2011第3章 控制系统的时域分析.ppt

第3章控制系统的时域分析 内容提要 控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣 系统的稳定性是系统正常工作的首要条件 系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定 而与系统的输入无关 系统的稳态误差是系统的稳态性能指标 它标志着系统的控制精度 系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能介绍了如何用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析 知识要点 系统稳定的充分必要条件 Routh判据 误差与稳态误差的定义 静态误差系数及系统的型号 线性定常一阶 二阶系统的时域响应及动态性能的计算 高阶系统的主导极点 偶极子及高阶系统的降阶 第3章控制系统的时域分析 目录 3 1线性定常系统的时域响应 3 2控制系统时域响应的性能指标 3 3线性定常系统的稳定性 3 4系统的稳态误差 3 5一阶系统的时域响应 3 6二阶系统的时域响应 3 7高阶系统的瞬态响应 3 8用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析 第3章控制系统的时域分析 3 1线性定常系统的时域响应 对于一单输入单输出n阶线性定常系统 可用一n阶常系数线性微分方程来描述 第3章控制系统的时域分析 系统在输入信号r t 作用下 输出c t 随时间变化的规律 即式 3 1 微分方程的解 就是系统的时域响应 由线性微分方程理论知 方程式的解由两部分组成 即c t c1 t c2 t 3 2 c1 t 对应齐次微分方程的通解c2 t 非齐次微分方程的一个特解 第3章控制系统的时域分析 从系统时域响应的两部分看 稳态分量 特解 是系统在时间t 时系统的输出 衡量其好坏是稳态性能指标 稳态误差 系统响应的暂态分量是指从t 0开始到进入稳态之前的这一段过程 采用动态性能指标 瞬态响应指标 如稳定性 快速性 平稳性等来衡量 返回 第3章控制系统的时域分析 3 2控制系统时域响应的性能指标 3 2 1稳态性能指标采用稳态误差ess来衡量 定义 当时间t趋于无穷时 系统输出响应的期望值与实际值之差 即 第3章控制系统的时域分析 1 上升时间tr 从零时刻首次到达稳态值的时间 即阶跃响应曲线从t 0开始第一次上升到稳态值所需要的时间 3 2 2动态性能指标 第3章控制系统的时域分析 2 峰值时间tp 从零时刻到达峰值的时间 即阶跃响应曲线从t 0开始上升到第一个峰值所需要的时间 3 最大超调量Mp 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比 即 第3章控制系统的时域分析 4 调整时间ts 阶跃响应曲线进入允许的误差带 一般取稳态值附近 5 或 2 作为误差带 并不再超出该误差带的最小时间 称为调整时间 或过渡过程时间 5 振荡次数 在调整时间ts内响应曲线振荡的次数 返回 第3章控制系统的时域分析 3 3线性定常系统的稳定性 3 3 1稳定性的概念若控制系统在足够小的初始偏差的作用下 其过渡过程随时间的推移 逐渐衰减并趋于零 即具有恢复原平衡状态的能力 则称这个系统稳定 否则 称这个系统不稳定 第3章控制系统的时域分析 设n阶线性定常系统的微分方程为对式 3 7 作拉氏变换 得 3 3 2线性定常系统稳定的充分必要条件 其中 第3章控制系统的时域分析 在式 3 8 中取R s 0 若pi为系统特征方程D s 0的根 则在初始状态影响下系统的时间响应 即零输入响应 为若系统所有特征根pi的实部均为负值 即Re pi 0则零输入响应 暂态响应 最终将衰减到零 即 这样系统就是稳定的 第3章控制系统的时域分析 反之 若特征根中有一个或多个根具有正实部时 则暂态响应将随时间的推移而发散 即这样的系统就是不稳定的 综上所述 系统稳定的充分必要条件是系统特征根的实部均小于零 或系统的特征根均在根平面的左半平面 第3章控制系统的时域分析 3 3 3劳斯判据 设n阶系统的特征方程为D s a0sn a1sn 1 an 1s an 0则将其系数排成劳斯表 sna0a2a4a6 sn 1a1a3a5a7 sn 2b1b2b3b4 sn 3c1c2c3c4 s2f1f2s1g1s0h1 第3章控制系统的时域分析 其中劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件是劳斯表中第一列所有元素均大于零 第3章控制系统的时域分析 例3 1已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零 且a1a2 a0a3 第3章控制系统的时域分析 例3 2已知系统特征方程方程无缺项 且系数大于零 列劳斯表 劳斯表中第一列元素大于零 系统是稳定的即所有特征根均s平面的左半平面 第3章控制系统的时域分析 例3 3系统特征方程为各项系数均大于零 列劳斯表 劳斯表中第一列各元素符号不完全一致 系统不稳定 第一列元素符号改变两次 因此系统有两个右半平面的根 第3章控制系统的时域分析 例3 4系统特征方程它有一个系数为负的 有劳斯判据的系统不稳定 但究竟有几个右根 仍需列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号改变两次 系统有2个右半平面的根 第3章控制系统的时域分析 有两种特殊情况需要说明 1 劳斯表中某一行的第一个元素为零 而该行其它元素并不为零 则在计算下一行第一个元素时 该元素必将趋于无穷大 以至劳斯表的计算无法进行 2 劳斯表中某一行的元素全为零 则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根 系统是不稳定的 第3章控制系统的时域分析 用一个很小的正数代替 例 已知系统的特征方程为 劳斯表第一列数符号变化2次 所以系统是不稳定的 有2个特征根在右半S平面 然后继续列劳斯表 特殊情况 1 劳斯表中某一行的第一列数为0 其余不为0 解决办法 第3章控制系统的时域分析 例3 6系统特征方程列劳斯表劳斯表中第一列元素符号没有改变 系统没有右半平面的根 但由P s 0求得即系统有一对共轭虚根 系统处于临界稳定 从工程角度来看 临界稳定属于不稳定系统 第3章控制系统的时域分析 例3 7系统的特征方程为列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号改变一次 系统不稳定 且有一个右半平面的根 由P s 0得 第3章控制系统的时域分析 3 3 5系统参数对稳定性的影响 应用代数判据不仅可以判断系统的稳定性 还可以用来分析系统参数对系统稳定性的影响 例3 10系统结构图如图3 2所示 试确定系统稳定时K的取值范围解系统的闭环传递函数其特征方程式为 第3章控制系统的时域分析 列劳斯表按劳斯判据 要使系统稳定 应有K 0 且30 K 0 故K的取值范围为0 K 30 第3章控制系统的时域分析 例3 11系统结构图如图3 3所示 试分析参数K1 K2 K3和T对系统稳定性的影响 解系统的闭环传递函数特征方程为 第3章控制系统的时域分析 由于特征方程缺项 由劳斯判据知 不论K1 K2 K3和T取何值系统总是不稳定的 称为结构不稳定系统 欲使系统稳定 必须改变系统的结构 如在原系统的前向通道中引入一比例微分环节 如图3 4所示 变结构后系统的闭环传递函数为特征方程为 第3章控制系统的时域分析 列劳斯阵列 系统稳定的充分必要条件为即对于结构不稳定系统 改变系统结构后 只要适当选配参数就可使系统稳定 第3章控制系统的时域分析 3 3 6相对稳定性和稳定裕量 相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离 称之为稳定裕量 为了能应用上述的代数判据 通常将s平面的虚轴左移一个距离 得新的复平面s1 即令s1 s 或s s1 得到以s1为变量的新特征方程式D s1 0 再利用代数判据判别新特征方程式的稳定性 若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面 则说明原系统不但稳定 而且所有特征根均位于 的左侧 称为系统的稳定裕量 第3章控制系统的时域分析 例3 12检验特征方程式是否有根在s右半平面 以及有几个根在s 1垂线的右边 解列劳斯表 由劳斯判据知 系统稳定 所有特征根均在s的左半平面 第3章控制系统的时域分析 令s s1 1代入D s 得s1的特征方程式列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号改变一次 表示系统有一个根在s1右半平面 也就是有一个根在s 1垂线的右边 虚轴的左边 系统的稳定裕量不到1 返回 第3章控制系统的时域分析 3 4系统的稳态误差 3 4 1误差及稳态误差的定义系统的误差e t 一般定义为被控量的希望值与实际值之差 即e t 被控量的希望值 被控量的实际值 第3章控制系统的时域分析 对于图3 5所示的反馈控制系统 常用的误差定义有两种1 输入端定义2 输出端定义当图3 5中反馈为单位反馈时 即H s 1时 上述两种定义可统一为 第3章控制系统的时域分析 误差响应e t 与系统输出响应c t 一样 也包含暂态分量和稳态分量两部分 对于一个稳定系统 暂态分量随着时间的推移逐渐消失 而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差 即系统误差响应的稳态分量 稳态误差记为ess 定义稳态误差为稳定系统误差响应e t 的终值 当时间t趋于无穷时 e t 的极限存在 则稳态误差为 第3章控制系统的时域分析 3 4 2稳态误差分析 根据误差和稳态误差的定义 系统误差e t 的象函数 定义为系统对输入信号的误差传递函数 第3章控制系统的时域分析 由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差 则代入E s 表达式得从上式得出两点结论 1 稳态误差与系统输入信号r t 的形式有关 2 稳态误差与系统的结构及参数有关 第3章控制系统的时域分析 3 4 3稳态误差的计算 对于线性系统 响应具有叠加性 不同输入信号作用于系统产生的误差等于每一个输入信号单独作用时产生的误差的叠加 对于图3 7所示系统 控制信号r t 和扰动信号n t 同时作用于系统 第3章控制系统的时域分析 1 控制信号r t 单独作用下 误差稳态误差essr为 3 22 第3章控制系统的时域分析 2 扰动信号单独作用下 误差稳态误差 第3章控制系统的时域分析 定义为系统对扰动的误差传递函数 控制系统在给定信号r t 和扰动信号n t 同时作用下的稳态误差ess为 第3章控制系统的时域分析 例3 13系统结构图如图所示 当输入r t 4 t时 求系统的稳态误差ess 解 系统只有在稳定的条件下计算稳态误差才有意义 所以应先判别系统的稳定性 系统的特征方程为列劳斯表 第3章控制系统的时域分析 由劳斯判据知 系统稳定条件为系统的误差函数为 第3章控制系统的时域分析 由终值定理求得稳态误差计算表明 稳定误差的大小与系统的放大倍数K有关 即K越大 稳定误差ess越小 要减小稳态误差则应增大倍数K 而从稳定性分析得出 使系统稳定的K只应小于5 4 表明系统的稳态精度和稳态性对放大倍数的要求常是矛盾的 第3章控制系统的时域分析 3 4 4应用静态误差系数计算给定信号作用下的稳态误差 1 系统的类型系统的开环传递函数G s H s 可表示为系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数来分类 把 0 1 2 的系统 分别称为0型 型 型 系统 第3章控制系统的时域分析 2 静态位置误差系数Kp当系统的输入为单位阶跃信号r t 1 t 时 由 3 22 式 有其中 定义为系统静态位置误差系数 第3章控制系统的时域分析 对于0型系统对于 型或高于 型以上系统 第3章控制系统的时域分析 3 静态速度误差系数Kv当系统的输入为单位斜坡信号时r t t 1 t 即则由式 3 22 有其中 定义为系统静态速度误差系数 第3章控制系统的时域分析 对于0型系统对于 型系统 第3章控制系统的时域分析 对于 型或 型以上系统 第3章控制系统的时域分析 4 静态加速度误差系数Ka 当系统输入为单位加速度信号时 即则系统稳态误差为其中 定义为系统静态加速度误差系数 第3章控制系统的时域分析 对于0型系统 Ka 0 ess 对于 型系统 Ka 0 ess 对于 型系统 Ka K 对于 型或 型以上系统 Ka ess 0 第3章控制系统的时域分析 第3章控制系统的时域分析 例3 14系统结构如图3 9所示 求当输入信号r t 2t t2时 系统的稳态误差ess 首先判别系统的稳定性 由开环传递函数知 闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定 第3章控制系统的时域分析 第二步 求稳态误差ess因为系统为 型系统 根据线性系统的奇次性和叠加性 有 故系统的稳态误差ess ess1 ess2 0 1 第3章控制系统的时域分析 3 4 5干扰信号作用下的稳态误差与系统结构的关系 扰动信号n t 作用下的系统结构图如图所示扰动信号n t 作用下的误差函数为 第3章控制系统的时域分析 稳态误差若 则上式可近似为由上可得 干扰信号作用下产生的稳态误差essn除了与干扰信号的形式有关外 还与干扰作用点之前 干扰点与误差点之间 的传递函数的结构及参数有关 但与干扰作用点之后的传递函数无关 第3章控制系统的时域分析 3 4 6改善系统稳态精度的途径 从上面稳态误差分析可知 采用以下途径来改善系统的稳态精度 1 提高系统的型号或增大系统的开环增益 可以保证系统对给定信号的跟踪能力 但同时带来系统稳定性变差 甚至导致系统不稳定 2 增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益或积分环节的个数 可以降低扰动信号引起的稳态误差 但同样也有稳定性问题 3 采用复合控制 即将反馈控制与扰动信号的前馈或与给定信号的顺馈相结合 返回 第3章控制系统的时域分析 3 5一阶系统的时域响应 3 5 1数学模型能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统 其传递函数为其中T 一阶系统的时间常数 第3章控制系统的时域分析 3 5 2单位阶跃响应 当r t 1 t 时 一阶系统的输出c t 称为单位阶跃响应 记作h t 图3 12一阶系统的单位阶跃响应 第3章控制系统的时域分析 3 5 3性能指标 1 调整时间ts经过时间3T 4T 响应曲线已达稳态值的95 98 可以认为其调整过程已完成 故一般取ts 3 4 T 2 稳态误差ess系统的实际输出h t 在时间t趋于无穷大时 接近于输入值 即3 超调量Mp一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应 故系统无振荡 无超调 Mp 0 第3章控制系统的时域分析 3 5 4一阶系统的单位脉冲响应 当输入信号r t t 时 系统的输出称为单位脉冲响应 记为g t 当r t t 即R s 1时 有 返回 第3章控制系统的时域分析 3 6二阶系统的时域响应 3 6 1二阶系统的数学模型典型二阶系统的结构图如图3 14所示 其闭环传递函数为或 图3 14典型二阶系统结构图 第3章控制系统的时域分析 其中 系统的阻尼比 n 系统的无阻尼自然振荡角频率 系统振荡周期系统的特征方程为特征根为 第3章控制系统的时域分析 3 6 2二阶系统的单位阶跃响应 1 当 1时 系统有两个不相等的负实根 称为过阻尼状态 两个不相等的负实根为单位阶跃响应 第3章控制系统的时域分析 第3章控制系统的时域分析 2 当0 1时 系统有一对实部为负的共轭复根 称为欠阻尼状态 在欠阻尼状态下 系统的两个闭环极点为一对共轭复极点 即其中 称为阻尼振荡角频率 第3章控制系统的时域分析 单位阶跃响应也可写成式中 第3章控制系统的时域分析 图3 16欠阻尼状态下系统单位阶跃响应 上升时间tr其中 2 峰值时间tp 第3章控制系统的时域分析 3 最大超调量Mp 4 调整时间ts误差带范围为 5 误差带范围为 2 5 振荡次数N 第3章控制系统的时域分析 3 当阻尼比 1时 系统的特征根为两相等的负实根 称为临界阻尼状态 此时系统在单位阶跃函数作用下 系统的超调量Mp 0 调节时间 对应误差带为5 图3 18临界阻尼系统阶跃响应 第3章控制系统的时域分析 4 当阻尼比 0时 系统特征根为一对纯虚根 称为无阻尼状态 系统特征根单位阶跃响应为 第3章控制系统的时域分析 3 6 3二阶系统的单位脉冲响应 1 脉冲响应及脉冲响应函数当系统输入信号为单位脉冲函数 t 时 系统的响应为单位脉冲响应 记为g t 第3章控制系统的时域分析 2 脉冲响应与阶跃响应的关系系统的单位阶跃响应是该系统单位脉冲响应的积分 或系统的单位脉冲响应是该系统单位阶跃响应的导数 即或 第3章控制系统的时域分析 3 二阶系统的单位脉冲响应当 1时当0 1时当 1时当 0时 第3章控制系统的时域分析 例3 15原控制系统如图3 23 a 所示 引入速度反馈后的控制系统如图3 23 b 所示 已知在图3 23 b 中 系统单位阶跃响应的超调量Mp 16 4 峰值时间tp 1 14s 试确定参数K和Kt 并计算系统在 a 和 b 的单位阶跃响应h t 图3 23例3 15图 第3章控制系统的时域分析 解对于系统 b 其闭环传递函数为与典型二阶系统相比较 有 3 55 而已知Mp 16 4 tp 1 14s根据求得 第3章控制系统的时域分析 求得将代入 3 55 得其单位阶跃响应为 第3章控制系统的时域分析 对于系统 a 其闭环传递函数为与典型二阶系统比较有系统的最大超调量峰值时间其单位阶跃响应为 返回 第3章控制系统的时域分析 3 7高阶系统的瞬态响应 3 7 1高阶系统的瞬态响应n阶系统的闭环传递函数为 第3章控制系统的时域分析 当输入为单位阶跃函数r t 1 t 即时 则假设所有闭环零点和极点互不相等且均为实数 第3章控制系统的时域分析 当极点中还包含共轭复极点时进行拉普拉斯反变换可得系统的单位阶跃响应 第3章控制系统的时域分析 3 7 2高阶系统的降阶 主导极点在整个响应过程中起着主要的决定性作用的闭环极点 我们称它为主导极点 工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性 即将系统近似地看成是一阶或二阶系统 第3章控制系统的时域分析 2 偶极子将一对靠得很近的闭环零 极点称为偶极子 工程上 当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级 就可认为这对零极点为偶极子 闭环传递函数中 如果零 极点数值上相近 则可将该零点和极点一起消掉 称之为偶极子相消 第3章控制系统的时域分析 3 7 3零极点对阶跃响应的影响 1 零点对阶跃响应的影响假设系统中增加一个闭环实零点 即系统中增加了一个串联环节且闭环零点z位于复平面的左半平面 第3章控制系统的时域分析 上式拉普拉斯反变换可见 增加一个闭环左实零点以后 系统阶跃响应增加了一项 该项的值与c t 的变化率成正比 与该零点离虚轴的距离成反比 显然 该零点的增加将使系统响应过程加快 超调量增大 系统对输入作用的反应灵敏了 第3章控制系统的时域分析 反之 如果增加的闭环零点位于复平面的右半平面 即 则这将使系统响应过程变慢 超调量减小 系统对输入作用的反应变滞呆了 第3章控制系统的时域分析 2 极点对阶跃响应的影响 假设系统增加一个闭环左实极点 p 系统在单位阶跃信号作用下输出取拉普拉斯反变换得 第3章控制系统的时域分析 可以看出 系统中增加一个闭环左实极点 系统的过渡过程将变慢 超调量将减小 系统的反应变得较为滞呆 对于闭环传递函数存在右极点的情况 系统时域响应是发散的 系统不稳定 返回 第3章控制系统的时域分析 3 8用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析 3 8 1单位脉冲响应当输入信号为单位脉冲函数 t 时 系统输出为单位脉冲响应 MATLAB中求取脉冲响应的函数为impulse 其调用格式为 y x t impulse num den t 或impulse num den 式中G s num den t为仿真时间 y为时间t的输出响应 x为时间t的状态响应 第3章控制系统的时域分析 例3 16试求下列系统的单位脉冲响应MATLAB命令为 t 0 0 1 40 num 1 den 1 0 3 1 impulse num den t grid title Unit impulseResponseofG s 1 s 2 0 3s 1 其响应结果如图所示 第3章控制系统的时域分析 例3 17系统传递函数为求取其单位脉冲响应的MATLAB命令为 t 0 0 1 10 num 1 den 1 1 1 y x t impulse num den t plot t y grid xlabel t ylable y 其响应结果如图所示 第3章控制系统的时域分析 3 8 2单位阶跃响应 当输入为单位阶跃信号时 系统的输出为单位阶跃响应 在MATLAB中可用step 函数实现 其调用格式为 y x t step num