探求Fibonacci数列的通项.doc

探求Fibonacci数列的通项试验问题：探求Fibonacci数列的通项问题描述：1202年，意大利数学家Fibonacci（斐波那契）提出了一个兔子問題：“有一对兔子，从出生后的第3个月起，每个月都生一对兔子 小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子假设所有兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？” 试验目的： 学习建表函数Table、画过数据点的光滑曲线函数ListPlot、音乐播放函数Play、拟合函数Fit的使用； 掌握在MATHEMATIC中用“动态程序设计”计算递推数列的方法； 掌握拟合分析方法； 通过试验，得到Fibonacci数列的通项问题分析 1 2 3 4 5 n = ：表示初生兔子 ：表示成熟兔子 根据问题，可作出以下示意图设：满n个月时兔子对数为Fn，其中当月新生兔数目设为Nn对，第n-1个月留下的兔子数目设为On对，则：注意到： ，于是： （1）并且： （2）称满足初始条件（2）的递推关系（1）为Fibonacci数列根据（1）、（2）可以算出，Fibonacci数列前十项为：時間(月) 初生兔子(对)成熟兔子(对) 兔子总数(对) 11012011311241235235635875813881321913213410213455 试验方案计算Fn n=1, 2, 3, , N ， 增强感性认识； 顺次过点（n, Fn）n=1, 2, N，画出折线图，分析数列点的分布状态； 用拟合方法，估计Fn通项关系； 分析确定Fn通项试验过程计算Fn MATHEMATIC中有计算Fibonacci数列的函数离散数学类组合功能包Fibonaccin使用它需加载程序包：DiscreteMathCombinatorialFunctions于是可用以下程序来计算：此处，取n20计算也可换其它的值DiscreteMathcombinatorialFunctionst=TableFibonaccii,i,1,20 建表函数（P214）Table通项公式,循环范围，循环范围计算结果如下： 我们也可以自己设计程序来计算Fn，如下：F1:=1； F2:=1；Fn_:= Fn-2+Fn-1；t = TableFi,i,1,30上程序运行没问题，但是速度很慢，这是因为在递推中，许多值被重复计算，例如：当n=6时要计算以下4项： F6= F5+F4F5= F4+F3 F4= F3+F2F3= F2+F1 其中计算量如下表统计：计算F3时 被计算次数 计算F4时 被计算次数 计算F5时 被计算次数 计算F6时 被计算次数 合计 次数 F3 1 1 2 3 7 F4 1 1 2 4 F5 1 1 2 于是MATHEMATIC中采用了“动态程序设计”处理， 上程序可修改为：其中函数名FF没有实际作用，只是为了区别于上Fn；真正起作用的是此处多写的一个“FFn”；其功能大概是：把FFn第一次计算的值添加于“全局规则库”中，以后计算时，先查“库”，若有，就不再计算，否则，才计算FF1:=1； FF2:=1；FFn_:= FFn =FFn-2+FFn-1；t = TableFFi,i,1,30相比当n较大时计算速度会有明显差异，请务必注意这一点画折线图顺次过点（n, Fn）n=1, 2, 3, , N画出折线图程序如下：True 画一条过数据点的光滑曲线 t=TableFibonaccii,i,1,20；ListPlott, PlotJoined-True取n20，运行结果如下：取n50、500时运行结果分别如下：由上结果可见当n变大时，（n，Fn）趋近于直线拟合分析注： 关于曲线的拟合：实际问题中，试验的数据是离散的Fit数据，拟合函数的基，变量 例如：Fit数据表,1，x，x 用一次多项式拟合 Fit数据表,1，x，x2，x 用二次多项式拟合 Fit数据表, Sinx,x 用三角函数拟合 Fit数据表, Sinx,Exp-x/2,x 用三角函数与指数函数拟合 最好是“多项式函数” 于是希望：寻找近似的连续函数关系，去描述离散的研究对象称之为曲线的拟合MATHEMATICA中，有拟合函数“ Fit ” ，（P238） 若求得lnFn = a n, 则可得Fn= 其中b=ea 即是Fn的通项 通过的计算，已发现：当n变大时，（n，Fn）趋近于直线，于是我们考虑用线性函数去拟合之但是 n的值很大，所以 考虑lnFn，即取点列： （n，lnFn）n=1、2、3、N来做拟合例如，取n=1000做拟合，程序如下：DiscreteMathcombinatorialFunctionst=TableLogFibonaccii,i,1,1000；Fitt,1,x,x运行结果如下：再取n=10000做拟合，有以下结果：由此结果即得： Ln Fn =0.804637+0.481212 x 于是猜测： （3） 分析确定Fn的通项将（3）代入递推公式中，得：由此得：由于时，递增，故应取：，于是：， （4）但是（3）不满足初始条件(2)，所以（4）不是的通项公式，不过，仍是的主要部分，于是我们需分析它与相差多少，为此，令： 为确定，分析它与的关系，作差： 可见，也满足（1），于是仍可设，这样就可得： （5）类似地可知，也满足方程，并且根据的不增性可知：再将初始条件（2）代入（5）可求得：，于是 即是Fn的通项结果分析本试验的结论是清楚的，可贵的是