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文档简介
1 5 3 1 正 负 定二次型的概念 5 3正定二次型与对称正定矩阵 由定义可知 正定矩阵必是半正定矩阵 但是半正定矩阵不一定是正定矩阵 2 为正定二次型 为负定二次型 例如 一个二次型既不是半正定的 也不是半负正定的 则称是不定的二次型 为半正定二次型 为半负定二次型 为不定二次型 3 定理1非退化线性变换不改变二次型的正定性 证明 设A是正定的 与定理1等价的有定理2合同变换不改变对称矩阵的正定性 4 5 3 2 正 负 定二次型的判别 定理3设n元实二次型 的秩为r 正惯性指标为p 负惯性指标为q 则二次型为 1 正定的充要条件是p n 2 负定的充要条件是q n 3 不定的充要条件是0 p r n 0 q 5 定理4设A是n阶对称矩阵 则有 1 A是正定的充要条件是A的特征值全是正数 2 A是正定的充要条件是A与单位阵合同 3 A是正定的 则 A 0 6 定理5对称矩阵A为正定的充分必要条件是 A的各阶主子式为正 即 对称矩阵A为负定的充分必要条件是 奇数阶主子式为负 而偶数阶主子式为正 即 7 设二次型 是正定的 对每个k 1 k n 令 证明必要性 8 定理6设B是m n矩阵 则BTB是对称半正定矩阵 如果B的秩是n 那末BTB还是正定矩阵 如果B的秩是n 即B的列向量线性无关 因此当X 0时 必定有Y BX 0 从而有 所以这时BTB是正定矩阵 证明 由 BTB T BT BT T BTB 可见BTB是对称矩阵 所以BTB是半正定矩阵 9 正定矩阵具有以下一些简单性质 10 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的 11 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法 故此二次型为正定二次型 即知是正定矩阵 12 解 13 例4设矩阵 判断矩阵A是否为正定 是否为负定 解取向量 14 所以A不是正定的 15 例5判别二次型 解二次型的对应矩阵为 的正定性 16 A和2A具有相同的正定性 故判定2A的正定性即可 17 2A的全部顺序主子式都大于0 A正定 f正定 18 例6判断n阶 n 2 矩阵A是否是正定阵 19 解法1顺序主子式 正定 20 解法2求A的特征值 得A的特征值为 全大于零 故A正定 解法3见p233例5 3 2 21 例7设A B是n阶实对称阵 其中A正定 试证当实数t充分大时 tA B也正定 仍是对称阵 故存在正交阵R 证由A正定 存在可逆阵Q使A QTQ 即 QT 1AQ 1 Q 1 TAQ 1 E 令P Q 1 则有PTAP E 22 使 23 24 25 2 正定二次型 正定矩阵 的判别方法 1 定义法 2 顺次主子式判别法 3 特征值判别法 5 3 4 小结 1 正定二次型
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