安徽农业大学线代作业本第二章习题答案.pdf

年级 专业 班级 学号 姓名 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算答案答案 1 设矩阵 320 432 421 A 132 140 321 B 试求A2 BA AB及BA 解 640 864 842 2A 252 372 702 BA 516 72010 5189 132 140 321 320 432 421 AB 17158 19104 1323 320 432 421 132 140 321 BA 2 计算下列矩阵的乘积 1 11 1 2 3 2 420 513 102 231 3013 0142 3 3 2 1 332313 232212 131211 321 x x x aaa aaa aaa xxx 解 1 11 22 33 11 1 2 3 2 17155 1356 420 513 102 231 3013 0142 3 3 2 1 332313 232212 131211 321 x x x aaa aaa aaa xxx 322331132112 2 333 2 222 2 111 222xxaxxaxxaxaxaxa 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 1 年级 专业 班级 学号 姓名 3 设矩阵 541 213 021 A 210 321 142 B 301 121 C 计算 1 AAB23 2 T CBA 解 1 531116 26349 15410 23 23EBAAAB 2 222 133 06 31 02 11 731 532 123 T CBA 4 设矩阵PQA 其中 3 1 2 1 1 3 2 1 QP 求 321 3 n n A 解 PQA 1 2 3 3 3 2 12 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 又3 3 2 1 3 1 2 1 1 QP 所以 QQPQPPPQPQPQA 3 3 个个1 nn n 1 2 3 3 3 2 12 3 1 2 1 1 333 111nnn APQ 5 设 2 2 2 2 2 2 2 2 A 求 2 A及 n2 A 解 AA2 11 11 22 22 2 1 11 11 11 11 2 1 2 11 11 22 2 2 1 2 12 2223n n n AA AAAAA 2 33 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 2 年级 专业 班级 学号 姓名 6 设BA 均为n阶方阵 且 2 1 EBA 证明 AA 2 成立的充要条件为EB 2 证明 充分性 若EB 2 则AEBEBBEBA 2 2 1 2 4 1 4 1 22 必要性 若AA 2 即 2 1 2 4 1 2 EBAEBBA 2 所以 2 1 2 4 1 EBEBB 2 化简得EB 2 7 证明 对于任意的nm 矩阵A AAT与 T AA都是对称方阵 证明 由于A为nm 矩阵 则 T A为mn 所以AAT为n阶方阵 T AA为m阶方阵 又AAAAAA TTTTTT 所以AAT为n阶对称方阵 同理 TTTTTT AAAAAA 所以 T AA为m阶对称方阵 8 设A B都是n阶对称阵 证明AB是对称阵的充要条件是BAAB 证明 由于A B都是n阶对称阵 则BBAA TT 充分性 若BAAB 则ABBAABAB TTT 必要性 若AB是对称阵 则ABAB T 所以BAABABAB TTT 9 求下列矩阵的逆阵 1 cossin sincos 2 121 011 322 解 1 因为01 A 所以A可逆 故 cossin sincos 1 2212 2111 1 AA AA AA A A 2 因为01 A 所以A可逆 故 461 351 341 1 A A A 10 解下列矩阵方程 1 95 53 43 21 X 2 234 311 111 012 112 X 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 3 年级 专业 班级 学号 姓名 解 1 因为 43 21 可逆 所以 32 11 95 53 13 24 2 1 95 53 43 21 1 X 2 因为03 111 012 112 所以 111 012 112 可逆 故 2158 366 3 1 033 232 101 234 311 3 1 111 012 112 234 311 1 X 11 设 7 100 04 10 003 1 A 若BAABAA 6 1 求矩阵B 解 因为0 A 所以A可逆 且 700 040 003 1 A 由BAABAA 6 1111 66 EABABAEA 又0 1 EA 所以EA 1 可逆 故 100 020 003 600 030 002 6 6 1 11 EAB 12 设方阵A满足OEAA 2 证明A和EA 可逆 并求 1 A及 1 EA 证明 由EEAAOEAA 2 所以A可逆 且EAA 1 又由E EA EAOEAA 3 2 2 所以EA 可逆 且 3 2 1 EA EA 13 设A为 3 阶方阵 且 2 1 A 求A2 1 5 2 AA 解 422 3 AA 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 4 年级 专业 班级 学号 姓名 E AE A AAAA A AAA AA 5 2 1 2 5 2 1 5 2 5 2 1 1 1 1622 2 5 2 1 2 EEE 14 设矩阵 2200 0200 0034 0043 A 求 8 A 及 4 A 解 将矩阵分块为 2 1 AO OA A 其中 34 43 1 A 22 02 2 A 所以 1688 21 88 10 425 A A A A 由于 250 025 34 43 34 43 2 1 A 所以 2 2 22 1 4 1 250 025 250 025 250 025 AA 同理 1664 016 48 04 48 04 22 2 4 2 AA 故 166400 01600 00250 00025 2 2 4 2 4 14 AO OA A 15 设 33 ij aA 010 100 001 1 P 100 010 011 2 P 求 2009 2 2008 1 APP 解 33313231 23212221 13111211 333231 232221 131211 2009 2 2008 1 100 010 011 aaaa aaaa aaaa aaa aaa aaa APP 16 设矩阵 02301 08523 57032 73812 A 求A的标准形 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 5 年级 专业 班级 学号 姓名 解 02420 53630 71210 02301 A 00000 00100 00010 00001 00000 10000 01210 02301 所以A的标准形为 00000 00100 00010 00001 17 用初等变换法求下列矩阵的逆阵 1 753 532 310 2 6183 3422 4083 2121 解 1 因为0 A 所以A可逆 2 14 34 1100 2 34 94 1010 121001 2 34 94 1010 121001 2 14 34 1100 230110 02 102 52 31 001310 100753 010532 001310 EA 所以 2 14 34 1 2 34 94 1 121 1 A 2 因为0 A 所以A可逆 10102100 01021220 00132320 00012121 10006183 01003422 00104083 00012121 E A 11051000 321100100 2 7212 230010 843240001 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 6 年级 专业 班级 学号 姓名 所以 1105 32110 2 7212 23 84324 1 A 18 用初等变换法解下列矩阵方程 1 设 111 122 214 A 13 22 31 B 求X使BAX 2 设 101 110 011 A 且AXAX 2 求X 解 1 因为0 A 所以A可逆 故BAX 1 111230 44300 13111 13111 22122 31214 BA4 3 43 4100 9 89 25010 9 59 10001 3 43 4100 111230 13111 1B AE 4 所以 1212 825 510 9 1 1B AX 2 因为0 EA2 所以EA2 可逆 故AEAX 1 2 101101 110110 000111 101101 110110 011011 AEA42 011100 101010 110001 101010 110001 011100 所以 011 101 110 1 AEAX2 19 用初等变换求下列矩阵的秩 线性代数作业线性代数作业 第二章 第 页共 8 页 7 年级 专业 班级 学号 姓名 1 28112 71524 42312 2 341417191 1663111 104260 10021 解 1 210200 15100 42312 28112 71524 42312 A 00000 15100 42312 所以2 AR 2 351417210 156390 104260 10021 341417191 1663111 104260 10021 A 00000 00100 52130 10021 002400 00000 52130 10021 所以