黄冈中学高考数学典型例题30---概率

第 1 页 共 8 页 黄冈中学 高考数学典型例题详解 概率 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容 .要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 . 难点磁场 ( )如图，用 A、 B、 C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、 N2，当元件 A、 B、 C 都正常工作时，系统 N1正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时，系统 N2正常工作 .已知元件 A、 B、 C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90，分别求系统 N1， N2正常工作的概率 P1、 P2. 案例探究 例 1 ( )有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的频率数如下： 10， 15 4 30， 35) 9 15， 20) 5 35， 40) 8 20， 25) 10 40，45) 3 25， 30) 11 (1) 列出样本的频率分布表 (含累积频率 )； (2) 画出频率分布直方图和累积频率的分布图 . 第 2 页 共 8 页 命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 . 知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 . 错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 . 技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 . 解： (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 总计 频数 4 5 10 11 9 8 3 50 频率 0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1 累积频率 0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下： 例 2 ( )某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量，它的分布列如下： 1 2 3 12 第 3 页 共 8 页 P 121121121 121设每售出一台电冰箱， 电器商获利 300 元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用 100 元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？ 命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题 . 知识依托：期望的概念及函数的有关知识 . 错解分析：在本题中，求 Ey 是一个难点，稍有不慎，就将产生失误 . 技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题 . 解：设 x 为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑 1 x 12 的情况，设电器商每月的收益为 y 元，则 y 是随机变量 的函数且 y=xxxxx),(100300,300 ,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为： Ey=300x(Px+Px+1+ +P12)+ 300 100(x 1) P1+ 2 300 100(x 2) P2+ + 300(x 1) 100 Px 1 =300x(12 x+1)121+ 121 3002 )1(1 0 02 )1( xxxx =325( 2x2+38x) 由于 x N,故可求出当 x=9 或 x=10 时，也即电器商月初购进 9 台或 10 台电冰箱时，收益最大 . 锦囊妙记 本章内容分为概率初步和随机变量两部分 .第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验 .第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 . 涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 . 主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 . 第 4 页 共 8 页 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )甲射击命中目标的概率是21，乙命中 目标的概率是31，丙命中目标的概率是41.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 ( ) 10 7 D . 54C. 32 B . 43A.2.( )已知随机变量 的分布列为： P( =k)=31,k=1,2,3,则 P(3 +5)等于 ( ) A.6 B.9 C.3 D.4 二、填空题 3.( )1 盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取 1 个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数 的期望 E =_. 4.( )某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出 4 人参加某项活动，这 4 人恰好来自不同组别的概率是 _. 三、解答题 5.( )甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率 . 6.( )已知连续型随机变量 的概率密度函数 f(x)=2 021 1 0xxaxx (1)求常数 a 的值，并画出 的概率密度曲线； 第 5 页 共 8 页 (2)求 P(1 23). 7.( )设 P 在 0,5上随机地取值，求方程 x2+px+214p=0 有实根的概率 . 8.( )设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作 .若一周 5 个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少？ 参考答案 难点磁场 解：记元件 A、 B、 C 正常工作的事件分别为 A、 B、 C，由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1)因为事件 A、 B、 C 是相互独立的，所以，系统 N1 正常工作的概率P1=P(A B C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1正常工作的概率为 0.648 (2)系统 N2正常工作的概率 P2=P(A) 1 P( CB ) =P(A) 1 P(B )P(C ) =0.80 1 (1 0.90)(1 0.90) =0.792 故系统 N2正常工作的概率为 0.792 歼灭难点训练 一、 1.解析：设甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B，丙命中目标为事件 C，则目标被击中的事件可以表示 为 A+B+C，即击中目标表示事件 A、 B、C 中至少有一个发生 . 第 6 页 共 8 页 .41)411)(311)(211()(1)(1)(1)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP故目标被击中的概率为 1 P(A B C )=14341答案： A 2.解析： E =(1+2+3)31=2， E 2=(12+22+32)31=314 D =E 2 (E )2=314 22=32. D(3 +5)=9E =6. 答案： A 二、 3.解析：由条件知， 的取值为 0， 1， 2， 3，并且有 P( =0)=43CC11219 , 3.02201322092449143022012CCC)3(,22092CCC)2(,4492CCC)1(412193331219232121913EPPP 答案： 0.3 4.解析：因为每组人数为 13，因此，每组选 1 人有 C113 种方法， 所以所求概率为 P=4524113C)C( . 答案：4524113C)C( 三、 5.解： (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A，“乙射击一次击中目第 7 页 共 8 页 标”叫做事件 B.显然事件 A、 B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是 P(A B) =P(A) P(B)=0.6 0.6=0.36 答：两人都击中目标的概率是 0.36 (2) 同 理 ， 两 人 各 射 击 一 次 ， 甲 击 中 、 乙 未 击 中 的 概 率 是P(A B )=P(A) P(B )=0.6 (1 0.6)=0.6 0.4=0.24 甲未击中、乙击中的概率是 P(A B)=P(A )P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件 A B 与 A B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是 P(A B )+P(A B)=0.24+0.24=0.48 答：其中恰有一人击中目标的概率是 0.48. (2) 两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率 P=P(A B)+ P(A B )+P(A ) B =0.36+0.48=0.84 答：至少有一人击中目标的概率是 0.84. 6.解： (1)因为 所在区间上的概率总和为 1，所以21(1 a+2 a) 1=1, a=21概率密度曲线如图： (2)P(1 23)=9323)121(21 7.解：一元二次方程有实数根 0 而 =P2 4(214P)=P2 P 2=(P+1)(P 2) 第 8 页 共 8 页 解得 P 1 或 P 2 故所求概率为 P=535,0 ),21,(5.0 的长度 的长度8.解：以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数，则 X B(5， 0.2)，于是 X有概率分布 P(X=k)=Ck5 0.2k0.85 k,k=0,1,2,3,4,5. 以 Y 表示一周内所获利润，则 Y=g(X)=3 22 01 50 10XXXX若若若若Y 的