蜂舞与极坐标.doc

蜂舞与极坐标蜂舞与极坐标蜜蜂是群居性的昆虫，严格施行分工合作的社会（经济学家 Adam Smith 在1776年才开始提倡人类社会也应该分工合作）。一个蜂巢通常是由一只后蜂（又叫蜂王，是体型最大的雌蜂）、约五万只的工蜂以及数百只的雄蜂组成的。后蜂专司产卵，是蜂群共同生活中心；工蜂负责筑巢、清洁、采蜜、分泌蜂王乳、守卫、喂食幼蜂等工作；雄蜂是小白脸，好吃懒做，只负责跟后蜂交配。受精卵孵化出雌蜂之幼虫，若持续喂以蜂王乳就长成蜂王；若前三天喂以蜂王乳，以后喂以蜂蜜或花粉，就发育成工蜂，因此工蜂是雌蜂。后蜂所产的未受精卵就孵化为雄蜂，故雄蜂有母无父，这是奇特之处。参见图一。 图一 采蜜是工蜂最繁重的工作。首先是派出一些工蜂做侦察蜂 (explorer)，到处去找寻蜜源。当侦察蜂发现采蜜的地点时，回巢要如何告知同伴呢？这就是描述地点的问题。蜜蜂不会说话，如何解决这个难题呢？ 我们人类描述地点的方式有很多种，例如从日常生活用语言说明、用手明指方向、画张地图、给出你家的地址、说出台风所在的经纬度，到数学上更有效的直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标、广义坐标等等。 然而蜜蜂没有语言，怎么办呢？牠们有跳舞语言(the dance language)，以跳舞的方式来传递讯息，描述地点，基本上就是极坐标！（我们不要受人类自己习以为常的语言框框所限制！） 奥地利动物学家 Karl von Frisch（18861982）就是专门研究蜜蜂的跳舞语言与定向 (orientation) 而有成的人，他懂得蜂语，故被誉为现代公冶长（公冶长听得懂鸟语）。由于对个别动物及其社会行为规律的研究有卓著的贡献，Frisch 与德国的 Konrad Lorenz、荷兰的 Nikolaas Tinbergen 在1973年一起得到诺贝尔生理学暨医学奖。 根据 Frisch 的研究，当侦察蜂发现一处蜜源时，牠飞回巢就先放出气味，并且在垂直的蜂巢表面上跳舞。基本上分成两种舞步：圆舞与摇尾舞。 如果蜜源距离蜂巢超过100公尺，则跳摇尾舞。先走一小段直线路径，再绕半圆，回到原出发点，然后走原直线路径，再对另一侧绕半圆，如此规律地反复交替绕半圆。在走直线路径时，还不断地摇摆牠的下腹，这是摇尾舞名称的由来。 图二 图三 如果太阳、蜂巢与蜜源的位置关系如图二所示，那么图三就是相应的摇尾舞，其中有四只尾随者接到讯息（见参考数据1，p.57）。直线路径偏离铅垂线右方30度，这表示蜜源在太阳方向偏右30度的方向。至于蜂巢与蜜源的距离由单位时间的绕圈数决定，绕越多圈表示距离越远。例如，每分钟若绕18圈，就表示距离约为1000公尺。如果直线路径垂直向上的话，就表示蜜源在太阳的方向。因此，我们看出侦察蜂并不是使用直角坐标，而是采用极坐标来传递讯息。鸟类与鱼类也有类似的行为。 所谓极坐标就是，为了描述平面上 P 点（蜜源）的位置，于是在平面上选定一条半线 （蜂巢与太阳方向之半线），叫做极轴，O 点叫做极点（蜂巢），将极轴旋转一个角度 ，遇到 P 点， ，那么 P 点的极坐标就是 (r,)，参见图四。在极坐标的世界有许多美妙的几何图形，例如各种螺线、摆线（轮回线）等，这些都是直角坐标方程式难于表达的。 图四 如果蜜源在100公尺以内，侦察蜂就跳圆舞，参见图五。这表示蜜源就在附近，请同伴出去四周围转一下就可以找到。实际上，在圆舞与摇尾舞之间还有一些变化形状，在此就略掉不提。 图五 由下面的数据我们可以体会到工蜂的辛苦与勤劳。工蜂采集10公斤的花蜜才能酿造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必须出动八万次，每次平均飞行两公里才能采集到10公斤的花蜜。换言之，每酿造1公斤的蜂蜜，必须飞行32万公里，大约是绕地球8圈的距离。 Frisch 的主要工作如下：在1910年证明鱼可以看出不同的颜色；1919年发现蜜蜂透过身体的摇动来传递讯息；在1947年发现蜜蜂利用极化光来定向。他更在1967年出版蜜蜂的跳舞语言与定向一书（即参考数据1）。物理学家李政道曾说，他喜读各种杂书，其中 Frisch 的这本名著就是他觉得特别有趣的一本。 2雄蜂的谱系及费氏数列我们提到过，雄蜂是由未受精的卵孵化出来的，故只有母亲而没有父亲。进一步，我们考虑雄蜂的谱系，如图六，我们发现一只雄蜂历代祖先的个数，形成一个费氏数列 (Fibonacci sequence)： 即由首两项 1, 1 出发，任何一个后项都是前两项之和。更有趣的是，若各代祖先适当排列的话，第七代的13位祖先恰好可以排成钢琴八度音之间的13个半音阶（8个白键，5个黑键）。 图六 除了雄蜂谱系之外，费氏数学在植物世界偶尔也可以观察到。有些花草或树木，其枝干的分枝成长符合费氏数列的模式，如图七所示。 图七 你以后到野外郊游或登山时，可以留意观察或找寻看看有没有符合费氏数列的树木。笔者曾在登七星山的途中，发现一棵非常费氏数列的树木。怀着一个问题或目标走入大自然，我们才能真正观察到东西，生活也会更积极主动。 事实上，费氏数列最先是考虑兔子的繁殖引起的。中世纪欧洲最伟大的数学家 Fibonacci（11801250）在1202年出版算盘之书(Liber Abaci)，其中有一个问题如下： 假设任何一对新出生的兔子，两个月后开始生一对新兔，以后每隔一个月都生一对新兔。已知年初有一对新兔，在不发生死亡的情况下，问年底总共有几对兔子？ 假设第 n 个月底兔子总共有 an 对，则按题意知 (2)并且 an+2=an+1+an (3)(3)式是一个二阶差分方程式，(2)式是初期条件。求解(2)与(3)就是要找出通项 an 的公式，这有种种办法。最早是在1718年由 De Moivre 求得，后来在1843年又由 Binet 重新发现（两位都是法国数学家），答案是 (4)此式今日叫做 Binet 公式，它含有两个惊奇：其一是涉及黄金分割的比值 ，其二是整数数列 (an) 居然可用一些无理数的组合来表达。上述兔子问题的答案是 a12=144。 费氏数列具有很丰富的数学内涵，适合于高中生作独立地探索。它又是开展抽象线性代数的一个具体而重要的胚芽。 3高速录像机帮助科学家捕捉到了蜜蜂翅膀拍打的幅度和次数。最新例子就是这次由奥特苏勒、迪克逊和他们的同事所进行的研究。他们在论文上报告说，为揭开蜜蜂的飞行战术，科学家将蜜蜂赶进一个清澈的塑料箱中，箱子瑞安了3个高速录像机，以每秒6000次的速度拍摄蜜蜂的3D快照。他们发现，盘旋的蜜蜂经常以每秒240次的速度拍打它们一厘米长的翅膀，每次拍打的幅度只有90度，较其它昆虫的小，但拍打得快。因为其它昆虫拍打次数每秒不到200次，每次拍打幅度超过165度。按照飞行专家的一贯假定，昆虫越小，它们的翅膀就拍打得越快。在这方面，蜜蜂又是个例外，比如，意大利蜜蜂(Apis mellifera)拍打其10毫米宽的翅膀，每秒可达240次，较比它小得多的果蝇每秒仅200次要快许多。为何身材翅膀短小的蜜蜂要小幅度地尽快拍打其翅膀呢？为弄清这一点，研究人员还观察了这些昆虫在低压高空条件下是如何飞行的。当它们飞进低浓度氧和氦气的蜂箱时，里面的空气稀薄得如同海拔9200米高空的水平，此时，蜜蜂只得将拍打幅度增加到近140度，接近其它昆虫的幅度，才能支持它们的飞行，蜜蜂的这种不寻常的飞行方式是为了适应其飞行中所面临的不同需求。因为，在改变速度方面，短距离拍打较长距离拍打更快捷。7归巢的时间安排再次说明蜜蜂懂数学发布者：张宏宇 来源：农博网浏览：551评论：0字体：大、小双击鼠标滚屏英文“eeline”一词表示蜜蜂归巢所飞线路，也表示两点间的最短距离，最短路线。事实正是如此，蜜蜂返巢常常飞直线，或者选择与来时相反的路线。另外，蜜蜂在归巢的时间安排上也很有学问在。如果上万只蜜蜂同时归巢，它们互相拥挤，会发生碰伤。观察表明，蜜蜂归巢总