哈工大最优课件 第六讲线性最优状态调节器(第23-27学时).pdf

哈尔滨工业大学航天学院 李传江 2007年12月 前言 题目解析 调节器 调节器 当系统的输出或其导数偏离平衡状态 希望施加一控制作用使其状态回到原平衡状态 当系统的输出或其导数偏离平衡状态 希望施加一控制作用使其状态回到原平衡状态 线性调节器 线性调节器 所施加的控制作用所施加的控制作用u t 与系统状态 成线性比例关系 即 与系统状态 成线性比例关系 即 u t Kx t 线性最优调节器 线性最优调节器 使所给定的泛函指标取极小值 使所给定的泛函指标取极小值 线性二次型最优调节器 线性二次型最优调节器 指标函数为状态 变量与控制变量的二次型函数 指标函数为状态 变量与控制变量的二次型函数 线性二次型最优状态调节器 线性二次型最优状态调节器 设计设计 u t Kx t 使得使得 x t 0 线性二次型问题线性二次型问题 状态调节器状态调节器 具有给定稳定度的状态调节器具有给定稳定度的状态调节器 离散状态调节器离散状态调节器 有限时间状态调节器有限时间状态调节器 无限时间状态调节器无限时间状态调节器 最优调节系统渐近稳定性最优调节系统渐近稳定性 线性二次型问题 如果所研究系统为线性 所取性能指标 为状态变量与控制变量的二次型函数 称这种动态系统最优化问题为 如果所研究系统为线性 所取性能指标 为状态变量与控制变量的二次型函数 称这种动态系统最优化问题为线性二次 型问题 线性二次 型问题 概念 概念 特点 特点 易于实现 具有工程性易于实现 具有工程性 线性最优控制结果可用于工作在小 信号条件下的非线性系统 线性最优控制结果可用于工作在小 信号条件下的非线性系统 作为求解非线性最优控制问题的基础作为求解非线性最优控制问题的基础 线性二次型问题 除具有二次型性能指标意义上的最优 性外 还具有良好的频响特性 可以实现极点的最优配置 除具有二次型性能指标意义上的最优 性外 还具有良好的频响特性 可以实现极点的最优配置 分类 分类 状态调节器问题状态调节器问题 系统方程 系统方程 线性二次型问题 0 0 x tA t x tB t u txx A D 可观可观 是为了保证 最优调节系统渐近稳定 是为了保证 最优调节系统渐近稳定 例例3已知系统状态方程和初始条件 111 222 0 1 0 0 x tx tx x tx tu tx 则存在唯一最优控制则存在唯一最优控制u R 1BTPx 备注 备注 条件 的要求是为了保证性能指标的积 分为有限值而提出的 为保证积分值有 限 条件 的要求是为了保证性能指标的积 分为有限值而提出的 为保证积分值有 限 x和和u均要收敛到均要收敛到0 如果系统可控 则可通过状态反馈任意配置闭环极点 使系统 如果系统可控 则可通过状态反馈任意配置闭环极点 使系统AS 即使系统只是可稳 不可控 状态也是渐近稳定的 即使系统只是可稳 不可控 状态也是渐近稳定的 条件 是为了保证最优反馈系统是 稳定的 条件 是为了保证最优反馈系统是 稳定的 单纯的性能指标取有限值还 不能保证系统稳定 单纯的性能指标取有限值还 不能保证系统稳定 例如只要不稳 定的状态不出现在性能指标中 例如只要不稳 定的状态不出现在性能指标中 定理6 7中若控制受限 有如下定理6 8 xAxBu 则存在唯一最优控制则存在唯一最优控制 控制控制u满足满足 uj 1 且分段连续且分段连续 1 11 1 1 1 1 1 1 1 T j TT jjj T j R B Px uR B PxR B Px R B Px 试求最优控制及最优指标试求最优控制及最优指标 线性二次型问题线性二次型问题 状态调节器状态调节器 具有给定稳定度的状态调节器具有给定稳定度的状态调节器 离散状态调节器离散状态调节器 有限时间状态调节器有限时间状态调节器 无限时间状态调节器无限时间状态调节器 最优调节系统渐近稳定性最优调节系统渐近稳定性 具有给定稳定度的状态调节器问题具有给定稳定度的状态调节器问题 对于无限时间定常状态调节器 求出一 定常控制律 对于无限时间定常状态调节器 求出一 定常控制律 使得最优调节系统具有至少 为 使得最优调节系统具有至少 为 的稳定度的稳定度 这样的调节器问题称为具 有给定稳定度的状态调节器问题 这样的调节器问题称为具 有给定稳定度的状态调节器问题 具有给定稳定度的状态调节器 具有给定稳定度的状态调节器 问题问题6 4 目标为 目标为 0 0 x tAx tBu txx 及性能指标 及性能指标 2 0 1 2 tTT Jext Qx tut Ru t dt 确定最优控制确定最优控制 u 指标达到极小指标达到极小 并使最优闭环系统 考虑线性定常系统 并使最优闭环系统 考虑线性定常系统 u t 无约束 无约束 0为已知值为已知值 AS 其特征值实部小于 其特征值实部小于 使要求的使要求的 具有给定稳定度的状态调节器 定理定理 6 9 1 0 TT P AIAI PPBR B PQ 其中 最优闭环系统 1 T x tABR B P x t 对于问题6 4 若阵对 阵对 A B 完全可控 完全可控 1 T uR B Px t 则存在唯一的最优控制 最优性能指标为 0 2 00 0 5 tT JextPx t 且满足如下ARE 0 T PP A D 完全可观 完全可观 其中DDT Q 是渐近稳定的 且稳定度至少为 例例1已知系统状态方程 12 2 x tx t x tu t 性能指标 222 1 0 t Jex tut dt 求最优控制u t 参阅胡寿松一书P183页 线性二次型问题线性二次型问题 状态调节器状态调节器 具有给定稳定度的状态调节器具有给定稳定度的状态调节器 离散状态调节器离散状态调节器 有限时间状态调节器有限时间状态调节器 无限时间状态调节器无限时间状态调节器 最优调节系统渐近稳定性最优调节系统渐近稳定性 有限时间离散状态调节器 问题问题6 5 目标为 目标为 0 1 0 x kA k x kB k u kxx 及性能指标 及性能指标 1 0 11 22 N TTT k JxN Fx Nxk Q k x kuk R k u k 确定最优控制序列确定最优控制序列 u k 使要求的离散指标达到极小 考虑线性离散系统 使要求的离散指标达到极小 考虑线性离散系统 u k 无约束无约束 F FT 0 Q QT 0 R RT 0 有限时间离散状态调节器 定理定理 6 10 1 1 1 TT K kR kBk P kBk P kA k 其中反馈增益矩阵序列为 1 0 1 2 1 T T P kA kB k K kP kA kB k K k Kk R k K kQ kkN L 对于问题6 5 0 1 1u kK k x kkN L 存在唯一的最优控制序列 最优性能指标为 0 0 0 5 0 0 0 T JxxPx 边界条件为 P k 是离散Riccati方程的对称非负定解 P NF 无限时间离散定常状态调节器 问题问题6 6 目标为 目标为 0 1 0 x kAx kBu kxx 及性能指标 及性能指标 0 1 2 TT k Jxk Qx kuk Ru k 确定最优控制序列确定最优控制序列 u k 使要求的离散指标达到极小 考虑线性离散系统 使要求的离散指标达到极小 考虑线性离散系统 u k 无约束无约束 Q QT 0 R RT 0 无限时间离散定常状态调节器 定理定理 6 11 111 1 TT TT KR BIPBR BPA RB PBB PA 其中反馈增益矩阵序列为 1 11 111 TTTT TT TT PQA PAA PB RB PBB PA QAIPBR BPA QAPBR BA 对于问题6 6 u kKx k 存在唯一的最优控制序列 P是离散Riccati方程的对称正定解 采用离散极小值原理 或离散动态规划思想 或配方法完成定理6 11的证明 附加思考题1 针对针对 无限时间状态调节器无限时间状态调节器 问题 研究对于某个确定的 最优控制 问题 研究对于某个确定的 最优控制u 是否可以对应 不同的二次型性能指标 试 举例说明 是否可以对应 不同的二次型性能指标 试 举例说明 附加思考题2 针对针对 无限时间状态调节器无限时间状态调节器 问题 研究如何把闭环最优 调节系统的极点配置到复平 面中的特定区域 例如 问题 研究如何把闭环最优 调节系统的极点配置到复平 面中的特定区