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文档简介
数学平面图形及其位置关系复习【本讲教育信息】一、教学内容:二、学习重难点:认识点、线段、射线、直线,掌握线段、射线、直线的概念,掌握线段、射线、直线的区别与联系。了解“两点之间所有连线中,线段最短”的性质及线段的比较方法。理解角的有关概念,认识角的表示,认识度,分,秒,掌握角度制的简单换算。认识角的平分线,能画出一个角的平分线。认识平行线,理解平行线的概念,理解平行公理及平行线的传递性。认识互相垂直的直线,理解与垂直有关的直线、线段的性质及点到直线的距离的概念。三、知识要点讲解:(一)知识要点总结(二)数学思想方法总结1. 数形结合的思想方法把题目中涉及到的文字和符号用图形表示出来,结合图形进行观察,从而寻求线段的长度、角的大小之间的关系,是解题的必要步骤.例如,在比较线段、角的大小时,就可利用度量的方法,通过“数”的方法来比较“形”的大小.2. 转化的思想方法有关几何计算的问题,常常要想办法将其转化为代数问题,借助代数的方法求得问题的解决.3. 比较的思想方法利用比较的方法,把易混淆的概念和性质分清异同,有助于对概念和性质的理解和运用.如复习直线、射线和线段时,可通过比较它们之间的区别和联系来加深对概念的理解。4. 类比的思想方法利用类比,把多个知识点联系起来加以记忆,是一种非常有效的学习方法.比如在学习线段和角的度量、线段和角的大小比较、线段的中点和角平分线的概念时,就可采用类比的方法.5. 分类讨论的思想方法分类是解决数学问题常用的方法.分类时必须注意按照同一标准进行,要做到不重不漏.在解某些几何题时,由于题目当中没有给出明确的图形,就需要我们依题意画出图形,将所有可能的情况考虑在内,再结合相关知识求解.6. 方程思想在求线段的长度、角的大小时,经常要用到方程的思想来求解.(三)典型考题总结应用之1:推断直线条数例1、如图,A、B、C、D四个点中任意三个点都不在同一直线上,经过其中两个点可以画几条直线?解:由上图可以看出对于任意三个点都不共线的四个点A、B、C、D,过其中任何一个点都有三条直线经过,4312;但因为直线AB与BA,AC与CA,AD与DA分别是同一条直线,说明每一条直线都重复一次,所以实际画出的直线共 436条。推广:过任意三个点都不共线的n个点中的两点可画 (n为正整数)条直线,这是所能得到的最多直线的情况。例2、平面内有不重合的4个点,过每两个点可以画一条直线,若考虑符合条件的各种可能,则共能画出 条直线.析:我们从特殊的情况入手,若四个点都在一条直线上,再让一个点离“队”“看一看”,再让两个点离“队”“看一看”。答:一条、四条、六条。评:考虑符合条件的各种可能,作出合理的图形帮助分析。例3、观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字:两条直线相交, 三条直线相交, 四条直线相交,最多有1个交点; 最多有3个交点; 最多有6个交点;像这样,十条直线相交,最多交点的个数是( ).A. 40 B. 45 C. 50 D. 55分析:本题要求同学们通过对3种特殊情形的观察归纳与分析处理,得出结论.两条直线相交最多有1个交点;三条直线相交最多有12 = 3个交点;四条直线相交最多有123 = 6个交点;十条直线相交最多有123456789 = 45个交点,故选(B).方法总结:此题给出了数学推理问题的常用方法从特殊到一般,解此题的关键是找到变化的规律。应用之2:推断线段条数例4、下图中,共有几条线段?并分别写出. 解:因为任何一条线段都有两个端点,所以,若以A为一个端点,那么线段的另一个端点可以是B、C、D、E四点,于是以A为线段的一个端点的线段共有AB、AC、AD、AE四条,这样以A为端点的线段就全部数完了. 用同样的方法:以B为端点的线段共有BC、BD、BE三条(注意:BA已包括在以A为端点的线段中了);以C为端点的线段共有CD、CE两条;以D为端点的线段只有DE一条,故图中共有4+3+2+l=10条线段. 它们分别是AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE. 总结:这是数线段时常用的方法,由这种解法可以看出,一般地,当一条线段上有n个不同的点(原线段的两个端点不包括在内)时,图中线段共有(n+1)+n+(n1)+2+1 条注:关于角的数法与线段的数法类似,只需把线段的端点换成角的边就可以了. 应用之3:推断角的个数例5、下图中,共有几个小于平角的角?并分别写出它们. 解:以OA为一边的角共有AOB、AOC、AOD、AOE四个(以OA为一边的角就全部数完了);以OB为一边的角共有BOC、BOD、BOE三个;以OC为一边的角共有COD、COE两个;以OD为一边的角只有DOE一个,故图中共有4+3+2+1=10个角,它们分别是AOB、AOC、AOD、AOE、BOC、BOD、BOE、COD、COE、DOE. 一般地,当一个小于平角的角的内部有n条以这个角的顶点为端点的射线时,图中共有(n+1)+n+(n1)+2+1 个小于平角的角,当然,所遇到的图形不一定这么简单,还会遇到一些较复杂的图形,这时只需把原图形分解为若干个简单图形,求出每一个简单图形中线段或角的个数,其和就是原图形中线段或角的个数. 例6、下图中,共有多少条线段?有多少个小于平角的角?分别写出它们。解:(1)显然以A为线段的一个端点的线段共有AB、AD、AE、AC四条,由例4知BC线段上(包括BC)的线段共有3+2+l=6条. 分别是BD、BE、BC、DE、DC、EC. 故上图中共有4+6=10条线段,它们分别是AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC. (2)由例5可知,以A为顶点的小于平角的角为3+2+l=6个;以B和C为顶点的角各一个;以D、E为顶点的角各两个,所以上图中共有6+1+l+2+2=12个小于平角的角,它们分别是BAD、BAE、BAC、DAE、DAC、EAC、ABC、ACB、ADB、ADC、AEB、AEC. 应用之4:“垂线的特征”的应用例7、如图是建筑工人用来检验所砌墙面与地面是否垂直的一种方法,试说明其中的道理.析解:因为铅垂线和水平线是垂直的,如果铅垂线的尺面与墙面能够重合在一起,就说明墙面和地平面是垂直的.此实际问题的数学依据是“平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一特征.应用之5:“垂直的线段最短”的应用例8、一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校,如图,(1)汽车在公路行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?析解:离学校越近,对学校的影响越大,离学校的距离越远,对学校的影响越小.(1)如图,作MCAB于C,NDAB于D,根据“垂直的线段最短”,所以在C处对M学校的影响最大,在D处对N学校的影响最大.(2)由A向C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大,由D向B行驶时,对两个学校的影响逐渐减小,由C向D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.例9、如图,一个人从A地到河边某处挑水,问这人沿着什么方向走路最近?画图说明为什么.析解:我们学习了垂直,知道“垂直的线段最短”. 所以可过点A向河岸作垂线,交河岸于点D,如图,则沿着AD方向走路最近.应用之6、“点到直线的距离”的应用例10、在运动会的跳远比赛中,裁判员是如何测量跳远成绩的?这样做的依据是什么?析解:如图,自落在沙坑中的脚印O点向起跳线l作垂线,垂足为P,线段OP的长就是某同学的跳远成绩. 也就是垂线段OP的长.这样做的根据是“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离”. 所以测量时,一定要使皮尺与起跳线垂直.应用之7、概念辨析例11、下列说法错误的是 ( )(A)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.(C)两条直线相交有且只有一个交点.(D)若两条直线相交所形成的四个角相等,则这两条直线互相垂直.分析:把握概念,认真推敲。答:B应用之8、线段与角的有关计算例12、已知线段AB和BC在同一条直线上,如果AC = 5.6cm,BC = 2.4cm,求线段AC和BC的中点间的距离.分析与解:由于A、B、C三点在同一条直线上,且AC = 5.6cm,BC= 2.4cm,不能确定A、B、C三点的相对位置,B点可能在AC的延长线上,也可能在线段AC上,故设AC的中点为M,BC的中点为N.分两种情况加以讨论:(1)如图,当B 点在AC的延长线上时,依题意可知:MC = AC = (cm),CN = BC = (cm). MN = MCCN = 2.81.2 = 4(cm),即 AC和BC的中点间的距离为4cm .(2)当B 点在线段AC 上时,依题意可知:MC = AC = (cm),CN = BC = (cm). MN = MCCN = 2.81.2 = 1.6(cm),即:AC和BC的中点间的距离为1.6cm . 线段AC和BC的中点间的距离为4cm或1.6cm.说明:解这类问题容易受思维定式的影响,容易把问题简单化,仅考虑正确的一个方面,而忽略另一方面.因此,在解这类问题时,必须注重对条件的全面分析,特别是对模糊条件,要仔细琢磨,认真推敲,通过此类考题的训练,逐步培养思维的严密性和全面性.分类画出符合题意的草图,借助草图帮助分析计算是克服思维障碍的有效方法.例13、如图,延长线段AB到C,使BC = AB,D为AC的中点,DC = 4,求AB的长.解:设AB的长为 ,则 . D为AC的中点,DC = 4,AC = 2DC = 8. AB BC = AC, . ,即AB= 6.说明:用代数方法解决几何问题是一种非常有效的方法,同学们应注意掌握.例14、如图,AOB是直线,OC与OE分别是AOD与BOD的角平分线,则COE = _度.解:AOB是直线,所以AOB = 180. OC与OE分别是AOD与BOD的角平分线, COD= AOD,DOE= BOD. DOE.例15、上午9时30分,时钟的时针和分针所成的锐角为( )A. 90 B. 100 C. 105 D. 120析:这里不能想当然地填上90,要考察这个角是如何形成的。解:时针每分钟旋转 ,分针每分钟旋转6。在9时,时针和分针相差270,时针在分针前,从9时到9时30分,时针共旋转30 15,分针共旋转306180,则在9时30分,时针在分针前270+15180105评:细心分析,考察过程。(四)几点注意1、切实把握概念,并能结合已有的生活经验来理解知识。2、注意对象的多种可能。3、善于类比、对比,提高学习效率。4、能积极进行图案设计活动,并能对一些现象进行解释、说明。5、关注问题的过程,并能用方程等工具进行本质认识。【课堂小结】同学们,今天我们主要复习了第四章平面图形及其位置的关系,通过复习要注意总结其规律及题目的特点,更重要的是学会数学中常用的数学思想及方法。【模拟试题】一、仔细填一填,你一定很行1、在测量跳远成绩时,从落地点到起跳线拉的皮尺应当与起跳线_. 2、如图,从A到B有三条路可走,其中最近的路是_.3、如图,C、D是线段AB上的点,若AB8,CD2,则图中以A、C、D、B为端点的所有线段的长度之和为_.*4、如图所示的七巧板中,直角有_个,45的角有_个,135的角有_个. *5、如图,B、O、C在同一条直线上,OE平分 AOB,DO平分 AOC,则 EOD_. *6、平面内有12个点,其中任意三点都不共线,则过每两点画一条直线,一共可以画_条直线. 7、如图,BOACOD90,BOC+AOD140,则AOC. 8、P为线段AB上一点,且PA AB,M是AB的中点,若PM2cm,则AB_.9、已知AOB与BOC之和为180,这两个角的平分线所成的角是_.10、直线l同侧有A、B、C三点,如果A、B两点确定的直线l1与B、C两点确定的直线l2都与直线l平行,则A、B、C三点的位置关系是_,理论依据是_.11、观察下图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:像这样,10条直线相交,最多交点的个数是. *12、一块正方形木板有4个角,每次锯掉一个角,锯一次后还有5个角,锯两次后还有6个角,锯三次后还有7个角,像这样锯n次后,还有个角. 二、细心择一择,你一定很准13、在一副七巧板中有全等即重合的三角板的对数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 414、A位于B的北偏东40,那么B位于A的( )A. 南偏西50 B. 南偏西40 C. 北偏东50 D. 北偏东4015、直线L外一点P,则点P到L的距离是指( )A. 点P到直线L的垂线的长度 B. 点P到直线L的垂线C. 点P到直线L的垂线段的长度 D. 点P到直线L的垂线段*16、一个正方体,它的每个面上都写有一个字,组成“第四章数学题”,某同学掷得三次结果如图,那么“四”的对面是( )A. 第 B. 章 C. 数 D. 学17、已知AOB,P是任一点,过点P画一条直线与OA平行,则这样的直线( )A. 有且仅有一条 B. 有两条 C. 不存在 D. 有一条或不存在18、按照下面的长度,A、B、C在同一条直线上的是( )A. AB4,BC6,AC10 B. AB5,BC5,AC7C. AB10,BC8,AC9 D. AB15,BC5,AC1919、如图,以A、C、D、E、B为端点组成的线段共有( )条 A. 5 B. 10 C. 15 D. 2020、和的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且,那么的另一边落在的( )A. 另一边上 B. 内部 C. 外部 D. 以上结论都不对*21、有下列4个判断:在同一平面内,不相交也不重合的两条线段一定平行;在同一平面内,不相交也不重合的两条直线一定平行;在同一平面内,不平行也不重合的两条线段一定相交;在同一平面内,不平行也不重合的两条直线一定相交.其中正确判断的个数是( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 122、下列说法:若ACBC,则C是线段AB的中点;若BD AB,则D是线段AB的中点;若AEBE AB,则E是线段AB的中点.其中错误的是( )A. B. C. D. 23、下列时刻中,时针与分针互相垂直的是( )A. 2点20分 B. 3点整 C. 12点10分 D. 5点40分24、两条平行直线m、n上各有4个点和5个点,任选9个点中的两个连一条直线,则一共可以连( )条直线 A. 20 B. 36 C. 34 D. 22三、认真做一做,祝你成功25、如图,某工厂P旁边有一条河流,在河岸AB 的什么地方建泵站抽水供工厂使用,才能尽量节约铺设的管道?请试着说出其中的理由?*26、某货轮从A港出发,先沿东北方向(北偏东45)行驶50km,再沿北偏西30方向行驶35km,然后沿南偏西47方向行驶35km,到达目的地,问目的地在A港的什么方向?27、如图,已知A、O、E三点在一条直线上,OB平分AOC,AOB+DOE90,试问:COD与DOE之间有怎样的关系?说明理由. 28、(1)如图,已知梯形ABCD中,ABCD,过点C画DB的平行线与AB的延长线交于F,度量DC与BF,DB与CF的长,并比较DC与BF,DB与CF的大小.(2)直线AB、CD相交于点O,点P是直线AB上不同于点O的一点,过点P作CD 的平行线EF,用量角器度量AOC与APE的大小并比较.(3)以上两题的结论是偶然的吗?如有兴趣,请试一试,并讨论.*29、一副三角板由一个等腰三角形和一个含30角的直角三角形组成,利用这副三角板构成15角的方法很多,请你画出其中三种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法.*30、(1)如图,已知AOB90,BOC30,OM平分AOC,ON平分BOC,求MON的度数.(2)如果(1)中的AOB,其它条件不变,求MON的度数.(3)如果(1)中BOC(为锐角),其它条件不变,求MON的度数.(4)从(1)、(2)、(3)的结果中能得出什么结论?31、如图,是小明用七巧板拼出的图案.(1)请赋予该图形一个积极的含义;(2)请你找出图中两组平行线段和两组互相垂直的线段,用符号表示它们;(3)找出图中的一个锐角,一个钝角,一个直角,将它们表示出来,并指出它们的度数.四、拓广探索*32、已知线段AB6cm,在线段AB上画线段BC4cm,若M、N分别是AB、BC的中点(1)求M、N间的距离.(2)若ABacm,BCbcm,其他条件不变,此时M、N间的距离是多少?(3)分析(1)(2)的解答过程,从中你发现了什么规律?在同伴间交流你得到的启迪。*33、(1)直线L上任取2个点最多有几条线段,任取3个点最多有几条线段,任取n个点呢?(2)如图,P为直线L外一点,A、B为直线L上两点,把P和A、B连起来,一共可以得到多少个三角形?若在直线上增加一个点C,一共可以得到多少个三角形?若直线L上有n个点时,一共可以得到多少个三角形?(3)当直线L上有1个点时,有几条射线?有2个点时,有几条射线?有n个点时,有几条射线?34、钟面上从2点到4点有几次时针与分针成60的角?分别是几点几分?【试题答案】一、1、垂直;2、ADB;3、26;4、9、12、2;5、90;6、66;7、20;8、20cm;9、直角或锐角. 提示:当A、O、C在同一直线上时,这两个角的平分线所成的角为直角,若A、O、C不在同一直线上,这两个角的平分线所成的角为锐角;10、A、B、C在同一直线上,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;11、45个;12、n+4.二、13、B 14、B 15、C 16、C 17、D 18、A 19、B 20、C 21、C 22、A 23、B 24、A.三、25、过P作PQAB,Q为垂足,则Q为泵站位置,根据是垂线段最短.26、如图,D点为目的地,D点在A港的北偏西11.27、CODDOE. 理由:因为OB平分AOC,所以AOBBOC. 因为A、O、E三点在一条直线上,所以AOE180. 因为AOB+DOE90,所以BOC+COD90,所以COD90BOC,DOE90AOB,所以DOE
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