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一 一阶线性微分方程的概念与解的结构 第六章微分方程初步 第三节一阶线性微分方程 二 伯努利方程 定义一阶微分方程的一般形式为 F x y y 0 一 一阶线性微分方程的概念与解的结构 一 一阶线性微分方程 一阶微分方程的下列形式 称为一阶线性微分方程 简称一阶线性方程 其中P x Q x 都是自变量的已知连续函数 左边的每项中仅含y或y 且均为y或y 的一次项 它的特点是 右边是已知函数 称为一阶线性齐次微分方程 简称线性齐次方程 0 则称方程 为一阶线性非齐次微分方程 简称线性非齐次方程 通常方程 称为方程 所对应的线性齐次方程 若Q x 1 一阶线性齐次方程的解法 一阶线性齐次方程 是可分离变量方程 两边积分 得 所以 方程的通解公式为 分离变量 得 例6求方程y sinx y 0的通解 解所给方程是一阶线性齐次方程 且P x sinx 由通解公式即可得到方程的通解为 则 例7求方程 y 2xy dx x2dy 0满足初始条件y x 1 e的特解 解将所给方程化为如下形式 这是一个线性齐次方程 则 由通解公式得该方程的通解 将初始条件y 1 e代入通解 得C 1 故所求特解为 2 一阶线性非齐次方程的解法 设y C x y1是非齐次方程的解 将y C x y1 其中y1是齐次方程y P x y 0的解 及其导数y C x y1 C x y 1代入方程 则有 即 因y1是对应的线性齐次方程的解 因此有 其中y1与Q x 均为已知函数 代入y C x y1中 得 容易验证 上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分求得 且含有一个任意常数 所以它是一阶线性非齐次方程 的通解 在运算过程中 我们取线性齐次方程的一个解为 于是 一阶线性非齐次方程的通解公式 就可写成 上述讨论中所用的方法 是将常数C变为待定函数C x 再通过确定C x 而求得方程解的方法 称为常数变易法 例8求方程2y y ex的通解 解法一使用常数变易法求解 将所给的方程改写成下列形式 这是一个线性非齐次方程 它所对应的线性齐次方程的通解为 将y及y 代入该方程 得 设所给线性非齐次方程的解为 于是 有 因此 原方程的通解为 解法二运用通解公式求解 将所给的方程改写成下列形式 则 代入通解公式 得原方程的通解为 例9求解初值问题 解使用常数变易法求解 将所给的方程改写成下列形式 则与其对应的线性齐次方程 的通解为 设所给线性非齐次方程的通解为 于是 有 将y及y 代入该方程 得 因此 原方程的通解为 将初始条件y p 1代入 得C p 所以 所求的特解 即初值问题的解为 例10求方程y2dx x 2xy y2 dy 0的通解 解将原方程改写为 这是一个关于未知函数x x y 的一阶线性非齐次方程 它的自由项Q y 1 代入一阶线性非齐次方程的通解公式 有 即所求通解为 二 伯努利方程 称为伯努利方程 当n 0或1时 该方程是线性方程 当n 0
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