Fibonacci-k序列通项公式的矩阵证明方法.doc

Fibonaccik序列通项公式的矩阵证明方法刘耀斌（曲阜师范大学数学科学学院，山东曲阜273165）（山东省德州学院数学系，山东德州253023）摘要：给出了Fibonacci序列的一类推广，称之为Fibonacci-k序列，利用Fibonacci-k序列的递推关系，构造了Fibonacci-k相伴矩阵，借助于多项式理论和矩阵的对角化理论，证明了第个Fibonacci-k数可以用的个特征值进行表示关键词：Fibonacci-k序列；相伴矩阵；特征值；矩阵对角化中图分类号：O151 文献标示码：A1 引言Fibonacci序列源于中世纪意大利数学家Fibonacci提出的著名的兔子生殖问题，用现在的数学语言表示，Fibonacci序列就是满足以下具有初值的递推关系的数列： (1)和初值条件 (2)即下面的数列，其中任意一个数 称为Fibonacci数我们也称Fibonacci序列为经典Fibonacci序列文献1给出了Fibonacci序列的通项公式及许多性质，Fibonacci序列有很多推广形式，文献24中分别给出了一种推广，本文给出Fibonacci序列其中一种推广，我们称之为Fibonacci-k序列，并给出 Fibonacci-k序列通项公式的矩阵证明方法2Fibonacci-k序列的定义及符号说明定义1 对于任一给定的正整数，Fibonacci-k序列定义为：收稿日期：作者简介：刘耀斌（1968），男，山东德州人，在读硕士，讲师，主要从事代数学方面的研究 (3) (4)我们称是第个Fibonacci-k数显然根据定义可以知道，从开始，第个Fibonacci-k数是其前面相邻个数的和当时，Fibonacci-2序列就是经典的Fibonacci序列当时，Fibonacci-3序列为：于是为： 对于任意的，基本序列关系（4）可以用下列矩阵形式给出： (5)其中 (6) 对于任意一个Fibonacci-k序列都对应着一个上述形式的阶矩阵定义2形如（6）的矩阵称为Fibonacci-k相伴矩阵对于Fibonacci-k相伴矩阵，显然有因此，任意一个Fibonacci-k相伴矩阵都是可逆矩阵由（4），（5），通过递推可以得到： (7)对于下面使用的一些符号做一说明：表示数域F上 矩阵的集合，表示矩阵的逆矩阵，表示单位矩阵，表示主对角线元素分别为的对角矩阵，表示矩阵的行列式3Fibonaccik序列通项公式的矩阵证明文献给出了Fibonacci-k相伴矩阵的特征值的性质以及相邻的个Fibonacci-k数之间的关系，在本文中，我们利用矩阵的对角化理论推导Fibonacci-k序列的通项公式，也就是给出第个Fibonacci-k数与的特征值之间的关系定义3设，若存在可逆的矩阵，使得为对角矩阵，则称矩阵可对角化引理15 设，可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量引理25设，对应于不同特征值的特征向量是线性无关的引理35行列式 (8)定理1 Fibonacci-k相伴矩阵有个不同的特征值证明：对于Fibonacci-k相伴矩阵，其特征多项式为如下次多项式： (9)因此要证明有个不同的特征值，即证明没有重根令且是的根而不是的根，因此只需要证明 没有重根即可为此我们证明与互素，即证与没有公共根因为所以只有两个有理根（重根）与（单根），而的有理根只可能是，当时，因此与都不是的根，也就是与没有公共根，所以与互素，没有重根，故没有重根，因此Fibonacci-k相伴矩阵有个不同的特征值根据矩阵的对角化理论，由定理1我们可知Fibonacci-k相伴矩阵可以对角化定理2令是Fibonacci-k相伴矩阵的个互不相同的特征值，设（），令，则一定可逆，且有 (10)证明： 对于的任一特征值都满足，于是有也就是是对应于特征值的特征向量()，又互不相同，由引理2可知线性无关，亦即矩阵可逆，再由引理1,矩阵一定可以对角化，即定理得证由定理2，又可得到，对于任意的正整数，有，即 (11)定理3当时，有 (12)利用数学归纳法，经矩阵的乘法运算，可以得到定理3证明令，若用替换矩阵的第列，得到一个相应的矩阵，我们用定理4.对于给定的正整数，是Fibonacci-k相伴矩阵，记，则对于任意，有： (13)证明： 由(11)式，经过计算，我们比较与的第行，得到如下关于的线性方程组：显然，此方程组的系数行列式为行列式，又互不相同，由引理3，于是由Cramer法则，对于每一个，有于是对于任意，有：推论4.15对于给定的正整数，令是第个Fibonacci-k数，则 (14)证明：由定理4.13知道，于是在定理4.14中令，即可得到：推论得证对于经典Fibonacci序列，即，其相伴矩阵，对应的特征值，相应的矩阵，则与文献1中给出的公式是一致的参考文献：1劳会学.Fibonacci数列通项公式的四个直接证明J.数学的实践与认识，2007,8,180-1822Emrah Kilic.The Binet formula,sums and representations of generralized Fibonacci p-numbersJ.Europear Journal of combinatorics 29(2008)701-7113Erdal Karaduman.Anapplication of Fibonacci numbers in matricesJ.Applied Mathematics and Computation 147(2004)903-9084G.-Y.Lee,S.G.Lee,H.G.Shin.On the k-Generalized Fibonacci Matrix QkJLinear Algebra and its Applications251(997)73-885北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.7.6周持中斐波那契卢卡斯序列及其应用M长沙：湖南科学技术出版社，1993A proof of the general term of the Fibonaccik series using the matrix Yaobin Liu(School of Mathematical Sciences,Qufu Normal university, Qufu Shandong,273165)(Department of Mathematical Sciences, Dezhou university,Dezhou Shandong,253023)Abstract:In this article, we give a generalization of the Fibonacci series, which is called the Fibonacci-k series . Using the recursion relationship of the Fibonacci-k series, we establish the adjoint matrix of the Fibonacci-k series.We also prooves that the nth the Fibonacci-k number can be express