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曲梁正应力公式推导论 1308103第二小组 曲梁 具有弯曲的纵轴线杆件承受弯曲变形的情况 假设 在直梁的弯曲正应力公式推导中 引入了平面假设和纵向层之间没有正应力的假设 假设曲梁在纯弯曲的情况下 变形后截面仍是平面且纵向层之间没有正应力 曲梁仅受纯弯曲 曲梁正应力公式推导 中性层位置方程 1 变形几何关系 弯曲变形前 后如图 a 所示 曲梁的截面尺寸 b 所示 图 a 中为中性层的曲率半径 变形前后中性层长度不变 距离中性层为y处变形前的长度 l1 距离中性层为y处变形后的长度 l2 求得线段bb的应变 物理关系因为纵向层之间无正应力 当应力小于比例极限时 由胡克定律知 静力关系内外应力满足平衡方程 以 a b 式代入 c 式 得所以即 以 a b 式代入 d 式 得自然成立以 a b 式代入 e 式 得 又代入 f 得以 a b 式代入 g 式 得 综上 中性层位置方程曲梁正应力公式 当时曲梁正应力公式退化为直梁正应力公式图 1 是令h 10 20 30做出的一簇曲线 可知的增大a都逐渐趋于0 实际上为无穷大时 曲梁退化为直梁 a理应趋于0 说明公式正确 图 2 是取M 100 h 10 b 4 2 y 2 4做出的两条曲线 由图可知时1 0 82 0 6 实际直梁时1 0 82 0 6 说明当时曲梁正应力公式退化为直梁正应力公式 与弹性力学结果的比较 弹性力学中曲梁正应力公式 其中将俩公式的结果用图形表示 全图局部图材料力学中曲梁正应力公式与弹性力学中正应力公式近似一样 MATLAB图像输出 图 1 中取M 10 a 1 b 2 图 2 中取M 10 a 1 b 10图 3 采用材料力学推出的与精确解几乎没有误差 图 4 可知 b a的增大 材料力学的解不能很好符合精确解 有一定偏差 并且b a 4时相差很大 此时的误差为136 42 远超过5 的工程使用范围 公式不适用 通过MATLAB数值分析可得 b a在1 3的范围内最大误差在5 左右 故截面尺寸在该范围能使用该公式 完全满足精度 b a在3 8 最大误差在15 左右 结论 1材料力学中曲梁正应力公式2材料力学中曲梁正应力公式与弹性力学中正应力公式近似一样 3曲梁的中性层的曲率半径趋于无穷时 其正应力公式趋于直梁的正应力公式 4公式有一定的使用范围 长宽
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