92[1]高中数学新课程“坐标系与参数方程”的教学研究.pdf

浙江师范大学 硕士学位论文 高中数学新课程 坐标系与参数方程 的教学研究 姓名 范文丹 申请学位级别 硕士 专业 学科教学 数学 指导教师 卜月华 20090529 高中数学新课程 坐标系与参数方程 的教学研究 摘要 坐标系与参数方程是普通高中数学新课程标准选修系列4 4 的内容 坐 标法思想是近代数学发展的开端 是现代数学最重要的基本思想之一 坐标系 与参数方程作为近代数学的一门重要的基础课程 对我国的课程发展和完善有 着深远的影响 开设这门选修课的目的 是通过简单曲线的极坐标方程和学生 所熟悉的曲线的参数方程 使学生更全面地理解坐标法思想和参数方程思想 提高利用数学知识解决实际问题的能力 形成对数学更加全面的了解 逐步认 识到数学的科学价值 应用价值和文化价值 新课程将坐标系与参数方程编入选修课程 在内容的容量及教法和学法角 度等方面都与以往的课程有较大的差异 现代信息技术的发展使这部分的教学 具有相当大的发挥空间 并给学生提供了很好的研究素材 同时对中学教师也 是一个很大的挑战 本文试图通过教学设计和实践 为广大教师对坐标系与参 数方程课程的教学提供一些真实 可靠 有效的教学资源 同时为其它选修板 块的开设起到一个借鉴作用 文章通过对高中数学新课程的相关研究及相关的理论依据 结合新课程理 念对 坐标系与参数方程 在高中课程中开设的必要性和价值分析 提出本专 题教学的设计理念 通过本专题的内容设置和特点 结合新旧教材的对比 从 整体上理解新教材这部分内容的编写意图 通过 联系生活 创设问题情境 结合专题特点 培养学生的问题意识和自主探究能力 等六个方面提出本专 题的教学策略 并在实践的基础上提出教学建议 本课题的研究旨在提高学生学习数学的兴趣 掌握数学学习方法 拓宽学 生的视野 培养数学思维能力 同时希望能在实践中和老师加强交流 共同提 高 关键词 新课程 坐标系与参数方程 教学策略 教学案例 T H ET E A C H n 寸GR E S E A R C H0 F R E F E R E N C EF R A 量江EA N D P A R A M E T E RE Q U A T I O N I NT H EN E W l A T H E A 4A T I C A S C U R R j C U L U MO FH I G HS C H O O L A B S T R A C T R e f e r e n c eF r a m ea n dP a r a m e t e rE q u a t i o nh a v eb e e nt a k e na st h ec o n t e n t so ft h e e l e c t i v ec o u r s e 4 4o ft h en e wc u r r i c u l u mc r i t e r i o nf o rs e n i o rm a t h s T h et h o u g h to f R e f e r e n c er e p r e s e n t st h es t a r to fn e o t e r i cm a t h sd e v e l o p m e n ta n di so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tb a s i ct h o u g h t so fn e o t e r i cm a t h s A so n eo ft h ei m p o r t a n tb a s i cc o u r s e so f n e o t e r i cm a t h s R e f e r e n c eF r a m ea n dP a r a m e t e rE q u a t i o nh a v eaf a r r e a c h i n g i n f l u e n c eo nt h ec u r r i c u l u md e v e l o p m e n to fO u rc o u n t r y T h ep u r p o s et oo p e nt h e c u r r i c u l u mi st oh e l ps t u d e n t sh a v ea no v e r a l lu n d e r s t a n d i n go ft h et h o u g h t so f R e f e r e n c ea n dP a r a m e t e rE q u a t i o nw i mt h ep o l a rc o o r d i n a t e se q u a t i o no fs i m p l e c u r v e sa n dP a r a m e t e rE q u a t i o nw h i c hi sf a m i l i a rt os t u d e n t s t h u si m p r o v i n gt h e i r a b i l i t yt os o l v ep r a c t i c a lp r o b l e m sb yu s i n gm a t h sk n o w l e d g ea n dh a v i n gam o r e o v e ra l l u n d e r s t a n d i n gf o rm a t h sa n dg r a d u a l l yr e a l i z i n gt h es c i e n t i f i cv a l u e a p p l y i n gv a l u ea n dc u l t u r a lv a l u eo fm a t h s T h en e wc u r r i c u l u mh a sr e a r r a n g e dR e f e r e n c eF r a m ea n dP a r a m e t e rE q u a t i o n i n t ot h ee l e c t i v ec o u r s e c a u s i n gt h eg r e a td i f f e r e n c e sf r o mt h eo l dc u r r i c u l u mi n c o n t e n t s c a p a c i t y t e a c h i n ga n dl e a r n i n gm e t h o d s W i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e m i n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y w eh a v eq u i t el a r g er o o mt oe x e r tt h i sp a r to ft e a c h i n ga n d p r o v i d ef a i r g o o dr e s e a r c hm a t e r i a lt oo u rs t u d e n t s M e a n w h i l e i t Sab i gc h a l l e n g e f o rU St e a c h e r s I nm yr e s e a r c hp a p e r It r yt oo f f e rm yf e l l o wt e a c h e r ss o m er e l i a b l e a n de f f e c t i v et e a c h i n gr e s o u r c e so fR e f e r e n c eF r a m ea n dP a r a m e t e rE q u a t i o nw i t h m yt e a c h i n gd e s i g n sa n dp r a c t i c e a n ds e tar e f e r e n c ef o rt h et e a c h i n go fo t h e r C O n t e n t s I I A f t e rs o m es t u d y i n go fs e n i o rm a t h sn e wc u r r i c u l u ma n ds o m er e l a t e dt h e o r i e s a n ds o m ea n a l y z i n go ft h ev a l u ea n dn e c e s s i t yo fo p e n i n gR e f e r e n c eF r a m ea n d P a r a m e t e rE q u a t i o na sap a r to fs e n i o rc o u r s e s Ip r e s e n tm yd e s i g nf o rt h i sp a r to f t e a c h i n g B a s e do nt h ec o n t e n ta n di t sc h a r a c t e r i s t i c s c o m p a r i n gt h ed i f f e r e n c e so f t h eo l da n dt h en e wt e a c h i n gm a t e r i a l s t h u su n d e r s t a n d i n gw h o l l yt h e d e s i g n p u r p o s eo ft h i sp a r to ft e a c h i n gc o n t e n t Ip r e s e n tm yt e a c h i n gs t r a t e g i e s 谢t hs i x a s p e c t si n c l u d i n g c r e a t i n gq u e s t i o n i n g s i t u a t i o n sb y l i n k i n g t or e a l l i f e c u l t i v a t i n gs t u d e n t s q u e s t i o n i n gs e n s ea n ds e l f r e s e a r c ha b i l i t y a n dIp r e s e n t s o m et e a c h i n ga d v i c eo nt h eb a s eo fp r a c t i c ea sw e l l M y r e s e a r c hi sa i m e da ta r o u s i n gs t u d e n t s i n t e r e s ti nl e a m i n gm a t h s h e l pt h e m t om a s t e rt h em e t h o d so fl e a r n i n gm a t h s w i d e ns t u d e n t s h o r i z o n a n dc u l t i v a t e s t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t y A tt h es a m et i m e Ih o p et oh a v em o r eo p p o r t u n i t i e st o c o m m u n i c a t ew i t hm yf e l l o wt e a c h e r st ob e t t e ro u rt e a c h i n ge f f e c tt o g e t h e r K E YW O R D S N e wc u r r i c u l u m R e f e r e n c eF r a m ea n d P a r a m e t e r E q u a t i o nt e a c h i n gs t r a t e g i e s T e a c h i n gc a s e s I I I 浙 T I J 开i 范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外 不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果 其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意 本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 名 乍互廿嗍铲歹 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留并向 国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档 允许论文被裔阅和借阅 可以采用影 印 缩印或扫描等手段保存 汇编学位论文 同意浙江师范人学可以州不同方式在不同媒 体上发表 传播论文的全部或部分内容 保密的 学位论文在解密后遵守此协议 钰乍姗翮繇厂 4 3 昭年岁 f L 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守 浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例 我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果 数据 观点等 均已明确注明并详细列出有关文献的名称 作 者 年份 刊物名称和出版文献的出版机构 出版地和版次等 内容 论文中未注明的内容为本人的研究成果 如有违反 本人接受处罚并承担一切责任 裂篡黪 指导 教师 冈 1 么多 一 研究背景 一 绪论 2 0 0 3 年4 月 我国颁布了由国家教育部制订的 普通高中数学课程标准 实 验 以下简称 课程标准 2 0 0 4 年9 月广东省 海南省 山东省 宁夏回族 自治区等四省区开始进入首轮 课程标准 的教学实验 2 0 0 6 年9 月 普通高 中数学新课程在浙江省全面开始实施 课程标准 依据 构建共同基础 提供发展平台 提供多样课程 适应个 性选择 等十条基本理念 螺旋上升地在必修与选修模块中设置了解析几何内 容 课程标准 建构的解析几何课程体系 是以坐标法为核心 依 直线与方 程 圆与方程 圆锥曲线与方程 坐标系与参数方程 为顺序 螺旋上升 循序渐进地展开内容 作为解析几何初步 平面向量 三角函数等内容的综合 应用和进一步深化 课程标准 再一次将坐标系与参数方程作为高中数学学习 内容 以专题 坐标系与参数方程 列入高中数学选修课 任选 体现了新课 程重视数学的整体性以及部分内容中学与大学学习内容相互衔接和融合的原则 要求学生通过本专题的学习 掌握极坐标与参数方程的基本概念 了解曲线的多 种表现形式 体会从实际问题中抽象出数学问题的过程 培养探究数学问题的兴 趣与能力 体会数学在实际中的应用价值 提高应用意识和实践能力 坐标法是现代数学发展的开端 坐标法思想为牛顿 莱布尼兹创立微积分奠 定了基础 它已经成为现代数学最重要的基本思想之一 坐标法与参数方法在应 用数学 工程等方面都具有广泛的应用价值 学习本专题可以为学生的后续学习 提供条件 本专题在老教材 平面解析几何 中曾以必修章节出现 但在2 0 0 1 年开始该内容被删除 现在 课程标准 又将它以选修内容呈现 说明了本专题 内容在高中阶段学习的必要性 与9 8 年人教版的 平面解析几何 中第三章内 容 参数方程 极坐标 比较 课程标准 下 坐标系与参数方程 在教学内 容 教学逻辑顺序的安排 教学的方法和教学的要求上都有了很大的改变 这就 有必要通过新旧教材的对比 使我们更深刻理解本专题在高中数学中的教学 由于每一位高中数学教师的知识结构 教学经历 擅长模块等不尽相同 每 中华人民共和国教育部制订 普通高中数学课程标准 实验 S 北京 人民教育出版社 2 0 0 3 1 一 绪论 位教师对 坐标系与参数方程 的理解 认识将会有所不同 在进行 坐标系与 参数方程 这一选修专题的教学时 必然表现在确立的教学目标 确定的教学内 容 选择的教学方法与评价方法等都将有所不同 加上作为选修内容本身又在深 度 难度的把握上有较大的弹性 老教师可能还会受到老教材中相应教学内容及 难度设置的影响 因而在高中数学教学实践中如何正确 有效地处理 坐标系与 参数方程 这部分内容是我们在今后教学中将要面临的问题 因此 对 课程标 准 下高中数学课程中引入 坐标系与参数方程 的背景 意义及其作用 坐 标系与参数方程 在高中教学实践中的取舍 难度与深度的把握 教学方法的选 择 教学的设计等方面进行全面细致的分析与研究就显得十分必要 二 研究目的 本探讨旨在明确 课程标准 设置坐标系与参数方程为选修专题之一的国内 外背景 研究这一选修专题的教育价值 坐标系与参数方程对促进学生全面发展 的作用 为即将开展的高中数学选修课程的教学实践作一些前期探索 为 课程 标准 的实施积累素材 为这一选修专题 教什么 如何教 等实际问题提供参 考 三 研究意义 根据 课程标准 的设置意图 把 坐标系与参数方程 中的相关知识 通 过直角坐标系及实际问题引出重点内容 极坐标系 将柱坐标系和球坐标系 渐开线与摆线的初步知识介绍给高中学生 对于普通高中的教学旨在以 坐标系 与参数方程 为载体 展现数学的思想 方法 精神 力量和美 开阔学生的数 学视野 针对本专题的设置意图 本研究的意义在于 1 为高中数学坐标系与参数方程的教学提供借鉴 新课程将坐标系与参数方程重新编入选修课程 充分肯定了其内在的教育价 值 然而从内容的容量及教法和学法角度而言 这部分内容与以往的课程有较大 的差异 同时 课程标准 中对这部分的教学要求留有相当的教学发挥空间 并给学生提供了很好的研究素材 面对这样一种现状 如何选择教学内容 教学 模式以及在实施过程中应遵循哪些原则来实现自己的教学目标 并没有一个现成 的范式 本文试图通过教学设计与教学实践 为广大教师坐标系与参数方程课程 2 一 绪论 的教学提供借鉴 对必修课的教学提供反馈 高中数学课程分为必修课程和选修课程 这并不影响必修课和选修课之间的 联系 必修课的教学对于选修课的教学起主导作用 反过来选修课的教学对必修 课的教学也起到辅助作用 同时 在选修课上新的教学方法 也将给必修课提供 一个反馈信息 这种方式是否可以应用于必修课的教学 是否有利于必修课的 教学 此外 随着课程改革的逐步开展 广大研究者和课程研发者都十分关心课 程的试行结果及试验工作 希望本文的研究工作能够给新课程的教学提供一些参 考 四 研究方法 1 比较研究法 由于高中各阶段教材对 坐标系与参数方程 内容的处理不同 对9 8 年版 和0 1 年版以及0 7 版新旧教材进行比较对比研究 侧重点放在高中数学新课程中 本专题的特点 特色的研究 并根据这一特点分析如何进行教学设计 2 文献研究法 在分析课程标准的基础上 各个时期有关坐标系与参数方程的教材处理 相 关的期刊杂志中关于高中坐标系与参数方程教学的研究文章和相关成果 结合课 程改革的总体要求对其做一些最新研究与思考 通过文献研究为本课题提供大量 有用的理论参考和实践标准 3 案例研究法 通过对所选专题的设计和研究 侧重于探讨坐标系与参数方程教学中的四个 焦点问题 1 坐标系与参数方程内容对教学有哪些要求 对教学设计会产生哪些 影响 2 选取什么样的实例会更有利于坐标系与参数方程教学 3 课堂上老师应 如何引导学生探究 领会坐标法与参数法思想 4 如何做好现代信息技术与此专 题的整合 通过研究给出相应的教学策略及有关教学案例 并提出对此专题教学 的一些建议 3 一 绪论 五 问题研究的现状及文献综述 由于我国高中教材中 坐标系与参数方程 的反复删增变化 使得坐标系与 参数方程教学的研究也相对较少 随着新课改的进行 课程标准 对坐标系与 参数方程教学的要求逐渐提高 人们对这部分内容教学的研究 越来越重视 作为解析几何创始者的法国数学家笛卡尔 其著作 几何学 的中心思想是 建立起一种 真正的数学 普遍的数学 把逻辑 代数 几何三者的优点结 合起来 他设想 把几何数学问题化为一个代数问题 再把几何代数问题归结到 去解一个方程式 这样就可以用代数的方法研究曲线的性质 这就是解析几何的 基本思想 而坐标就是实现这一思想的根本 和笛卡尔同时代的法国数学家费马 在1 6 2 9 年撰写的 平面和立体轨迹引论 一文 也体现了坐标法的思想 除了 直角坐标系 还有斜坐标系 极坐标系 空间直角坐标系 球坐标系和柱面坐标 系等等 在新教材中都给予了介绍 人民教育出版社课程教材研究所张劲松教授在 中学数学教学参考 2 0 0 6 年第1 0 期发表的文章 浅谈高中数学课标教材 解析几何 的内容 要求与特 点 中明确指出了坐标法与参数方程在解析几何中的作用与地位 并对其内容 要求和教法提出了参考意见 杭州师范学院数学系陆竞在 杭州师范学院学报 自 然科学版 2 0 0 3 年第6 期发表的文章 从计算机作图看参数方程和极坐标的重 要性 也提出了坐标系与参数方程在科学发展中的重要作用 建议在高中阶段不 应该降低对这部分内容的要求 北京师范大学的丁尔什等教授在 课程 教材 教法 2 0 0 6 年第3 期发表 的文章 努力编写一套具有中国特色的高中数学教材一人教版 普通高中课程标 准实验教科书 数学 总体设计思考 谈到 编写高中数学教材 其素材的选取 要努力体现数学的本质 符合学生的特点 要展现知识的发生发展过程和知识之 间的内在联系 促进学生的自主发展 要重视数学思想 方法的指导 有利于培 养学生的理性思维习惯和创新精神 要让学生感受到数学的美 接受数学文化的 熏陶 要能反映现代信息技术和数学课程的整合 其内容体系结构要力求反映各 模块内容之问的联系和综合 使它形成一个有机的整体 在教材编写时 要力求 精简实用 返璞归真 深入浅出 易教易学 力求积极主动 勇于探索的学习方 式 整合信息技术 更新教学方式 在解析几何中渗透坐标法的思想 提高数学 素养 张劲松 浅谈高中数学课标教材 解析几何一的内容 要求与特点 J 西安 中学数学教学参考 2 0 0 6 1 0 1 5 4 二 坐标系与参数方程 在高中课程中的必要性和价值分析 一 高中新课程中开设本专题的必要性和可行性分析 1 必要性 坐标系是解析几何的基础 在坐标系中 可以用有序实数组确定点的位置 进而用方程刻画几何图形 为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象 需要建立不同的坐标系 极坐标系 柱坐标系 球坐标系等都是与直角坐标系不 同的坐标系 对于有些几何图形 选用这些坐标系可以使建立的方程更简单 参 数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程 是曲线在同一坐标下的 又一种表示形式 某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便 本专题在 老教材 平面解析几何 中曾以必修章节出现 但在2 0 0 1 年开始该内容被删除 现在 课程标准 又将它以选修内容呈现 对于是否应在中学可设坐标系与参数 方程的课程内容 在不同的阶段 不同的学者从不同的角度探讨过此类问题 提出 了许多肯定或是否定的意见和建议 现在看来 无论是从社会发展 还是对人的 培养方面来看都是必要的 从学生认知发展规律及教学经验来看也是可行的 下 面就本专题在中学开设的必要性作简单的论述 1 国际数学课程改革与发展趋势的需要 新的世纪 世界各国都开始了 轰轰烈烈的数学课程改革 尽管各国的改革重点不一样 但是都呈现出了以下一 些共同趋势和基本方向 注重数学应用 注重目标差别化 注重内容选 择性 注重问题解决 注重数学交流 注重情感目标 注重数学与其他 学科的整合 注重现代信息技术与数学课程的整合 其中 由于2 0 世纪下半 叶以来 数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一 数学的价值观也因此 发生了深刻的变化 数学教育要重视应用意识和应用能力的培养已经成为了世界 数学课程改革中最主要的方向 世界各发达国家在数学课程改革中越来越强调数 学知识的应用 同时把数学与现实生活的联系 运用数学的态度作为数学课程的 重要目标 体现数学应用思想的内容是课题综合学习 课题综合学习的目的是要 求学生将数学知识 数学方法与实际生活密切相联系 体会数学在现实生活中的 重要性 让学生能够从数学的角度考察和解决身边的事物现象 提高学生运用数 孙晓天 数学课程发展的国际视野 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 2 4 5 二 坐标系与参数方程 在高中课程中的必要性和价值分析 学知识和方法解决问题的能力 鉴于此 我们国家在数学课程改革中也贯穿着这 个理念 坐标系与参数方程是将数学应用于生活的一条有效途径 而将 坐标系 与参数方程 重新编排在高中课程的选修教材中就是重视数学应用的一大举措 2 社会发展的需要 应用数学的能力和意识 是能适应现代生活的人所 必须具有的基本素质之一 数学的作用 除了传统的思维训练外 更多的是为社 会服务 强调数学在各行各业中的应用 在数学教育中强调数学应用 让学生掌 握更多的实用知识 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力 是当今国际数 学教育的目标之一 1 9 8 3 1 9 8 6 年国家课程教材研究所数学室和中国教育学会 联合组织了一项大型社会基本情况调查 即 全国经济和社会发展对数学基础知 识和基本技能的需要的调查研究 其目的是为确定中小学数学教学内容提供客 观依据 结果表明 相当多的行业和专业在不同程度上都需要 坐标系与参数方 程 的相关知识 由于本专题难度较大 因此在2 0 0 1 年版的教材中曾经将其删 去 但随着社会的发展 又将它编入新教材的选修内容中 这应该是现代社会人 们生活 生产和科学技术普遍需要的知识 由于难度较大 选择坐标系与参数方 程作为新课程选修内容遵循社会需要的原则 在中学开设本专题是必要的 3 科技发展的需要 科学技术越发展 应用数学的程度就越高 高科技 本质是一种数学技术 人们通过数学才能更好地掌握科学技术 科技对人才的数 学素质的需要必然反映到数学教育中 特别是反映到数学教育内容的取舍上 必 定要删去那些不能适应科技发展需要的一些内容 增加一些近代或现代的知识 如计算机知识 概率统计知识 微积分知识 重新增加坐标系与参数方程知识等 为学生提供探究世界的工具 面对2 1 世纪这个信息的时代 数学要作适当的更 新 要让需要更多数学知识的学生学习更多的内容 要逐步渗透一些现代数学的 思想 以适应科技发展的需要 因而 在中学阶段重新开设坐标系与参数方程是 适应科技发展的需要 4 可持续发展的需要 高中是基础教育的最后阶段 具有承上启下的重 要作业 高中毕业后 一部分学生上大学继续深造 中学学习的坐标系与参数方 程为大学继续学习相关内容打下一定的基础 另外一部分学生要进入社会工作生 活 这也是他们学习新知识 更新新技术的基础 总之 作为现代的中学生 学 习必要的坐标系与参数方程的知识是实现可持续发展的需要 2 可行性 1 从学生心理发展来看 就数学教育来说 学生的认知顺序应该依循从 感知到理解 再到巩固和应用 从已知到未知 从具体到抽象 从一般到特殊或 从特殊到一般等 初中阶段是学生以形象思维为主逐步向经验型的抽象思维的过 6 二 坐标系与参数方程 在高中课程中的必要性和价值分析 渡阶段 学生的抽象思维能力逐步占优势 但需要感性经验的支持 高中阶段是 学生以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维的过渡阶段 这时抽象逻辑思维 占主导地位 而坐标系与参数方程中的相关内容需要很强的抽象思维能力 因 此 在新课程在选修课中安排本专题内容 是完全符合学生心理发展规律的 2 从数学新课程实施情况来看 坐标系与参数方程作为选修内容在中学 阶段开设是完全可行的 包括浙江省在内的很多地区都已选择这一专题作为数学 选修课程内容之一 在一部分选修课程在师资配备等方面还严重不足的情况下 本专题的教学不管在师资配备还是在硬件设施上都已经基本达到国家的要求 同 时也基本上具备了应用多媒体教学的条件 为坐标系与参数方程的多媒体教学提 供了物质保证 3 新课程标准下的高中数学在内容和结构上都作了大幅度的调整 删除 了一些陈旧的内容 为开设必要的选修课提供了学时上的保证 综上所述 中学教材中开设选修内容 坐标系与参数方程 是必要的 也是 可行的 是时代发展的必然趋势 是培养我国创新人才的客观要求 是 以人为 本 教育的具体体现 二 坐标系与参数方程 在高中开设的价值分析 1 教育价值 今天 我们正处在高科技时代 自然科学的各种研究领域都进入了更深的层 次和更广的范畴 许多十分抽象的数学概念与理论出人意外地在其他领域中找到 了它们的原型与应用 数学与自然科学和技术科学的关系从来没有象今天这样的 密切 一百年前恩格斯说过 数学在化学中的应用是线性方程组 而在生物学中 的应用是零 这样的时代早已过去了 许多数学的高深理论与方法正在广泛地 渗透到自然科学和技术科学研究的各个领域 如生命科学 材料科学 信息科学 这些不但对数学的发展有着巨大的影响 而且对科学的发展趋势也将产生巨大的 影响 著名的数学家P A G r i f f i t h s 在上世纪末提出 当今的时代显然是一个黄金 时代 其原因之一是数学开始和工程非常密切地相互作用 这种相互作用促使科 学得到新的视野 也促使数学得到根本性的进步 他认为在新世纪中 科学和数 学的主要趋势有 1 研究从直线模型到动态模型 2 研究手段从 理论 实 验 发展到 理论 实验 计算 3 有相当部分的研究内容和方式从学科内研 究到跨学科研究 4 从传统的集中致力于简化方法转到更多地研究复杂系统 李士铸 数学教育心理学 l 咽 上海 华东师范大学出版社 2 0 0 1 5 7 6 0 二 坐标系与参数方程 在高中课程中的必要性和价值分析 5 全球化和知识的扩散 现代数学发展的一个重要特点是数学的应用飞速发展 曾一度被认为没有实 际应用背景的很纯粹 很抽象的数学也获得了广泛的应用 例如 调和分析在图 像压缩技术中的应用 拉东变换在C T 中的应用等等 各种不同坐标系在实际生 活中的应用是显而易见的 如圆形体育场看台的座位 地球的经纬度等是利用柱 坐标系 球坐标系刻画空间中点的位置的方法 可以用摆线刻画行星的运行轨迹 等 通过这个专题的学习 可以培养学生的基本知识和基本技能 使学生理解能 用这些知识解决不同问题的思想方法 了解数学在技术科学中的应用 体会数学 价值的魅力 通过这部分内容的学习 使学生掌握 坐标系与参数方程 的具体 内容和相关的数学知识 并在此基础上提高学生用不同方法 从不同角度分析 解决问题的能力 体会 坐标系与参数方程 在解决数学问题时所起的重要作用 这部分内容主要是在学习直线与方程 圆与方程以及圆锥曲线与方程的基础上 对解析几何内容的进一步深化 使学生知道 坐标系与参数方程 在现实生活中 的重要性和必要性 知道这部分知识对科学技术发展的作用及对现代社会所产生 的影响 引导学生从中体会到 1 在现代高科技社会中 看似和自己生活无关 的数学学科在社会进步中原来发挥着重大的作用 2 数学的作用已经不仅仅是 自然科学的基础和工具 有的已发展成为可以直接应用的技术 为社会直接创造 价值 希望学生能通过本专题的学习 体会同一几何图形的方程也有不同的形式 从而认识根据问题的几何特征选择适当坐标系或适当的表示方法的必要性和重 要性 2 应用价值 应用数学的能力和意识 是能适应现代生活的人所必须具有的基本素质之 一 数学的作用 除了传统的思维训练外 更多的是为社会服务 强调数学在各 行各业中的应用 在数学教育中强调数学应用 让学生掌握更多的实用知识 培 养学生应用数学知识解决实际问题的能力 是当今国际数学教育的目标之一 我们国家在数学课程改革中 也贯穿着这个加强应用性的理念 在数学教学 中提倡数学应用成为2 0 世纪9 0 年代以来我国数学教学改革的重要内容 在新的 课程内容中逐步加进了与生活联系密切的具有广泛应用性和实践性的数学知识 在我国新一轮的数学课程改革中 学生数学应用意识和应用能力的培养更是被放 在十分突出的位置上 强调数学要联系学生的日常生活 并在课程设置上能让学 生感到这种联系 鼓励学生用数学知识解决生活中的真实问题 在新课程中高中 数学设置坐标系与参数方程的重点也是强调发展学生的数学应用意识 张奠宙主编 数学教育经纬 M 南京 江苏教育出版社 2 0 0 3 6 8 6 9 8 二 坐标系与参数方程 在高中课程中的必要性和价值分析 坐标系与参数方程的内容作为解决问题的工具知识 在日常生活和科技领域 中具有广泛的应用性 同时具有较强的现实性 社会性和实践性 选取适当的坐 标系可以使问题更容易解决 问题也能更形象 更直观 可以更好地刻画不同曲 线的本质 而有关特殊曲线也已经应用于很多领域 在科学技术的发展中其作用 也是无可替代的 如摆线在实际中就有着相当广泛的应用 例如 最低降线是平 摆线 椭圆是特殊的内摆线 卡丹转盘 圆摆线齿轮与渐开线齿轮 收割机 翻土机等机械装置的摆线原理与设计 星形线与公共汽车门等等 各种各样的摆 线已被应用在图案设计 摆线齿轮 少齿差行星减速器 摆线转子油泵 旋转活 塞发动机的缸体曲线以及多边形切削等方面 日常生活中直接或间接用到坐标系与参数方程的例子很多 学完这个选修专 题后 学生就会自觉地用坐标系与参数方程的相关知识解决问题 将实际生活中 涉及到可用坐标系与参数方程相关方法解决的问题归类 抽象并解决 这无疑有 利于培养学生的抽象能力 逻辑思维能力 有利于培养学生进行发现学习 理论 联系实际的观念和行为 更重要的是培养他们应用数学的意识和能力 3 思维价值 从 坐标系与参数方程 的专题内容可以看出 内容的编排和设计遵循学生 思维能力的发展 在 平面直角坐标系 中 教科书在学生已有知识的基础上 着重介绍了 坐标法 和 坐标伸缩变换 引导学生学习如何根据问题的几何 特征选择适当的直角坐标系 建立曲线方程 进而通过方程研究相关问题 以进 一步体会坐标法思想 平面图形的伸缩变换在平面直角坐标系中可以用坐标伸缩 变换来表示 教科书以学生熟悉的Y A s i n c o x 缈 的图象与Y s i n x 的图象之间 的关系为载体 从坐标伸缩变换的角度进行重新认识 引导学生进一步体会坐标 法思想 极坐标系是本专题的重点内容 用距离与方位刻画点的位置是生活中常 用的方法 极坐标系就是这种方法的 数学化 教科书在介绍极坐标系概念的 基础上 从极坐标与直角坐标的互化 圆和直线的极坐标方程等角度引导学生认 识极坐标系 并引导学生体会在不同的坐标系中 有序数组 坐标 所体现的几 何意义不同 通过学习 使学生的思维逐渐地得到深化 从而提高学生的思维灵 活性和多样性 参数方程是本专题的另一个重要内容 其内容具有很强的综合性 教科书以学生熟悉的内容 直线 圆 圆锥曲线等 为载体 引导学生从参数方 程的角度对它们进行重新认识 学习用参数方程思想研究曲线的基本性质 学习 参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变 在坐标系与参数方程中 数与形的结合 运动与变化 相对与绝对 分解与 综合等思想方法十分突出 这些思想和方法都是非常重要的 有利于学生形成辩 9 二 坐标系与参数方程 在高中课程中的必要性和价值分析 证逻辑思维 有利于实现学生思维的飞跃 认识到数学知识的统一性 是培养学 生辩证唯物主义观点的好素材 本专题力求通过实际问题 深入浅出地帮助学生 理解数学概念 通过 思考 探究 信息技术应用 等 启发和引导学生的数 学思维 养成主动探索 积极思考的好习惯 4 文化价值 坐标法思想是1 7 世纪数学家笛卡尔 费马提出来的 坐标法思想是近代数 学发展的开端 已成为现代数学最重要的基本思想之一 坐标系是联系几何与代 数的桥梁 是数形结合的有力工具 利用它可以使数与形相互转化 如费马对曲 线感兴趣是始于研究希腊数学家阿波罗尼奥斯关于轨迹已失传的证明的补充 为 此约在1 6 2 9 年撰写了 平面和立体轨迹引论 一文 他断言 一个关于X Y 的 方程 如果是一次的 就代表直线轨迹 如果是二次的 就代表圆锥曲线 除了直 角坐标系外 还有斜坐标系 极坐标系 空间直角坐标系等等 在空间坐标系中 还有球坐标和柱面坐标 坐标系在几何对象和数 几何关系和函数之间建立了密 切的联系 这样就可以把对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关 系的研究了 用这种方法研究几何学 通常就叫做解析法 这种解析法不但对于 解析几何是重要的 就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的 坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题 先前被看作几何 学中的难题 一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了 坐标法的引入 人们审视 数的眼光有了变化 变量引出了函数概念 对函数的深入研究成为分析学产生和 发展的主要动力 应该指出无穷小分析的发明者欧拉就已运用了笛卡尔的方法 不管是关于曲线的切线或法线 切线在切点处的垂直线 的问题 还是关于函数的 极大或极小的问题 假如几何地来讨论它的话 关于曲线在其一点处的曲率半径 的问题等等 首先都要用笛卡尔的方法来讨论这些曲线的方程 然后再求出切线 的方程 法线的方程等等 所以无穷小分析 微分法和积分法如果没有解析几何 其发展的速度是难以想象的 坐标系从出现到发展应用 都是伴随着人类文化发展而发展的 还不断地丰 富着人类文化 促进着人类文化的发展 并在将来对社会文明的发展起着更大的 作用 1 0 三 坐标系与参数方程 专题教学设计的理念和理论基础 一 坐标系与参数方程 选修专题教学设计的理念 传统观点认为 教学就是教师教 学生学的活动 其教学设计只关注教师的 教学操作与学生的学习结果 课程标准 认为 数学教学是数学活动的教学 是师生之间 生生之间交往互动 共同发展的过程 它强调了数学教学是一种数 学活动 并且包含两层含义 数学活动是学生经历了数学化过程的活动 是学生 自主建构其数学知识的活动 课程标准 还认为 学生活动必须建立在学生 的认知发展水平和已有知识经验的基础之上 必须关注学生在活动中表现出来的 情感与态度 帮助学生认识自我 建立信心 必须创造一个有利于学生生动活泼 主动发展的教育环境 提供给学生充分发展的时间与空间 课程标准 对数学 教学的要求有着浓厚的建构主义背景 其教学策略更关注学生知识的建构方法和 过程 教师要努力创设有利于学生进行知识建构的情境 创设有助于学生自主学 习的情境 把重视结果的教学转变为重视过程的教学 引导学生进行各种活动 在活动中自主探索 合作交流 积极思索与操作实验 对数学进行再思考 基于以上的思考与认识 本研究进行 坐标系与参数方程 选修专题教学设 计的基本理念是 以人为本 以促进全体学生的全面发展为本 为每位学生 的发展创造合适的学习条件 促进学生的最佳发展 着眼于学生的学习愿望与能 力 依托他们已有的知识经验 生活经验 年龄特点和心理发展规律 力争为学 生的发展提供充足的空间和时间 引导学生生动活泼地主动学习 达到自我实现 的目的 在教学设计时力求做到如下几个方面的特点 1 亲和力 课题引入生动活泼 激发学生的兴趣和数学的美感 引发学生 的学习激情 尽量选取与内容密切相关的 典型的 丰富的和学生熟悉的素材 用生动活泼的语言 创设能够体现数学的概念 结论及其思想方法发生发展过程 的学习情景 使学生感到数学是自然的 水到渠成的 激发学生对数学的亲切感 引发学生 看个究竟 的冲动 兴趣盎然地投入学习 在体现知识归纳过程中的数学思想 解决各种问题中数学的力量 数学探究 和论证方法的优美和精彩之处 数学的科学和文化价值等地方 让学生与学生 杨建辉 新课程标准下教师教学设计中应具备的几种意识 J 北京 数学通报 2 0 0 4 2 I 4 1 1 三 坐标系与参数方程 专题教学设计的理念和理论基础 学生与老师之间多作交流 品味数学的无穷魅力 让我们的教学设计更具 亲和 力 启发学生更深入的数学思考 不断激发学习的激情 2 问题性 在教学设计中 根据课堂的实际情况以恰时恰点的问题引导数 学活动 培养问题意识 孕育创新精神 在知识形成的 关键点 上 在运用数 学思想方法产生解决问题策略的 关节点 上 在数学知识之间联系的 联结点 上 在数学问题变式的 发散点 上 在学生思维的 最近发展区 内 不是由 教师直接给出新的知识或是问题的答案 而是借助教学设计的 观察 思考 探究 等环环相扣而又层层递进的教学环节 引导学生的思考和探索活动 使 他们经历观察 实验 猜想 推理 交流 反思等理性思维的基本过程 切实改 进学生的学习方式 提问是创新的开始 看过问题三百个 不会解题也会问 通过恰时恰点地 提出问题 提好问题 使他们领悟发现和提出问题的艺术 引导他们更加主动 有兴趣地学 富有探索的学 逐步培养学生的问题意识 孕育创新精神 3 联系性 笛卡尔创立的解析几何的中心思想是通过平面直角坐标系将算 术 代数 几何统一起来 将任何数学问题化为一个代数问题 再把任何代数问 题归结到去解一个方程式 这样就可以用代数的方法研究曲线的性质 其基本思 想有两个要点 第一 在平面建立坐标系 一点的坐标与一组有序的实数对相对 应 第二 在平面上建立了坐标系后 平面上的一条曲线就可由带两个变数的一 个代数方程来表示了 从这里可以看到 运用坐标法不仅可以把几何问题通过代 数的方法解决 而且还把变量 函数以及数和形等重要概念密切联系了起来 通过本专题内容与已有解析几何知识的联系与启发 设计时要强调类比 推 广 特殊化 化归等思想方法的运用 学习多方面 多角度思考问题的方式 提 高数学思维能力 利用知识间的相互联系 使多种思想方法灵活应用 使学生对 数学思想方法能够融会贯通 应用自如 使学生体会数学探索活动的基本规律 认识 数 形 的联系 更进一步理解解析几何的精髓 二 坐标系与参数方程 专题教学设计的理论基础 1 建构主义理论 建构主义源自关于儿童认知发展的理论 其核心观点是 1 认识并非主体对 客观实在的简单的被动的反映 镜面式反映 而是一个主动的建构过程 这也 就是说 所有的知识都是建构出来的 2 在建构的过程中主体已有的认知结构发 挥了重要的作用 后者并处于不断的发展之中 建构主义学习理论突出强调了学生在学习中主体的自我建构作用 从而对传 郑毓信 粱贯成 认知科学建构主义与数学教育 M 上海 上海教育出版社 2 0 0 2 1 2 三 坐标系与参数方程 专题教学设计的理念和理论基础 统的教学观提出挑战 也重新去认识教师的作用 它认为 学习者不是知识的被 动接受者 而是知识的主动建构者 外界施加的信息只是通过学习者的主动建构 才能变成自身的知识 它要求学生 在学习过程中用探索法 发现法去建构知 识的意义 在意义建构过程中要求学生去搜集并分析有关的大量信息和资料 需要将新 旧知识联系起来 并对这种联系加以认真思考 教师从以教授知识 为主变为以指导 辅导学生的学习为主 由舞台的主角变成幕后导演 成为学生 建构意义的帮助者 指导者 这种帮助 指导作用主要体现在 激发学生兴趣 帮助学生形成持久的学习动机 通过创设符合教学