实变函数练习题.doc

实变函数练习题一、 选择题1的辐射角情况为（ ）。 A有无穷多个 B有限个 C可能无穷可能有限 D不存在2如果则（ ）。A B C D3设为复数列，则（ ）。 A级数收敛而级数不收敛 B级数不收敛而级数收敛C级数和均收敛 D级数和均不收敛4的支点是（ ）。 A 0 B C 0及 D不确定5设f (z)及g (z)都在区域D内解析，且在D内的某一段曲线上的值相同，则这两个函数在D内（ ）。A不恒等 B恒等 C相差个非零常数 D不确定6方程所表示的平面曲线为（ ）。A园 B直线 C椭圆 D双曲线7设，则（ ）。A B C D8设W=Ln(1-I)则Imw等于（ ）。A BC D9解析函数的幂级数展式有（ ）。A唯一一个 B无穷多个 C不一定存在 D可数个10同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（ ）。A相同 B不同 C不一定唯一 D以上均错11若是的聚点，则（ ）。A B C 是内点 D A、B均对12设C为正向圆周，则积分等于（ ）。A 0 B C D13是函数的（ ）。A一阶极点 B可去奇点 C一阶零点 D本性奇点14幂极数的收敛半径为（ ）。A 0 B 1 C 2 D 15设积分路线C是贴为z=-1到z=1的上半单位圆周，则等于（ ）。A B C D 16已知解析K为正整数则=（ ）。A CK B K!CK C CK-1 D无法确定17方程表示（ ）。A以原点为心，以2为半径的圆B以i为圆心，以2为半径的圆C以-i为圆心，以2为半径的圆D以上均不对18在点Z0=5处的Tay10r级数的收敛半径为（ ）。A 1 B 2 C 3 D 419沿正向圆周的积分=（ ）。A B 0 C D以上都不对20下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部的为（ ）。A B C D二、 填空题1实数的共轭是_；纯虚数的共轭是_。2设已给集合E.M是复平面上一点，如果M有一个r领域完全属于E，M称为E的_；M的任一r领域内既有集E的点，也有非E的点，M称为E的（ ）；M有一个领域完全不属于E，M称为E的_。3指数函数f (z)=ez在_上解析。4指数函数的奇点为_，_，_。5我们把有二阶连续偏导数且满足拉普斯方程的函数称为_。6级数的收敛半径为_。7ez在z=0的泰勒展式为_。8已知则Re (z)=_; Im(z)=_；=_。9复数的指数表示为：_，三角表示为:_。10w=z2将z平面上x2-y2=4映射成w平面上怎样的曲线？_。11. 1ni=_，Lni=_。12令C为连接点a及b的任意曲线则有=_=_。13若，是z是_。14若则_。15设为复数则_；_；_； =_。16若;则=_。17shz=_，chz=_。18(1+i)c=_。19设则Ref (z)=_;Imf(z)=_。20设C是连接原点0和1+i的直线则=_。21设D是闭路C所围成的单连通区域，在闭域C+D上解析，则=_。22若f(z)在z=0的邻域内连续则=_。23设则它的本函数为_。24设C是连接Z及Z。两点的简单曲线那么=_。25是函数的_。26级数的收敛半径_。27C是的正向圆周；则=_。28在内的罗朗级数为_。29、若ab，则（a, b）的基数为 。30、设(mE),f(x)0a. e.于E，又E f(x)dx=0，则mE= 。31、若An=x;0x1+1/nn=1、2、3，则 。32、设E=（x,y）;x0,1Q,y=0R2，则E= 。33、点集E为闭集的充要条件是 。三、判断题1复数都有无穷多个对数。（ ）2及是有界的。（ ）3解析函数有任意阶导数。（ ）4f (z)在域D内解析，则它的实部及虚部是该区域内的调和函数。（ ）5在单位圆周上，点点绝对收敛。（ ）6如果f (z)在z0连续，那么f (z0)存在。（ ）7如果f (z0)存在。那么f (z)在z0解析。（ ）8如果u (x ; y)和 (x ; y)可导，那么f (z)=u+i也可导。项基本原则（ ）9每一个在z0连续的函数一定可以z0在的领域内展开Taylor级数。（ ）10每一个幂级数收敛于一个解析函数。（ ）11若级数绝对收敛，则级数也收敛。（ ）12（ ）13（ ）14级数收敛半径为1。（ ）15每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ）16、对于给定的集合A、B有（A-B）B=A。（ ）17、任何可数点集的外测度都是零。（ ）18、如果f(x)是E上的非负函数，E f(x)dx=0则f(x)=0 a. e.于E。（ ）19、当f(x)即是E上又是F上的非负可测函数时，f(x)也是EF上的非负可测函数。（ ）四、计算题12 2-2i (用指数式计算其辐角的一般值)3（利用复数的三角式计算）45求变换点的转动角。6求函数分别在圆环及内的洛朗级数展式7计算留数8将化为三角式和指数式9一个复数乘以i他的模与幅角有何改变？10证明复平面上圆的方程可写成11是否存在着在原点解析的函数f (z)满足条件： 12求方程在内根的个数。13求积分的值。14把展开z幂级数，并指出它的收敛半径。15计算积分路线自原点到3+i的直线段。16、求五、求下列各式的积分1 234求积分5求的值。六、证明题1对于两复数z1,z2求证：z1z2=0的充要条件是z1与 z2中至少有一个为零。2利用C-R方程，证明函数f (z)=z3在全平面上解析。3如果函数f (z)在闭路C上解析，在C的内部除去n个孤立奇点a1,a2,an外也解析，则 4证明：令函数不断试证：f(z)在原点不连续。5证明：级数在收敛圆内一致收敛。6、设于E，于E，则= a. e.于E。参考答案一、选择题1-5 ADCCB 6-10 DABAB11-15 DABDC 16-20 CCDBC二、填空题1、实数；纯虚数 2、内点；边界点；外点 3、全平面 4、0；1；-1 5、调和函数 6、1 7、 8、 9、10、u = 4 11、 12、13、实数 14、0 15、 16、17、18、-8i19、20、 21、0 22、23、 24、z-z0 25、可去奇点26、R=0 27、0 28、29、c30、0 31、x;0x132、(x,y);x0,1,y=033、三、判断题1-5 6-10 11-15 16、17、18、19、四、计算题1 解 原式= =2 解 =2 所以，z的辐角一般值为3 解： = =-12-3I4解：令 ,则f(z)在以为闭圆的圆周内解析。由定理5中柯西积分公式原式= = = =05解：设f(z)=在z=1的转动角为a,则6解：若 则 若 则7解：函数f(z)在z=i有二阶极点 这时， 令 z=i+t 则在的泰勒展式中t的系数就是f(z)在i的留数。 时， 因此时， 于是Res(f(i)=- 89模不变，幅角增加了10设园方程为将带入取得11解：由于及（n=1,2,3）都以0为聚点由解析函数的唯一性定理f (z)=z是在原点解析并满足的唯一函数 但它不满足 故没有满足原式且在原点解析的函数12解：令f(z)=-z5+1,g(z)=z8-2z由于当时我们有而已给方程在内根的个数与-5z5+在内零点的个数相同即5个。13解：14解：因 故 而收敛半径R=115解：设 则dz=(3+i)dt 16、解：因为2nx1+n2x2 所以又在0，1上显然有所以由Lebesgue控制收敛定理的推论知五、求下列各式的积分1、 2、 3、 4、解：令，则 且当t从0增加到时， Z按反时针方向绕圆周 因此5、解：六、证明题1证明：1）设z1=0，由乘法法则，得 2）设且，则存在。于是由1）可得 另一方面，有 比较以上两式，可知2证明：令 易见， 所以u ,v在全平面上可微 故 满足C-R方程证得在全平面上解析3证明：以每点为心作小圆，使得这些小圆都在闭路C内，并且它们彼此相隔离（图6.1）。由多连