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临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 第第 02 章第章第 03 节节 有固定转动轴物体的平衡有固定转动轴物体的平衡 一 力矩 一 力矩 M 力矩力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量 它等于力力和力臂力臂的乘 积 乘 积 表达式为 M FL 其中 力臂力臂 L 是转动轴到 F 的力线力线的 垂直 距离距离 例如 下图中的力F若以O1为轴 即对对O1取矩取矩 其力矩MO1 FL1 使物体逆时针逆时针加速转动 若以O2为轴 即对对O2取矩取矩 其力矩MO2 FL2 使物体顺时针顺时针加速转动 由图可知L1 L2 而F相同 故有M1 M2 且 二者反向反向 由此可见 谈到力矩 必须首先明确是以何处为轴轴 或对谁取矩对谁取矩 力矩是矢量矢量 方向由右手螺旋右手螺旋决定 在国际单位制中 力矩的主单位是 牛顿 米牛顿 米 国际符号是 Nm 二 有固定转动轴物体的平衡条件 二 有固定转动轴物体的平衡条件 作用在物体上的全部外力对固定转动轴对固定转动轴所取力矩的代数和为零力矩的代数和为零 公式表示为 0 M 第 1 页 共 1 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例1 在光滑水平地面上有一木板 一木棒可沿水平轴O转动 其 下端B搁在木板上 而整个系统处于静止状态 如图 现在用水平 力F向左推木板 但木板仍未动 由此可以得出结论 施力F后 木 板和木棒之间的正压力 A 变大 B 不变 C 变小 D 条件不足 不能判断如何改变 答案 答案 C 解析 解析 加力前以O为轴 根据有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件可知 板对棒的弹力F1的力矩与重力mg的力矩大小相等 方向相反 如下图 左图所示 加力F后木板仍未动 说明棒 板之间产生了摩擦力F2 地 面光滑不产生摩擦力 F2的力矩是顺时针的 如下图右图所示 棒所 受重力的逆时针力矩不变 弹力F1的力矩将减小 因而弹力F1 正压力 变小 第 2 页 共 2 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例2 质量为m的运动员站在质量为m 2 1 的均匀长板AB的中点 板位于水平地面上 可绕通过B点的水平轴转动 板的A端系有轻绳 轻绳的另一端绕过两个定滑轮后 握在运动员手中 当运动员用力拉 绳时 滑轮两侧的绳都保持在竖直方向 如上右图所示 要使板的A 端离开地面 求运动员作用于绳的最小拉力 解 解 设最小拉力为F 板长为L 见下图 对人和板整个系统 应 用有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件 得 LF L F L mgmg 22 2 1 解得 mgF 2 1 第 3 页 共 3 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例 3 一根长为L的木头 质量大于100千克 其重心在离大头为 3 1 L的地方 甲 乙二人同时各扛一端将木头扛起 此后丙又在木头 全长的中点N处向上扛 用力 300牛顿 如图所示 问由于丙的参 加 甲的负重减轻了多少牛顿 乙的负重减轻了多少牛顿 丙 f 解 解 设甲的负重减轻了x牛顿 以右端为转轴 应用有固定转动轴 物体的平衡条件 有固定转动轴 物体的平衡条件 得 Lx L 2 300 丙增加的力矩丙增加的力矩应等于甲减小的力矩甲减小的力矩 解得 Nx150 设乙的负重减轻了y牛顿 以左端为转轴 应用有固定转动轴物体 的平衡条件 有固定转动轴物体 的平衡条件 得 Ly L 2 300 丙增加的力矩丙增加的力矩应等于乙减小的力矩乙减小的力矩 解得 Ny150 第 4 页 共 4 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例 4 右图为人手臂骨骼与肌肉的生理结构示意图 手上托着重量 为G的物体 1 在方框中画出前臂受力示意图 手 手腕 尺骨和挠骨看成 一个整体 所受重力不计 图中O点看作固定转动轴 O点受力可以 不画 2 根 据 图 中 标 尺 估 算 出 二 头 肌 此 时 的 收 缩 力 约 为 解 解 1 见下图 2 应用有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件 得 81 GF 解得 GF8 第 5 页 共 5 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例 5 如图所示 一自行车上连接踏脚板的连杆长R1 由踏脚板带 动半径为r1的大齿盘 通过链条与半径为r2的后轮齿盘连接 带动半径 为R2的后轮转动 1 设自行车在水平路面上匀速行进时 受到的平均阻力为f 人 蹬踏脚板的平均作用力为F 链条中的张力为T 地面对后轮的静摩擦 力为fS 通过观察 写出传动系统中有几个转动轴 分别写出对应的力 矩平衡表达式 2 设R1 20厘米 R2 33厘米 踏脚大齿盘与后轮齿盘的齿数分 别为48和24 计算人蹬踏脚板的平均作用力与平均阻力之比 3 自行车传动系统可简化为一个等效杠杆 以R1为一力臂 在 右框中画出这一杠杆示意图 标出支点 力臂尺寸和作用力方向 解 解 1 自行车传动系统中的转动轴个数为2 根据有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件 参考下图 对踏脚齿盘中心的转动轴可列出 11 TrFR 对后轮的转动轴可列出 22 RfTr S 2 匀速前进时应有 ffS 由 可得 1 2 24 48 2 1 2 1 r r Rf FR S 第 6 页 共 6 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 由 可得 3 3 12 21 Rr Rr f F 3 如下图所示 第 7 页 共 7 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例6 在下图所示的杆秤中 挂钩K到提钮O的距离为8厘米 秤 杆 包括挂钩 的重心G到O点的距离为2厘米 秤锤的重量P 2市斤 当称量3市斤重的物体时 秤锤的悬挂点A到O点的距离为11厘米 求 1 秤杆 包括挂钩 的重量 2 此时手提提钮的力的大小 解 解 1 设秤杆的重量为W 取O为支点 有 3 8 W 2 2 11 解得 W 1市斤 2 设手提提纽的力为F 则 F 1 2 3 6市斤 这是根据平行力的合成方法平行力的合成方法计算的 也可以K为轴由有固定转动轴 物体的平衡条件 有固定转动轴 物体的平衡条件求出 第 8 页 共 8 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例7 如图所示 AO是质量为m的均匀细杆 可绕O轴在竖直平 面内自由转动 细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触 圆柱 体靠在竖直的档板上而保持平衡 已知杆的倾角为 AP长度是杆 长的1 4 各处的摩擦都不计 求档板对圆柱体的作用力 解 解 设AO长L 圆柱体对AO的弹力为F1 如下图 由有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件得 cos 24 3 1 L mgLF 解得 cos 3 2 1 mgF 设挡板对圆柱体的作用力为F2 画出圆柱体的受力如下图 由共点力的平衡条件共点力的平衡条件得 21sin FF 由 解得 2sin 3 1 cossin 3 2 2 mgmgF 第 9 页 共 9 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例8 一个质量为m 50千克的均匀圆柱体 放在台阶的旁边 台 阶的高度 h 是柱体半径 r 的一半 如图所示 图为其横截面 柱体 与台阶接触处 图中P点所示 是粗糙的 现要在图中柱体的最上方A 处施一最小的力 使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚 求 1 所加的力的大小 2 台阶对柱体的作用力的大小 解 解 1 要在A处施一最小的力最小的力 则力的方向应与应与AP垂直垂直 这 样力臂最大力臂最大 因为 r 2h 由几何关系可知 POB 60 PAO 30 要使柱体刚能绕P轴上滚 即意味着此时地面对柱体的支持力 N 0 这时 拉力F和重力mg对P轴的力矩平衡 由平衡条件平衡条件得 mgrsin60 F 2rcos30 解得 F 250牛顿 2 设台阶对柱体的作用力 全反力 为f 因为刚能开始运动 时 f与重力mg及拉力F三力平衡 所以必为共点力必为共点力 由此可知力f的 方向是沿PA方向 即力f的方向与F的方向垂直 所以f的大小必等于 重力在AP方向上的分力 即 f mgcos30 解得 f 430牛顿 第 10 页 共 10 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例9 有一准确的杆秤 今只给你一把有刻度的直尺 要求用它 测出这杆秤的秤砣的质量 试导出表示秤砣质量的公式 并说明所需 测量的量 解 解 秤的结构如下图所示 秤钩B到提钮的距离为d 零刻度 即定盘 星 A到提钮的距离为 满刻度D到提钮的距离为l 秤杆和秤钩所 受的重力为P 秤水平时 P对提钮的力臂为 设秤砣的质量为m 杆秤的最大秤量为M 0 l 0 d 当空秤平衡时 有 00 dPlmg 当满秤量平衡时 有 lmgdPdMg 0 解以上两式得 ll Md m 0 从秤杆上读出最大秤量M 用直尺测出d和从A点到D点的距离 代入上式即可求得m ll 0 第 11 页 共 11 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例 10 用一个水平放置的半径为R的圆柱形光滑槽面 其轴线通过 O点 槽内放着两个半径均为r的光滑圆柱体A B 如下图所示 质量 分别为mA mB 且r R 3 求圆柱体A B平衡时 OA线与竖直线间的 夹角 是多少 析 析 对本题常用的处理方法是分别隔离A B两物 各自利用共点 力作用下物体的平衡条件 共点 力作用下物体的平衡条件求解 不过 这样处理比较繁琐 如把A B 两物看成一个整体 它相当于绕过大圆柱圆心的水平轴转动 由于大 圆柱面对两球的弹力均指向转轴 故这两个力对转轴不产生力矩 利 用有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件可以方便地求得问题的解 解 解 设OA OB连线分别与竖直线夹 角 以过O点的水平 线为轴 对系统利用有固定转动轴物体的平衡条件有固定转动轴物体的平衡条件有 mAg R r sin mBg R r sin 化简为 mAsin mBsin 因为 OA OB AB 2r 所以 60 上式化为 mAsin mBsin 60 因为 sin 2 1 cos 2 3 sin60coscos60sin 60sin 所以 sin 2 1 cos 2 3 sin BA mm 解得 BA B mm m 2 3 tan 1 小结 小结 许多没有没有确定的固定转动轴的物体也能利用力矩平衡关系列 方程 这里的关键是转轴的恰当选取 我们通常选择未知未知又不需要求不需要求 的力的作用点所在轴线为转轴 这样能减少减少方程中未知数的个数未知数的个数 如 第 12 页 共 12 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 本题这样选择转轴后 大圆柱面对两球的弹力 未知力 都不产生力 矩 例例 11 如图2 3 2所示 一根细棒上端A处用铰链与天花板相连 下端用铰链与另一细棒相连 两棒的长度相等 两棒限以图示的竖直 平面内运动 且不计铰链处的摩擦 当在C端加一个适当的外力 在 纸面内 可使两棒平衡在图示的位置处 即两棒间的夹角为90 且 C端正处于A端的正下方 1 不管两棒质量如何 此外力只可能 在哪个方向范围内 试说明道理 不要求推 算 2 如果AB棒的质量m1 1 0kg BC棒 的质量m2 2 0kg 求此外力的方向和大小 析 析 本题涉及有两个两个转轴的物体 处理方 法同共点力作用下物体的平衡条件类同 可将 隔离法隔离法 整体法整体法合起来用 解 解 1 从两棒整体看 它们受重力m1g和m2g 它们对A轴都有顺时 针方向的力矩 因此 在C端施的力F方向不可能指向AC竖直线的左方 就BC棒而言 同理可知 以B为轴 m2g产生逆时针方向力矩 故F的 方向不可能指向BC棒的右下方 故F的方向只能在 ABC范围内斜向 右上方 范围内斜向 右上方 棒才有可能平衡 2 设F的方向与AC夹角为 每棒长L 依据力矩平衡条件力矩平衡条件 以A为轴 对两棒整体整体有 sin245sin 2 21 LF L gmm 以B为轴 对对 BC 棒棒有 45sin 45sin 2 2 LF L gm 联立两方程解得 NF19 395 0 sin 1 小结 小结 在求力矩时 如遇力臂不容易找不容易找 可先把力进行分解先把力进行分解 求 出各个分力的力矩后再求合力矩 如本题中可先把F分解为水平方向 的Fsin 和竖直方向的Fcos 因竖直方向的分力过转轴 不产生力 矩 水平分力的力臂为L2 故F的力矩为FF2sin 第 13 页 共 13 页 临湘一中物理网临湘一中物理网 高中物理奥赛辅导教程 第 02 章第 03 节 例例 12 有人设计了一种新型伸缩拉杆秤 结构如图 秤杆的一端固 定一配重物并悬一挂钩 秤杆外面套有内外两个套筒 套筒左端开槽 使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置 设开槽后套筒的重心 仍在其长度中点位置 秤杆与内层套筒上刻有质量刻度 空载 挂钩 上不挂物体 且套筒未拉出 时 用手提起秤纽 杆秤恰好平衡 当 物体挂在挂钩上时 往外移动内外套筒可使杆秤平衡 从内外套筒左 端的位置可以读得两个读数 将这两个读数相加 即可得到待测物体 的质量 已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm 套筒可移出的最大距 离为15cm 秤纽到挂钩的距离为2cm 两个套筒的质量均为0 1kg 取 重力加速度 求 2 10smg 1 当杆秤空载平衡时 秤杆 配重物及挂钩所受重力相对秤纽 的合力矩 2 当在秤钩上挂一物体时 将内套筒向右移动5cm 外套筒相对 内