1群的定义.ppt

1 群的定义 内容导航1 1引例1 2群的第一定义及例子1 3群的第二定义1 4群的第三定义1 5群的第四定义1 6几个进一步的概念 1 1引例 例1集合上所有一一变换 引入记号 对于乘法来说是闭的 对于 结合律成立 对于 里至少存在一个 能让对于的任何元都成立 这样的称为左单位元 对于的每一个元 在里存在一个元 记为 能让这样的称为的左逆元 例3保持中多项式不变的变换 1 2群的第一定义及例子 群的定义I我们说 一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群 假如 III 里至少存在一个 能让对于的任何元都成立 这样的称为左单位元 对于乘法来说是闭的 对于 结合律成立 对于 对于的每一个元 在里存在一个元 记为 能让这样的称为的左逆元 注1群与运算联系在一起 例4 平凡群 只包含一个元 乘法是 对于这个乘法来说作成一个群 例5 在数集中 关于熟习的运算 发现一些群的正反面的例子 例6在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子 例7向量空间是一个加法群 例8 重新定义的运算 在上定义运算判断关于给定的运算是否构成群 注2群定义中 I和II是验算 III和IV需要找元素 注3III和IV有逻辑先后 1 3群的第二定义 引理1一个左逆元一定也是一个右逆元 这句话的意思是 证明有元有左逆元 使得一方面 但另一方面 所以 群的定义II我们说 一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群 假如 对于乘法来说是闭的 对于 结合律成立 对于 III 里至少存在一个 能让对于的任何元都成立 这样的称为右单位元 对于的每一个元 在里存在一个元 记为 能让这样的称为的右逆元 证明 1 定义I证明定义II 已经完成 2 定义II证明定义I 需要类似的二步 作业 1 4群的第三定义 群的定义III我们说 一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群 假如 对于乘法来说是闭的 对于 结合律成立 对于 III 里至少存在一个 能让对于的任何元都成立 这样的称为右单位元 对于的每一个元 在里存在一个元 记为 能让这样的称为的逆元 1 5群的第四定义 群的定义IV我们说 一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群 假如 对于这个乘法来说是闭的 结合律成立 对于 V 对于的任意两个元 来说 方程和都在里有解 证明定义III定义IV定义I定义III 1 定义III定义IV 容易 2 定义IV定义I III 需要证明 里至少存在一个元 叫做的一个左单位元 能让对于的任何元都成立 对于一个固定的元 在里有解 我们任意取一个解 叫它作 我们要证明这个就是左单位元 即 对于的任意元 成立 有解 由 这样 我们证明了的存在 对于的每一个元 在里至少存在一个元 叫做的一个左逆元 能让成立 这里是一个固定的左单位元 由V 可解 3 定义I定义III 已经完成 1 6几个进一步的概念 以下我们还要说明几个名词和符号 一个群的元素的个数可以有限也可以无限 我们规定 定义1一个群叫做有限群 假如这个群的元的个数是一个有限数 不然的话 这个群叫做无限群 一个有限群的元的个数叫做这个群的阶 在一个群里结合律是对的 所以有意义 是的某一个元 这样 我们当然可以把个相同的元来相乘 因为我们用普通乘法的符号来表示群的乘法 这样得来的一个元我们也用普通符号来表示 是正整数并且也把它叫做的次乘方 简称次方 在一般的群里交换律未必成立