AC八届数学-考题.pdf

第 1 页 共 11 页 考点考点 考号考号 姓名姓名 就读学校就读学校 联系电话联系电话 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 2014 年第八届巨人杯综合素质评估 数学思维能力检测数学思维能力检测 五升六五升六 总分 总分 100 分分 时间 时间 80 分钟 分钟 学生注意 学生注意 题目答案需填在答题卡内 只填在原题的横线上不得分 题目答案需填在答题卡内 只填在原题的横线上不得分 A 卷 共三大题 卷 共三大题 18 小题小题 一 填空题 一 填空题 本大题共 8 小题 每小题 3 分 共 24 分 1 计算 101 2014 2013 结果写成带分数 考点 分数乘法运算 凑分母 难度 答案 101 101 2013 详解 凑分母 原式 101 101 2013 详解 凑分母 原式 101101 20131101 20132013 101101 20131101 20132013 2 一些质数可以表示成两个合数之和 这样的质数最小的是 考点 数论 质数与合数 答题卡答题卡 得分得分 总分总分 一 填空题 一 填空题 每小题 3 分 共 24 分 1 2 3 4 5 6 7 8 二 填空题 二 填空题 每小题 4 分 共 24 分 9 10 11 12 13 14 三 填空题 三 填空题 每小题 5 分 共 20 分 15 16 17 18 四 填空题 四 填空题 第 19 22 题 每小题 6 分 第 23 题 8 分 共 32 分 19 20 21 22 23 1 4 432234 ABAA BA BABB 2 3 第 2 页 共 11 页 难度 答案 13 详解 可以表示成两个合数之和的质数一定是奇数 经验证 13 是最小满足要求的 1349 3 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数中 至少选出 个 才能保证其中必有两个数 之差是 4 的倍数 考点 组合问题 抽屉原理 难度 答案 5 详解 除以 4 的余数有可能为 0 1 2 3 所以至少选出 5 个 才能保证其中必有两个数之差是 4 的倍数 4 一项工程 甲队单独做需 12 天完成 乙队单独做需 18 天完成 若甲队单独做 7 天后乙队过来帮 忙 那么还需要 天才能做完这项工程 考点 应用题 工程问题 难度 答案 3 详解 由题意可知甲的工效为 1 12 乙的工效为 1 18 甲队单独做 7 天后 干了 17 7 1212 还剩 75 1 1212 还需要 511 3 121218 天 5 将循环小数化成最简分数 0 0142857 考点 计算问题 分小互化 难度 答案 1 70 详解 1 0 142857 7 1 0 01428570 142857 10 70 6 从 1 3 5 7 9 五个数字中 选出三个组成能被 7 整除的三位数 那么 这样的三位数中最大 的是 考点 最值问题 整除问题 难度 第 3 页 共 11 页 答案 973 详解 利用极端调整的想法 由 1 3 5 7 9 组成的三位数最大的是 975 不是 7 的倍数 不满 足要求 第二大的是 973 满足要求 7 一个玻璃容器 底面是边长为 10 的正方形 已知这个容器里面有一些水 把一个棱长为 4 的正方 体实心铁块缓缓放到容器中 最后容器中的水恰好淹没这个铁块 如下右图从正面看是个 巨 字 那么原来容器内的水面高度是 考点 立体几何 物体入水问题 难度 答案 3 36 详解 右图水和铁块的总体积为10 104400 铁块的体积为44464 算得水的体积为 40064336 算得原来容器内的水面高度是3361010 3 36 8 一个两位数的数字和为该数的 1 8 那么这个两位数是 考点 数论 位值原理 难度 答案 72 详解 两位数ab可以表示为10ab 数字和是ab 根据题意可得 1 10 8 abab 解得27ab 即7a 2b 这个两位数是 72 二 填空题 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 9 已知新运算 符合 1212 23248 34361224 那么210 考点 定义新运算 找规律 难度 第 4 页 共 11 页 答案 2046 详解 2102481632641282565121024 2046 10 从 2 4 6 8 这四个数字中选出三个组成三位数 这些三位数中有 个是 3 的倍数 考点 整除问题 难度 答案 12 详解 三位数是 3 的倍数 说明这个三位数的数字和是 3 的倍数 那么选出的三个数可以是 2 4 6 或者 4 6 8 共有 3 3 212A 个 11 五年级一班组织去春游 学生自愿报名 该班一共有 40 名学生 其中有 28 名学生报名参加 结 果春游当天去了 36 名学生 那么肯定有些学生变卦了 报名了但是没来 或者没报名却来了 变卦的学生最多有 名 考点 容斥原理 最值问题 难度 答案 16 详解 要使得变卦的最多 没报名的全变卦 最多有402812 人 还有361224 人报名没变卦 报名变卦的就有28244 人 两个加起来可得变卦的同学12416 名 12 村长要石头 天天 Kimi 三人挖土豆 最终他们三个一共挖了 39 个 石头 天天挖的个数之比为 3 2 天天 Kimi 挖的个数之比为4 3 那么 石头比 Kimi 多挖了 个土豆 考点 应用题 比例应用题 难度 答案 9 详解 石头 天天3 2 天天 Kimi4 3 石头 天天 Kimi6 4 3 石头比 Kimi 多挖了 39643639 个 第 5 页 共 11 页 13 如图所示 大半圆中包含一个整圆和两个一样的小半圆 已知大半圆的半径为 6 厘米 那么图中 阴影部分的面积为 平方厘米 取 3 14 考点 平面几何 圆与扇形 难度 答案 28 26 详解 分割一下 如右图 把阴影部分的小半圆补到左下角空白的小半圆位置 阴影部分应为整个 大半圆的一半 为3 14662228 26 平方厘米 14 A B C 三个学校共有 400 多名学生 其中 A 校的学生数恰好占三校学生总数的 2 5 B 校的恰好 占三校学生总数的 7 24 那么 C 校有 名学生 考点 和差倍分问题 不确定性问题 难度 答案 148 详解 A 校占总数的 2 5 说明总人数是 5 的倍数 B 校占总数的 7 24 说明总人数是 24 的倍数 那 么总人数就是 120 的倍数 一共又有 400 多名学生 那么总人数只能是 480 人 C 校的学生数是 27 4801148 524 人 三 填空题 三 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 15 甲 乙两人分别从相距 300 米的 A B 两地同时出发相向而行 已知甲的速度为乙的 2 倍 那么甲 乙第一次相遇的地点距离 AB 中点 米 考点 行程问题 相遇问题 难度 答案 50 详解 简单的相遇问题 通过比例算得乙的路程为 100 易得距离中点 50 米 16 一项工程 乙单独做要 28 天完成 如果甲先做两天 接下来乙做两天 然后甲再做两天 乙做两 天 按这种方式 需要 18 天完成 如果乙先做两天 接下来甲做两天 然后乙再做两天 甲做两天 按这种方式 做完需要 天 考点 应用题 工程问题 难度 答案 19 第 6 页 共 11 页 详解 乙的工效为 1 28 甲先做两天 接下来乙做两天 18 天完成 这 18 天中甲做了 10 天 乙做 了 8 天 那么甲的工效是 11 1810 2814 如果乙先做两天 接下来甲做两天 那么 4 天一个周 期 一个周期完成的工作量是 113 22 142814 4 个周期可以完成 36 4 147 还剩 1 7 然后乙先做 2 天 完成 11 2 2814 还剩 1 14 甲再做一天就做完了 一共花了442119 天 17 阿奇和冬冬各有一些糖果 若阿奇吃掉 15 块 则他剩下的糖块占剩余全部的 1 3 若冬冬吃掉 10 块 阿奇吃 5 块 则冬冬剩下的糖果占剩余全部的 1 4 则阿奇原来有 块糖果 考点 应用题 分数倍问题 难度 答案 23 详解 两次吃的糖块总数都是 15 块 个数相同 所以剩下的糖块总数也相同 阿奇吃掉 15 块 则 他剩下的糖块占剩余全部的 1 3 冬冬吃掉10块 阿奇吃5块 则阿奇剩下的糖果占剩余全部的 13 1 44 所以15510 块对应剩余全部 315 4312 所以剩余全部 5 1024 12 阿奇原来有 1 152423 3 块 糖果 18 右边的竖式中 除数与商的和为 考点 数字谜 难度 答案 721 详解 为了叙述方便 不妨设商为abc 除数是8d 从题中第 6 7 两 行 可 以 看 出814dc 只 能 是383114 那 么 除 数 是 38 380b 只 能 是38 8304 382c 只 能 是 386228 那么商就是 683 除数与商的和是38683721 8 2 0 1 4 0 第 7 页 共 11 页 B 卷 共一大题 卷 共一大题 5 小题小题 四 填空题 四 填空题 本大题共 5 小题 第 19 22 题 每小题 6 分 第 23 题 8 分 共 32 分 19 电脑键盘上有一排数字键 从左至右分别是 1 2 3 9 0 若小悦的大拇指放在 1 号键 最大程度上张开手 小拇指正好能放在 7 号键 小悦现在将五个手指放在五个不同的数字键上 从左到右按一遍 可能按出 组不同的数字 考点 计数问题 分类与排列组合 难度 答案 66 详解 以 1 开头 2 到 7 有 4 6 15C 种 以 2 开头 3 到 8 有 4 6 15C 种 以 3 开头 4 到 9 有 4 6 15C 种 以 4 开头 5 到 0 有 4 6 15C 种 以 5 开头 6 到 0 有 4 5 5C 种 以 6 开头 7 到 0 有 4 4 1C 种 合一起来共有1545166 种 20 有 A B C D 四个人 每人戴有一顶帽子 帽子上分别写有一个互不相同且不为 0 的数字 每 个人都可以看见其他人帽子上的数 但看不到自己帽子上的 A 说 我知道我帽子上数的约数个数一定不是最多的 B 说 我看到的三个数的乘积是完全平方数 且这三个数的和是偶数 C 说 我所看到的数都是只有两个约数的奇数 D 说 我看到 C 帽子上的数刚好是 A B 帽子上数的和 已知四个人中只有一个人说了假话 其余三人说的都是真话 那么 A B C D 帽子上的数字依次排列构成的四位数是 考点 组合问题 逻辑推理 难度 答案 2684 详解 根据 A 说的 可以判断出 BCD 中一定有两个人帽子上的数是 6 8 1 9 中 6 8 的约数最多 第 8 页 共 11 页 有 4 个 这样 A 才能判断自己帽子上的数约数不是最多的 根据 B 说的 三个数的和是偶数 可以判断 ACD 三个人头上的数是 3 个偶数或者 2 个奇数 1 个偶数 三个数的乘积是完全平方数 可以判断是 2 4 8 或 1 4 9 根据 C 说的 C 看到的数都是只有两个约数的奇数 说明 C 看到的是奇质数 即 A B D 三个人头 上的数是 3 5 7 可以看出 B 和 C 两个人说的话是矛盾的 那么 B 和 C 有一个人说的是假话 即 A 和 D 说的都是真话 如果 B 说的是真话 C 说的是假话 那么 B 头上应该是 6 ACD 头上是 2 4 8 或者 1 4 9 又因 为 D 说 C 帽子上的数刚好是 A B 帽子上数的和 所以只能 C 是 8 A 是 2 D 是 4 如果 C 说的是真话 B 说的是假话 那么 C 头上应该是 6 ABD 头上是 3 5 7 这时 C 帽子上的数 不可能是 A B 帽子上数的和 矛盾 因此 A 是 2 B 是 6 C 是 8 D 是 4 依次排列构成的四位数是 2684 21 冬冬在纸上画了一个梯形 AD 平行于 BC E 为 DC 边上一点 将纸片沿 BE 对折 则 A 点和 C 点重合 已知三角形 BCE 面积为 16 三角形 ACE 的面积为 8 那么梯形 ABCD 的面积为 考点 平面几何 难度 答案 36 详解 连接 BD 三角形 BCE 与三角形 ABE 面积相等 可得AOCO 所以三角形 COE 与三角形 AOE 面积相等且为 4 三角形 BOC 与三角形 ABO 面积相等且为 12 三角形 DBC 面积和三角形 ABC 面积相等为 24 三角形 BDE 面积就为 8 三角形 BDE 与三角形 BCE 等高 得到线段 DE 与线段 EC 的长度比为 1 2 三角形 ADE 与三角形 ACE 等高 底边比为 1 2 求得三角形 ADE 面积为 4 各块面积相加的梯形面积 为4161636 22 A B 两地相距 48 千米 C 地在 A B 两地中点处 所有车辆经过 C 地之后都要减速 1 4 甲 乙 两车分别从 A B 两地同时出发相向而行 在甲车经过 C 地的时候 丙车从 A 地出发前往 B 地 随后 甲 乙两车在距离 C 地 3000 米处相遇 又过了一段时间 乙 丙两车在距离 C 地 9750 米 处相遇 如果甲车到达 B 地后立即返回 A 地 则甲 丙两车会在距离 C 地 米处相遇 考点 行程问题 变速问题 难度 答案 5760 A C B D E O 第 9 页 共 11 页 详解 设数法 假设甲车的速度为 4 千米 时 甲车到达 C 地需要48246 小时 经过 C 地之后 速度变为 3 千米 时 又经过 1 小时和乙车相遇 乙共用 7 小时行驶了482321 千米 所以乙的速 度为2173 千米 时 在甲 乙两车相遇 1 小时后 乙车到达 C 地 随后速度变为 2 25 千米 时 又 用了 1 9 752 254 3 小时与丙车相遇 丙车从出发到与乙车相遇共用了 11 1 146 33 小时 行驶了 4829 7514 25 千米 计算出丙车的速度为 11 14 2562 34 千米 时 最后我们来计算甲 丙两车的相遇地点 甲车降速后与丙车的速度比为4 3 所以当丙车到达 C 地时 甲车从 C 地行驶了 4 2432 3 千米 说明此时甲车已经到达 B 地并返回 又行驶了32248 千米 此 时丙车减速 1 4 那么甲 丙两车的速度比为16 9 甲 丙两车此时相距24816 千米 所以两车相 遇时丙车又行驶了 9 165 76 169 千米 即甲 丙两车会在距离 C 地 5760 米处相遇 23 请阅读以下材料并回答问题 一 通常将 n a和 n xy 叫做乘方 表示 n 个相同因数的积 例如 3 2222 2 xyxyxy 特殊地 对于任何不为 0 的数 a 0 1a 利 用 乘 法 分 配 律 能 够 得 到 22 2xyxyxxyyxyxxyy 即 2 22 2xyxxyy 我们将 22 2xxyy 称为 2 xy 的展开式 二 如图所示的数表叫做杨辉三角 是按一定规律排列的三角形数表 利用杨辉三角 我们能够 很容易得到 n xy 的展开式 0n 对应第 1 行 1n 对应第 2 行 2n 对应第 3 行 nk 对 应第1k 行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 0 xy 1 1 xy xy 2 xy 22 2xxyy 3 xy 3223 33xx yxyy 第 10 页 共 11 页 三 通常将求余运算叫做取模 例如 11 模 4 得 到 3 数列 1 2 3 4 5 6 7 模 3 得到 1 2 0 1 2 0 1 杨辉三角形模 5 得到一个新的数表如图 我们发现5n 对应的那一行 第 6 行 是 100001 只有首位和末位两个数是 1 其余全是 0 请根据以上材料完成下列问题 1 请在 中填入适当的数完成 4 AB 的展开式 五个 必须全对 4 432234 ABAA BA BABB 2 如果自然数 k 满足 将杨辉三角形模 k 后能使得nk 的那一行 第1k 行 只有首位和末 位两个数是 1 其余全是 0 则称自然数 k 为 光辉 数 那么在 10 至 30 之间共有 个 光辉 数 3 算式 101101 2982 的计算结果除以 101 的余数是 考点 数论问题 余数 难度 答案 1 根据规律可得 4 432234 14641ABAA BA BABB 2 6 个 3 10 详解 1 根据规律可得 4 432234 14641ABAA BA BABB 2 方法一 方法一 观察题中给出的杨辉三角形前 7 行 发现满足杨辉三角形模 k 后能使得nk 的那一行 第1k 行 只有首位和末位两个数是 1 其余全是 0 的 k 为 2 3 5 大胆猜测只有质数 k 能满足条件 进一步列出第 8 至 12 行验证 满足条件的 k 有 7 11 至此可以 知道 10 至 30 之间满足条件的 k 有 11 13 17 19 23 和 29 共 6 个 光辉 数 方法二 方法二 考虑当乘出 n n ABABABAB 个因子 时 我们将式子从左至右顺次按乘法分配律展开 11 nnn