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高等代数课件 第五章二次型 5 1二次型的矩阵表示 代数与几何教研室 一 n元二次型 1 定义 设P为数域 称为数域P上的一个n元二次型 n个文字的二次齐次多项式 注意 2 式 也可写成 1 为了计算和讨论的方便 式 中的系数 写成 1 约定 中aij aji i j 由xixj xjxi 有 2 二次型的矩阵表示 则矩阵A称为二次型的矩阵 于是有 注意 2 二次型与它的矩阵相互唯一确定 即 若且 则 1 二次型的矩阵总是对称矩阵 即 这表明在选定文字下 二次型完全由对称矩阵A决定 例11 实数域R上的2元二次型 3 复数域C上的4元二次型 它们的矩阵分别是 二 非退化线性替换 1 定义 是两组文字 关系式 称为由的一个线性替换 若系数行列式 cij 0 则称 为非退化线性替换 它是非退化的 系数行列式 例2解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 即变换 2 线性替换的矩阵表示 则 可表示为X CY 若 C 0 则 为非退化线性替换 注 2 若X CY为非退化线性替换 则有非退化线性替换 即 B为对称矩阵 3 二次型经过非退化线性替换仍为二次型 事实上 是一个二次型 三 矩阵的合同 1 合同具有 对称性 传递性 即C1C2可逆 反身性 注 1 定义 设 若存在可逆矩阵 使 则称A与B合同 3 与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵 2 合同矩阵具有相同的秩 2 经过非退化线性替换 新二次型矩阵与 A与B合同 二次型X AX可经非退化线性替换化为二次型Y BY 进而 有 C可逆 原二次型矩阵是合同的 例2证明 矩阵A与B合同 其中 一个排列 证 作二次型 故矩阵A与B合同 对作非退化线性替换 则二次型化为 注意的系数为 四 小结 n元二次型 非退化线性替换 或X CY C 0 基本概念 矩阵的合同 基本结论 1 二次型经过非退化线性替换仍为二次型 3 矩阵的合同关
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