数列求和的十二种方法及递推数列求通项.doc

十二类递推数列求通项公式对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。例1已知数列满足，求。类型2递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例2已知数列满足，求类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例3已知数列中，求。类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例4已知数列中，求。类型5递推公式为（其中p，q均为常数），即二阶递推数列。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型的方法求解。例5已知数列中，求。类型6：递推公式为与的关系式。解法：利用进行求解。例6已知数列前n项和。（1）求与的关系； （2）求通项公式。例7 已知数列中，求解法：设 例8已知数列中，求.类型8：，（，均为常数）解法：两边同除以，构造数列例9各项均不为零的数列，首项=1，且对于任意均有（或），求例10合肥市2013二模20T 各项均不为零的数列，首相，且对于任意均有（1）求数列的通项公式；（2）此处不要求做。若数列的前n项和为，证明：当时，类型9：指数型数列 解法：两边取对数例11已知数列满足，求。例12已知，求类型10：奇偶项数列解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列例13、（1）在数列中，求（2）、在数列中， ，求类型11：双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例14已知数列中，；数列中，。当时，求。类型12：的数列 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例15已知数列满足，求数列的通项例16已知数列满足，求数列的通项数列求和的八种方法数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的求解类型1：利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。等差数列求和公式： 等比数列求和公式：当q1时，S= 当q=1时，S= na常用求和公式：S= 1 + 2 + n =， S= 例1、已知logx = ，求x + x +x的值。例2、设S=1+2+3+n，nN，求的最大值。类型2：错位相减法求和这种方法主要用于数列ab的前n项和，其中a,b分别是等差数列和等比数列，且b的公比不为1。例3、求和：类型3：倒序相加法求和倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个（）例4、函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=.（1）f()和f()+f() (nN)的值；（2）数列满足：= f(0)+f()+f()+f()+f(1)，求 类型4：分项求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊数列，然后分别求和，再将其合并。例5、求数列n（n+1）(2n+1)的前n项和S。类型5：裂项求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。例6、求数列，,，的前n项和类型6：并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求和，然后再求。例7、在各项均为正数的等比数列中，若=9,求的值。类型7：利用数列的通项求和利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。例8、求1+11+111+之和类型8：与绝对值相关的求和此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。例9、数列中, =8, =2且满足(n)，设|，求。答案：十二类递推数列求通项公式对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。例1.已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以又因为所以类型2递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例2.已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即所以， 又因为，所以。类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例3.已知数列中，求。解：设递推公式可以转化为即，所以故递推公式为令，则，且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例4.已知数列中，求。解：在两边乘以得：令，则应用例3解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一：（待定系数法）先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型的方法求解。例5.已知数列中，求。解法一：由可转化为即所以，解得：或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则所以是以首项为，公比为的等比数列所以应用类型1的方法，令，代入上式得个等式累加之，即，又因为，所以。注：对于（p、q均为常数），若p+q=1时，则直接构造一个等比数列解决问题解法二：特征根法令，得到特征方程，若特征方程有两同根，即，则通解，若特征方程有两异根，即，则通解因为特征方程为，即（3x+1）(x-1)=0,所以，解得分别为，所以类型6递推公式为与的关系式。解法：利用进行求解。例6.已知数列前n项和。（1）求与的关系；（2）求通项公式。解：（1）由得：于是所以，即（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由，得：于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，故例7. 已知数列中，求类型7：（p，q均为常数）解法： 例8. 已知数列中，求.类型8：，（，均为常数）解法：两边同除以，构造数列例9.各项均不为零的数列，首项=1，且对于任意均有（或），求 例10合肥市2010二模20T 各项均不为零的数列，首相，且对于任意均有（1）求数列的通项公式；（2）此处不要求做。若数列的前n项和为，证明：当时，解：（1）由得，则所以是以3为公比，为首项的等比数列 4分 （2）当时，令则所以 13分类型9：指数型数列 解法：两边取对数例11已知数列满足，求。例12已知递推式两边同取对数，得令，则，已转化为“型”，由累乘相消法可得 类型10：奇偶项数列解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列例13、1、在数列中，求2、在数列中， ，求解：1、（2）-（1）得：当时，即当时，即2、，当时，即当时，即类型11双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例14.已知数列中，；数列中，。当时，求。解：因所以即，又因为所以即由、得：类型12：的数列 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例15.已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例16.已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，列求和的八种方法数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。类型1：利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。等差数列求和公式： 等比数列求和公式：当q1时，S= 当q=1时，S= na常用求和公式：S= =1 + 2 + n = S=1 + 2 +n = n(n+1)(2n+1)S=1 +2 +n =n(n+1)例1、已知logx = ，求x + +的值。解：由logx = logx= -log2 x = ，由等比数列式求和公式得：S= x + x + x = =1- 例2、设S=1+2+3+n，nN，求的最大值。解：由等差数列求和公式得S=n(n+1)，S=(n+1)(n+2),= 当且仅当n =，即n=8时，取最大值。类型2：错位相减法求和这种方法主要用于数列ab的前n项和，其中a,b分别是等差数列和等比数列，且b的公比不为1。例3、求和：1+3a+5a+7a+(2n-1)a(a0)解：数列(2n-1)a是由等差数列2n-1和等比数列a的相应项乘积组成。当a=1时，S=1+3+5+（2n-1）= = n当a1时，S=1+3a+5a+（2n-1）a ，两边分别乘以公比a得：aS=a+3a+5a+（2n-3）a+(2n-1)a-得：（1-a）S=1+2a+2a+2a+2a-(2n-1)a=1-(2n-1)a+，于是S= 类型3：倒序相加法求和倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个（a+a）例4、函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=.f()和f()+f() (nN)的值；数列a满足：a= f(0)+f()+f()+f()+f(1)，求a 例4、求证C+3C+5C+（2n+1）C=(n+1)2证明：设S=C+3C+5C+（2n+1）C将右边倒转过来得：S=（2n+1）C+（2n-1）C+3C+C由C=C得S=（2n+1）C+（2n-1）C+3C+C+得：2S=(2n+2)(C+C+C+C)=(2n+1)2S=(n+1)2类型4：分项求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊数列，然后分别求和，再将其合并。例5、求数列n（n+1）(2n+1)的前几项和。解：设a= n(n+1)(2n+1)= 2n+3n+nS=1(1+1)(2+1)+2(2+1)(4+1)+n(n+1)(2n+1)=21+31+1+22+32+2+2n+3n+n将其每一项拆开再重新组合得S=2（1+2+n）+3（1+2+n）+（1+2+n）= = 类型5：裂项求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。例6、求数列的前n项和解：设a= ，则S= =(- )+(- )+（- ）=常见裂项式如下：， ；类型6：并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求和，然后再求S。例7、在各项均为正数的等比数列a中，若aa=9,求loga+loga+loga的值。解：设S=loga+loga+loga由等比数列的性质m+n =p+qaa=aa和对数运算性质logM+logN=log(MN)，得S=(loga+loga)+(loga+loga)+( loga+loga )=log(aa) + log(aa)+log（aa）=log9+log9+log9=10类型7：利用数列的通项求和利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。例8、求1+11+111+1111之和 n个1解：a=1111= 999 = （-1） n个1 n个91+11+111+1111 n个1=