正弦,余弦等函数.doc

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数 sin=y/r 余弦函数 cos=x/r 正切函数 tan=y/x 余切函数 cot=x/y 正割函数 sec=r/x 余割函数 csc=r/y （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versin =1-cos 余矢函数 covers =1-sin 正弦（sin）:角的对边比上斜边 余弦（cos）:角的邻边比上斜边 正切（tan）:角的对边比上邻边 余切（cot）:角的邻边比上对边 正割（sec）:角的斜边比上邻边 余割（csc）:角的斜边比上对边编辑本段同角三角函数间的基本关系式： 平方关系： sin()+cos()=1 cos(a)=(1+cos2a)/2 tan()+1=sec() sin(a)=(1-cos2a)/2 cot()+1=csc() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A+B)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A+B)(1/2) cost=A/(A+B)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A+B)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos()-sin()=2cos()-1=1-2sin() tan(2)=2tan/1-tan() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin() cos(3)=4cos()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos 1-cos2=2sin 1+sin=(sin/2+cos/2) 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin()+sin(-2/3)+sin(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 证明： 左边=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （积化和差） =sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 证明: 左边=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx) =- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边 等式得证编辑本段三角函数的诱导公式 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上kZ)编辑本段正余弦定理 正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bc cosA 角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边 斜边与邻边夹角a sin=y/r 无论yx或yx 无论a多大多小可以任意大小 正弦的最大值为1 最小值为-编辑本段部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊角的三角函数: 角度a 0 30 45 60 90 120 180 1.sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 0 2.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -1 3.tana 0 3/3 1 3 无限大 -3 0 4.cota / 3 1 3/3 0 -3/3 /编辑本段三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+. 实用幂级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+. (|x|1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-x) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . ) (|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - . (x1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-x) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + . (|x|1) 在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 - 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+(n=0.) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/(.-) (f(x)dx an=1/(.-) (f(x)cosnx)dx bn=1/(.-) (f(x)sinnx)dx 三角函数的数值符号 正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负 余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负 正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负编辑本段三角函数定义域和值域 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1 tan(x)的定义域为x不等于/2+k,值域为R cot(x)的定义域为x不等于k,值域为R编辑本段初等三角函数导数 y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/(cosx) =(secx) y=cotx-y=-1/(sinx) =-(cscx) y=secx-y=secxtanx y=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx-y=1/1-x y=arccosx-y=-1/1-x y=arctanx-y=1/(1+x) y=arccotx-y=-1/(1+x)编辑本段反三角函数 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-/2y/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0y；反正切函数y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0y。 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于