养学生从多方面看问题的思考能力是有好 处的 所以作者愿意在此介绍正确应用 力场 观点的正确方 法 并顺便指出争议的错误根源 为了便于比较和有利于概念的 澄清 本文将平行叙述两种模型在两个惯性参考系的处理 下 面将首先证明作为基础的显含时间的保守力场中的功能原理 1 显含时间的保守力场中的功能原理显含时间的保守力场中的功能原理 显含时间的保守 显含时间的保守力场中的功能原理 力场中的功能原理 对任一惯性系中各质 点的位置和速度分别为 i r和 i v i 1 n 的n质点系统 如果除 受到显含时间t的 势函数分别为Epin和Epout的保守内力 ini f和 保守外力 outi f的作用外 还受到其它力 othi f i 1 n 的作 用 则系统的机械能E的变化率为 dt dE othii i fv t Ep 其中 Ep Epin Epout 证明 由势函数的定义 ini f pin i r E outi f pout i r E 得 dt dE in p in pin ii i E fv t dt dE out p out pout ii i E fv t 28 显含时间力场中的功能原理及其应用 弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法 161 系统的总动能Ek遵从动能定理 dt dEk inoutothiiiiii iii fvfvfv 将 和 式相加即得 式 证毕 由此功能原理还可以立即得到势能函数显含时间系统的机械 能守恒条件是 式右边为零 这也就是文献 中的 式所 提出的条件 2 实体模型实体模型 准多体动力学分析 准多体动力学分析 本文统一以适用于质点系的功能原理表示式 1 为基础 所 以连续体弹簧需要理解为多粒子链 2 1 在稳定的地面惯性参考系在稳定的地面惯性参考系S中观察中观察 在图1 中 以轻质弹簧平衡时小球所处的位置o为x轴的坐标 原点 记为xo 0 小球的位置坐标x就是小球离开平衡点xo 0的 位移 也即弹簧的伸长或压缩 x xo 小球的一维速度和动能分别 记为v和Ek 现在先单独对该轻质弹簧作为一个多粒子子系统应用功能原 理的公式 1 计算其拉伸后的弹性势能 然后证明机械能守恒 已 知弹簧遵从胡克定律 即弹簧在端点x处受到的小球作用力 公 式 1 中称为 其它力 为 f f k x xo 6 墙壁作用于弹簧的其它力为 f 弹簧拉伸的可逆性表明组成弹簧 的粒子之间的相互作用力是不显含时间 而只与这些粒子之间 的相互距离有关的保守内力 并且不存在保守外力场 所以公 式 1 右边第二项为零 并且右边第一项求和号下只有两端的 两个其它外外 力贡献项 又由于弹簧的质量忽略不计 因 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 162 此动能为零 故 1 式化为 dEp k x xo dx k x xo d x xo 7 积分此式并约定未拉伸的弹簧势能为零 于是得弹簧的弹性势能为 Ep 2 1 k x xo 2 8 现在考虑弹簧加小球系统 由于忽略了弹簧质量 系统的机械 能为弹簧势能与小球动能Ek之和 E Ep Ek 2 1 k x xo 2 2 1 mv2 这个保守系统虽然受墙壁提供的其它力 f 作用 但该力的作 用点即弹簧端点无位移 故它不做功 由功能原理表示式 1 得 系 统的机械能守恒 即 E 2 1 k x xo 2 2 1 mv2 2 1 kA2 10 其中 A为振幅 2 2 在稳定的小车惯性参考系 在稳定的小车惯性参考系 S 中观察中观察 在 S 系中取与x轴重合的x1轴 其原点o1在t t1 0时刻 与 x 轴上的原点o重合 即初始时刻x轴的原点o在小车系中的 坐标xo1 t1 0 与在地面系的坐标都为零 xo1 t1 0 xo 0 小球的 位置 速度和动能分别记为x1 v1和E1k t 本文后面将一直采 用本段的这些约定 于是两个参考系的伽利略变换关系为 t t1 m m1 x1 x ut v1 v u xo1 xo ut ut 11 因此 弹簧的无形变长度l0和伸长 x xo 以及质点的加速度均是 伽利略不变量 力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯 性系 故力也是伽利略不变量 因此弹簧拉力f是伽利略不变 量 从而胡克定律是伽利略不变式 即胡克定律的成立与弹簧是 否正在做匀速运动无关 所以 由 6 式得 S 系中的胡克定律 28 显含时间力场中的功能原理及其应用 弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法 163 f1 k x1 xo1 k x1 ut 12 利用公式 7 的推导逻辑 并且用公式 12 取代公式 6 容 易得到在 S 系中成立与S系中公式 7 形式相同的公式 dE1p k x1 xo1 d x1 xo1 13 选择未伸长的弹簧的势能为零 由 13 式均可推得与 8 9 式形 式相同的公式 E1p 2 1 k x1 xo1 2 2 1 k x xo 2 Ep t 14 E1 E1p x1 xo1 E1k v1 2 1 k x1 xo1 2 2 1 mv12 其中 14 式表明弹簧的弹性势能是伽利略不变量 15 式 结合 11 式和 10 式得到 E1 2 1 k x xo 2 2 1 m v u 2 2 1 kA2 2 1 mu2 muv t 16 对于振动着的弹簧振子 v t 是 t的正弦或余弦函数 m k 2 1 故 16 式表明 在小车 S 系 上看 系统的机械能不守恒 其 原因十分清楚 在 S 系中 墙壁以速度 u运动 墙壁提供的其 它力f t 对系统要做功dWw1 根据功能原理表示式 1 其值正 好等于系统机械能的增量 验证如下式 dWw1 f t udt m 1 dv dt udt m dt dv udt mudv t dE1 17 故系统的机械能不守恒 3 保守外力场模型保守外力场模型 力场中的单质点动力学分析 力场中的单质点动力学分析 在保守外力场模型中 小球在遵从胡克定律的弹性保守外 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 164 力场中运动 在这种观点下 无论在 S 系中观察还是在 S 系中 观察 墙壁力由于不直接作用于小球 所以不属于功能原理表 示式 1 中的 其它力 3 1 在稳定的地面惯性参考系在稳定的地面惯性参考系S中观察中观察 在此情况下 显然 2 1 节的公式 6 10 都成立 只是 其中胡克定律公式 6 中的f不再是墙壁对弹簧的作用力 而是 弹性外力场对小球的作用力 Ep x 不再称为弹簧的势能 而称 为小球在保守外力场中的势能 机械能守恒式 10 的理由不再 是 这个保守系统虽然受墙壁提供的其它外力 f 作用 但该力的 作用点即弹簧端点无位移 故它不做功 而应改为 因为本保守 外力场的势函数不显含时间 又无其它力作用 根据功能原理的 方程 1 机械能守恒 3 2 在稳定的小车惯性参考系 在稳定的小车惯性参考系 S 中观察中观察 小车 S 系中的胡克定律表示式 12 表明 整个保守外力场以 速度 u平移 因此这个保守外力场不仅与空间坐标x1有关 还 与时间t有关 所以力场f1是 x1 t 的二元函数 因此其势势函 数E1p也是 x1 t 的二元函数 即显含时间t 于是 dE1p x1 t 1 1 1p dx x E t dt t E x1 1p 1 1 1p dx x E t udt x E t1 1 1p f1dx1 f1udt 18 其中应用了 2 式中的第二式 这里 势能势能场的时间偏微分贡献 项 f1udt 恰恰就是实体模型中墙壁对弹簧所做的元功项 而 前一项 f1dx1就是小球对弹簧所做的元功项 所以此式与实体模 28 显含时间力场中的功能原理及其应用 弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法 165 型下的 13 式相等 事实上 对 18 式应用胡克定律 12 式 即得 13 式 这是两种模型都正确的必然结果 从 13 式出发选择未伸长的弹簧的势能为零 即x1 xo1 ut处 的势能为零 可以推得 14 式和 15 式 然后可以采用如下 两种方法完成对系统机械能不守恒的证明 3 2 1 直接计算小球的机械能 直接计算小球的机械能 将 15 式与力场观点下也成立的 10 式相结合 得到 16 式 它 表示振动着的弹簧系统的机械能不守恒 3 2 2 直接利用功能原理表示式 直接利用功能原理表示式 1 本模型由于只存在由显含时间的势函数E1p x1 t 表示的保守 外力场 而无其它力 故方程 1 简化为 dt dE1 1 p1 x t E 将 14 式代入 19 式 并利用 11 式的最后一式得 dt dE1 k x1 xo1 t xo 1 ku x1 ut kux t 20 这里x是 t的正弦或余弦函数 所以对于振动着的小球 在小 车上观察 机械能不守恒 19 式显示 在力场模型下 机械能 不守恒的根源在于保守外力场显含时间 4 争议意见的错误根源争议意见的错误根源 争议意见错误地认为在小车上看 弹簧振子机械能也守恒 这 一错误的根源在于 就实体模型观点看 争议者计算弹簧势能时 误用了保守外力场模型中不显含墙壁作用的概念 因而丢了 13 式 中墙壁功对势能的贡献部分 k x1 xo1 dxo1 f1udt 就保守外力场 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 166 模型观点看 争议者忽视了弹性力场显含时间的性质 因而计算 势能微分时丢了 18 式中的时间偏微分贡献项 这些概念混淆 值得学生们注意 5 结论结论 给出了显含时间和不显含时间的保守力场与其它力共同作用 系统的功能原理 对于一个惯性系S 例如地面 中一端固定的 振动着的轻质弹簧振子 机械能守恒 但是在另一平行于振动方 向运动的惯性系 S 例如运行中的小车 中观察 采用实体模型 和力场模型都得到机械能不守恒的结论 因此S系中的机械能守 恒定律 不具有伽利略协变性 这充分证明机械能守恒定律虽然 满足力学相对性原理 但是并不在任何情况下都具有伽利略协变 性 这与文献 4 5 一致 而否定了文献 6 把物理定律满足力