从三个层次看动量规律的应用.doc

从三个层次看动量规律的应用湖南省临澧县第一中学 侯 军在人教社新版（必修加选修）高中物理教材中，动量一章被安排到了机械能之后。这意味着学习了第八章动量规律之后，需要对一种新的方法体系（动量和能量）进行大盘点。具体的工作包括：展示新方法的独立性和优越性、将它和动力学进行比较，并进行适当的综合应用。一、单纯的动量问题在不涉及与其它知识综合的前提下，动量问题仍然需要讲清楚：动量定理的推论应用、动量守恒的参考系和多过程或多对象的处理。【例题1】一机枪每分钟发射600发子弹，子弹的质量为10g ，发射时速度为80m/s 。发射子弹时用肩抵住枪托，则枪托对肩的平均作用力是 N 。提示对动量定理推论= F的按部就班应用。答案8N 。【例题2】如图1所示，一个质量是M = 0.5kg的斜面体A原静止在光滑的水平面上，一个质量m = 40g的小球B以水平速度v0 = 30m/s撞到A的斜面上，碰撞时间很短，碰后变为竖直向上运动，求物体A碰后的速度。提示A和B组成的系统只在水平方向动量守恒。题意不做特别说明时，所有的速度均指（对地的）绝对速度。答案2.4m/s 。【例题3】如图2所示，长为L ，质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船的位移是多少？提示此情景可以视为一种反冲运动。对于反冲，教材没有展示新的知识点，整体要求也比较低，但对于“反冲位移”的计算，还是有一定的应用空间，需要认真对待。大致求解过程如下：对人、船系统用动量守恒时，取标量式为佳：从瞬时速率关系mv = MV ，过度到平均速率关系m= M再结合人、船运动的等时性，有位移大小关系ms = MS 而对运动全程，有 s + S = L 解即可。但是在实际解题时，学生会有两个常见问题：a、偷换参考系，认为人的位移就是L ；b、习惯用矢量式表达动量关系（这是可以的），但对人、船的位移矢量关系模糊（认为也是s + S = L），导致解题出错。答案L 。评析值得注意的是，人在船上的走动不可能是匀速的，也不必是匀变速的，故本题用动力学几乎不可解，但用动量守恒时，却回避了对运动过程细节的追究。此“人船模型”有极其广阔的应用前景，当遇到：气球上的人沿绳子下滑、光滑水平面上汽缸中活塞的运动、物体沿光滑水平面上斜面体下滑的问题时，可以直接联系上面的定式。【例题4】如图3所示，设箱子B的质量为M ，静止于光滑的水平面上。车厢内有一质量为m的物体A以初度v0向右运动，与车厢壁来回碰撞n次后，静止于箱子中，这时箱子的速度大小是 ，方向是 。提示当每一个作用过程都满足动量守恒条件，而题意并不要求解出中间的物理量时，对全程应用动量守恒是必要的，这也正是动量规律解题的优越性所在。答案v0 ；向右。【例题5】如图4所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车质量之和为M = 30kg ，乙和他的冰车质量之和也是M = 30kg 。游戏时，甲推着一个质量m = 15kg的箱子以大小为v0 = 2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。若不计冰面摩擦，求甲至少要以多大速度（相对于地）将箱子推出，才能避免与乙相撞？提示甲推箱子过程、乙接箱子过程都服从动量守恒，但由于需要求过程的中间量，故列全程始末的动量守恒方程不足以解题，而是对以上两作用过程分别列方程。此外，对于甲和乙不相撞的临界条件（末了的速度相等）挖掘，在本题中也显得非常重要。答案5.2m/s 。【例题6】如图5所示，光滑水平面上停放一个木箱和小车，木箱质量为m ，小车和人总质量为M ，且Mm = 41 ，人以速率v沿水平方向将木箱推出，木箱被墙壁以原速反弹回来以后，人接住木箱再以同样大小的速度v第二次推出木箱，木箱又被原速反弹，试问：人最多能推几次木箱？提示解本题有两种选择a、人每推一次箱子都是动量守恒的，逐次列方程得人（和车）的速度经验公式vn ，让vnv即可；b、可以对人（和车）、箱子系统用动量定理，它们所有合外力的冲量就是墙壁给的冲量，每次为2mv 。对全程用动量定理即可（末态的临界状况是车和箱子均具有向右的速度v），规定向右为正方向，方程为：n2mv = (m + M)v0 。答案3次。评析动量定理和动量守恒既可以平行选择，也可以结合起来解题。对后一种情形，例子较多，此处略去。单纯的动量问题中，还有一类是涉及相对速度和绝对速度换算的。鉴于此类问题已从高考考纲中剔除（纳入了奥赛体系），因此不宜进行定量应用。二、动量和动力学的综合动量规律（结合能量途径）虽然是相对动力学独立的解题方法，但在解某些特殊问题时，它并不见得是最佳的方法。譬如在求解作用力时，如果不知道力的作用时间或作用位移，动量定理和动能定理都会显得力不从心。此时，适时地引进动力学方法是必要的。【例题7】如图6所示，在光滑水平面上，质量为m1 = 1.2kg的小车A以v1 = 1.5m/s的速率向右运动。在它的正对方向上，另有一质量为m2 = 1.0kg的小车B以v2 = 1.5m/s的速率向左运动，B车的支架上用长L = 0.2m的细线悬挂着质量m3 = 0.5kg的小球C ，C和B具有相同的运动速度。若两车相碰后连在一起运动，求A和B碰撞完时刻细线的张力（g取10m/s2）。提示首先，本题涉及到一个重要的常规处理：当三个物体发生两对相互作用时，如果一对是短促而剧烈的，另一对是舒缓柔和的，应该让“短时作用”完毕后，再开始“长时作用”。具体在本题中，认为A和B碰撞时，C并不参与；碰完后，C维持原速。其次，C是相对A 、B整体做圆周运动的，故在最低点的圆周运动速度应为相对速度，而非绝对速度v2 。答案11.7N 。【例题8】如图7所示，平直轨道上有一节车厢，质量为M ，车厢以1.2m/s的速度向右做匀速运动，某时刻与质量为m =M的静止的平板车相撞在一起，车顶离平板车的高度为h = 1.8m ，车厢项边缘上有小钢球向前滑出。试问：钢球将落在平板车上何处（空气阻力不计，平板车足够长，g取10m/s2）？提示本题三个物体之间的作用和“例题7”有所不同，但车厢和平板车碰撞时，小球仍不参与。小球的平抛运动涉及动力学处理，运动的初速度为相对（平板车）速度。答案离车顶边缘水平距离为0.18m 。以上选择的都是动量规律和曲线运动规律综合的例子。事实上，对于系统各个体相互作用前后的匀变速（直线）运动问题，也是可以和动力学规律综合的。但是，这类问题也可以选择动能定理求解，所以这里暂不列举。三、动量和能量的综合动量规律和能量规律相辅相成，才能构成一个独立的思想方法，所以，它们的结合是顺理成章的事。这种结合是有机的、常见的，大致又可以分为三类：1、和动能定理的综合动量定理和动量守恒都可以和动能定理结合，这里只是略举一例【例题9】如图8所示，从倾角为30、长0.3m的光滑斜面上滑下质量为 2kg的货包，掉在质量为13kg的静止小车里，若小车与水平面之间动摩擦因数 = 0.02 ，小车能前进多远？（g取10m/s2）提示货包和小车的作用满足水平方向动量守恒。货包和小车作用前、整体作用后都可以应用动能定理。答案0.2m 。2、和机械能守恒定律的综合动量守恒定律和机械能守恒定律综合包括：和弹性碰撞的综合、和一般的机械能守恒的综合。鉴于碰撞过程的能量转化并不是“显而易见”的，故在题目中，对碰撞的性质一般会有特殊的文字说明。若碰撞是“弹性的”（或说明“无机械能损失”），可以列动量守恒和动能守恒的方程组，然后得出：=，=（还有一组解是= v1 ，= v2 ，它只在及其特殊的情形下有意义。）如果某个物理过程，其能量转化的实质和弹性碰撞相同，但又不是严格意义上的碰撞，以上的结论也可以伸展应用。至于其它形式的机械能守恒（势能参与转化的），自然不能应用上面的定式，但只要将能量方程因地制宜地加以改变即可。【例题10】如图9所示，在光滑水平面上有三个完全相同的小球排列成一条直线。2 、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v射向它们，设碰撞过程中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能值是（ ）Av1 = v2 = v3 = Bv1 = 0 ，v2 = v3 =Cv1 = 0 ，v2 = v3 = Dv1 = v2 = 0 ，v3 = v 提示如果单独看动量守恒和动能守恒，几个选项都是成立的。但是，在应用了弹性碰撞的定式后，就会发现事实并非如此。一个值得注意的细节是：2球和3球只是“靠在一起”，而不是相互粘接，故不能视为一个整体，所以，应让1和2作用完毕后，2再和3作用。答案D 。【例题11】在光滑水平地面上放有一质量为M的、带圆弧的光滑槽的小车。一个质量为m的小铁块以速度v沿水平槽口滑去，如图10所示。试求：（1）铁块能滑至弧形槽内的最大高度H ；（2）小车的最大速度；（3）铁块从左端脱离小车时的速度。提示铁块达最大高度时，和弧形槽具有相同的速度，设为V ，则动量关系为：mv = (m + M)V ，能量关系为：mv2 =(m + M)V2 + mgH 。解此两式即可。结合动力学分析不难得出，只有铁块回到初始高度时，弧形槽才具有最大速度。由于系统在铁块上升到下降的全程动能是守恒的，故可以直接应用弹性碰撞定式求第（2）、（3）问的结果。答案（1）H =；（2）v ；（3）v 。3、和一般能量关系的综合机械能不守恒时，广义的能量仍然是守恒的。在教材尚未明确提出这种观点的前提下，可以根据实际情况慎重地列出能量转化方程。对能量转化的判断，比较难的仍然是碰撞过程中的机械能损失。需要指出的是，非弹性碰撞过程都是有机械能损失的（题目会有文字交代），但具体损失的数值只能通过间接的方式求出。一个需要了解的常识：完全非弹性碰撞（碰后连为一个整体）的机械能损失最多。涉及到摩擦生热时，有一个非常有用的定式：Q = f滑s相 ，其中s相系指相对滑动的路程（而非位移）。【例题12】质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动，球1的动量为7kgm/s ，球2的动量为5kgm/s ，当球1追上球2时发生碰撞，则碰撞后两球动量变化的可能值是（ ）Ap1 =1kgm/s ，p2 = 1kgm/sBp1 = 1kgm/s ，p2 =1kgm/sCp1 =9kgm/s ，p2 = 9kgm/sDp1 =12kgm/s ，p2 = 10kgm/s提示此类型题目具有相当的麻烦程度，一般遵循以下步骤：a、看动量是否守恒排除D选项；b、看碰撞物体位置是否相互超越（碰撞不同于子弹打木块，可以击穿）排除B选项；c、看动能是否膨胀排除C选项。由于第三步最为麻烦、第一步最为简单，为了减少劳动量，以上次序不宜颠倒。第三步的具体做法是：依据Ek =的换算关系，列不等式+，通过计算，看其成立与否。答案A 。【例题13】试求“例题7”中小球C摆起的最大高度。提示C摆至最高时，A 、B和C具有相同的速度，设为V ，对作用全程用动量定理（规定向右为正方向），有：m1v1 + (m2 + m3)(v2) = (m1 + m2 + m3)V ，得V =0.167m/s 。但是，全程的能量关系并不是m1+(m2 + m3)=(m1 + m2 + m3)V2 + m3gH ，因为A碰B时有机械能损失。为了回避这个损失机械能的计算，我们可以对A碰B完毕后到C摆到最高的过程列能量方程：(m1 + m2)2 +m3=(m1 + m2 + m3)V2 + m3gH ，其中是A碰B完后A和B整体的速度。答案0.11m 。【例题14】在“例题4”中，若M = 2kg ，m = 0.1kg ，滑块大小不计，v0 = 10m/s ，与箱子的动摩擦因数 = 0.2 ，和箱子两壁的碰撞是弹性的，箱子两内壁之间的距离L = 0.4m ，g取10m/s2 ，试求滑块最后停在箱子中的位置。提示按部就班应用Q = f滑s相 。滑块和箱子的共同速度在“例题4”中已求出。全程的能量关系为：m=(m + M)v02 + mgs相解得s相 = 2.38m答案距箱子左壁0.02m处。伸展在本题中，你能否求出上述过程中滑块和箱子的位移？（答：可以，应用“例题3”的反冲位移定式即可 sm = 0.019m ，向右，sM = 0.001m ，向左。）【例题15】如图11所示，质量为4m 、长为L的木板置于光滑水平面上，质量为m的滑块以水平初速度v0从左端滑上木板。当木板被钉子固定时，滑块从右端滑出时的速度为v0 。试问：当拔掉钉子后，让滑块再以v0的初速度滑上木板，它从右端滑出时的速度是多少？提示木板固定时，只有能量关系：mm(v0)2 = fL（其中f为滑块和木板之间的滑动摩擦力）。钉子拔掉后，设滑块滑出时的速度为v1 ，此时木板的速度为v2 ，则有：动量关系：mv0 = mv1 + 4mv2能量关系：m=m+4m+ fL解以上三式，得v1即可（由于第三式是二次方程，故v1有两解：v1 =v0 ；v1 = 0 ，但第二解显然不符合题意）。答案v0 。评析第三式常给人一个印象：L是相对量，故认为v1是指相对速度，这是错误的。理由如下：等式的左边v0是绝对速度（右边的v2也是绝对速度），在一个表达式中偷换参考系是不符合常规的；使用fL并非中途转换参考系，而是基于一个物理定式的应用。（我们刚才否定v1 = 0这个解，正是因为它是一个绝对速度。）本题还有讨论空间：如果木板的质量改变，滑块可能不从右端滑出，而是“停”在板子上（为了减小题目的难度，本题设置的木板质量正好不需要这种讨论）。看滑块是否滑出的条件是：v10 ，且v1v2（本题中v2 =v0v1）。有兴趣的同学可以自己证明：在本题中，要使滑块从木板右端滑出，木板的最小质量为3m 。【例题16】质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0 ，如图12所示。一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m ，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有