5.3任意角的三角函数.doc

5 3 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数 教学目标教学目标 知识目标 知识目标 理解任意角的三角函数的定义及定义域 理解三角函数在各象限的正负号 掌握界限角的三角函数值 能力目标 能力目标 会利用定义求任意角的三角函数值 会判断任意角三角函数的正负号 培养学生的观察能力 教学重点教学重点 任意角的三角函数的概念 三角函数在各象限的符号 特殊角的三角函数值 教学难点教学难点 任意角的三角函数值符号的确定 教学设计教学设计 1 在知识回顾中推广得到新知识 2 数形结合探求三角函数的定义域 3 利用定义认识各象限角三角函数的正负号 4 数形结合认识界限角的三角函数值 5 问题引领 师生互动 在问题的思考和交流中 提升能力 教学备品教学备品 教学课件 课时安排课时安排 3 课时 教学过程教学过程 5 3 15 3 1 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的概念 一 一 构建问题构建问题 探寻解决探寻解决 问题 在中 RtABCA sin cos tan 拓展 将放在直角坐标系中 使得点 A 与坐标原点重合 AC 边在轴的正半轴RtABCAx 上 三角函数的定义可以写作 sin cos tan 二 讲授新课二 讲授新课 概念 设是任意大小的角 点 为角的终边上的 P x y 任意一点 不与原点重合 点 P 到原点的距离为 那么角的正弦 余 22 rxy 弦 正切分别定义为 sin y r cos x r tan y x 说明 在比值存在的情况下 对角的每一个确定的值 按照相应的对应关系 角的正弦 余弦 正切 都分别有唯一的比值与之对应 它们都是以角为自变量的函数 分别叫做 正弦函数 余弦函数 正切函数 统称为三角函数三角函数 由定义可以看出 当角的终边在轴上时 终边上任意一点的 y 2 kk Z 横坐标的值都等于 0 此时无意义 除此以外 对于每一个确定的角 三个xtan y x 函数都有意义 概念 正弦函数 余弦函数和正切函数的定义域如下表所示 三角函数定义域 sin R cos R A B C a b c A B M c o s x Pr 横坐标 到原点的距离 2 a O P x y C y r x x y x y P x y O r M tan 2 kk Z 当角采用弧度制时 角的取值集合与实数集 R 之间具有一一对应的关系 所以三角函 数是以实数为自变量的函数 三 例题三 例题 例例 1 已知角的终边经过点 求角的正弦 余弦 正切值 2 3 P 分析分析 已知角终边上一点 P 的坐标 求角的某个三角函数值时 首先要根据关系式 求出点 P 到坐标原点的距离 然后根据三角函数定义进行计算 22 rxy r 解解 因为 所以 因此2x 3y 22 2 3 13r 33 3 sin 1313 y r 22 13 cos 1313 x r 3 tan 2 y x 四 练习练习 教材练习教材练习 5 3 1 已知角的终边上的点 P 的座标如下 分别求出角的正弦 余弦 正切值 3 4P 1 2P 13 22 P 5 3 2 各象限角的三角函数值的正负号 一 探索新知探索新知 由于 所以任意角三角函数的正负号由终边上点 P 的坐标来确定限 0r 当角的终边在第一象限时 点 P 在第一象限 所以 0 0 xy sin0 cos0 tan0 当角的终边在第二象限时 点 P 在第二象限 所以 0 0 xy sin0 cos0 tan0 当角的终边在第三象限时 点 P 在第三象限 所以 0 0 xy sin0 cos0 tan0 当角的终边在第四象限时 点 P 在第四象限 所以 0 0 xy sin0 cos0 tan0 归纳 任意角的三角函数值的正负号如下图所示 二 例题二 例题 例例 2 判定下列角的各三角函数正负号 1 4327 2 27 5 分析分析 判断任意角三角函数值的正负号时 首先要判断出角所在的象限 解解 1 因为 所以 4327 角为第一象限角 故 4327123607 sin43270 cos43270 tan43270 2 因为 所以 角为第三象限角 故 27 22 5 7 5 27 5 27 sin0 5 27 cos0 5 27 tan0 5 例例 3 根据条件且 确定是第几象限的角 sin0 tan0 分析分析 时 是第三象限的角 第四象限的角或的终边在 y 轴的负半轴上的界限sin0 角 时 是第二或第四象限的角 同时满足两个条件 就是要找出它们的公共tan0 范围 解解 取角的公共范围得为第四象限的角 三 练习三 练习 教材练习教材练习 5 3 2 1 判断下列角的各三角函数值的正负号 1 525 2 235 3 4 19 6 3 4 2 根据条件且 确定是第几象限的角 sin0 tan0 5 3 3 界限角的三角函数值 一 探索新知一 探索新知 探究 由于零角的终边与轴的正半轴重合 所以对于角终边上的任意点都有x P x y 因此 利用三角函数的定义 有 0 xr y 0 sin00 r cos01 r r 0 tan00 r 同样还可以求得 0 等三角函数值 2 3 2 2 x y xx yy sin cos tan 归纳 0 2 3 2 2 sin 010 10 cos 10 101 tan 0不存在0不存在0 二 例题二 例题 例例 4 求值 5cos1803sin902tan06sin270 分析分析 这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值 然后再进行代数运算 解解 5cos1803sin902tan