机械系统动力学习题2010.pdf

解 设滑块阻力产生的等效力矩为 ed M 由等效力矩公式 11 cos mn j k ekkj kj v MFM 可得 1 D edD V MF i 解 设工作阻力 C F产生的等效力矩为 ec M 集中质量m产生的等效力矩为 em M 所以 1 c ecC V MF i 11 1 cos em l Mmg ii 机械系统动力学习题2010 解 设滑轮的半径为 R 质量 m 被位移的同时 滑轮转过的角度为 a 滑轮的转动惯量为 J 选广义坐标 m 的位移为 x 设滑轮中心位移为 y 则 x 2y 2Ra 向 m 上等效 222 2 1111 2222 e m xmxM yJ a 所以 3 8 e mmM 22 11 222 e x K xK 所以 4 e K K 所以 固有频率 2 83 e n e KK w mmM 解 设圆盘转过的角度为 a 圆盘中心移动的位移为 x 转动惯量为 J 则 ra x 向圆盘上等效 222 111 222 e m xm xJ a 所以 3 2 e mm 22 11 22 e K xKx 所以 固有频率 2 3 e n e KK w mm 解 设 1 mm与碰撞的时刻为0t 时刻 取 1 mm与及 K 组成的新系统的静平衡位置为坐标原点 1 mm与的位移 x 为广义坐标 则新系统可视为单自由度无阻尼自由振动 故有一般运动方程 0 0cos sin nn n x xxtt 根据题设条件 质量 m 从高度 h 处自由落下 落在 1 m上 由动能定理 有 2 1 2 mghmv 由动量定理 有 10 mvmm v 联立上两式 求得 1 mm与共有的初速度 00 0 2 m vghx mm 初始位移 1 0 0 mm x txg K 新系统固有频率 1 n K mm 综上 系统由此发生的无阻尼自由振动为 1 111 2 cossin n mghmmKK xgtt Kmmmmmm 解 扭转刚度 p GJ K l 其中 p J为截面极惯性矩 44 322 p dr J 由上图可知 轴 AB 与 BC 串联后再与 DE 并联 故等效刚度 ABBC eDE ABBC KK KK KK 依题 44949 0 040 02 80 100 0240 10 22 519409 0 60 6 stAl ABABAB KKK 同理 可得 16087 BC K 20117 DE K 所以 519409 16087 2011735720 519409 16087 e K 单位 N m radi 解 先广义坐标为 1 m的位移为 x 则 2 m的位移为 y b x a 向 1 m上等效 2222 12 1111 2222 e m xm xIm y 因为摇杆的转动角度 为小角度 有tan x a 联立上两式 得出 2 12 22 e Ib mmm aa 又 22 1 11 22 e K xK y 所以 2 1 2 e b KK a 所以固有频率 2 1 22 12 e n e Kb K w ma mIb m 解 碰撞后质量往 x 方向运动 取碰撞位置为原点 则有 m xC x Kx 可求得该方程的解为简谐函数 所以设sin n xAw t 固有频率 40820 4 5 2000 n k w m rad s 阻尼比 1960 0 108 22 200040820 c CC Cmk 小于 1 所以碰撞后的系统可视为低阻尼状态 碰撞初始位置 0 0 0 0 xxv 所以 0 00 0 2 0 082 1 n d n xw xx Ax w w m 2 22 1 4 1 d d n T w w s 所以在相撞后的约0 35 4 d T s 达到最大振幅0 07 n w t Ae m 解 首先对单位进行统一 0 1 kfg9 81N F35 7 10486 115 4 N KN m CN s m i 取平衡位置为坐标原点 取向下为 x 轴 则有 m xF tKxC x 即 0 sinm x KxC xFwt i 解该方程 得sin xAwt 又 10 7980 15 2 45 4 n K w m rad s 当频率比1 n w w 时 系统共振 所以共振频率15 2 n ww rad s 共振振幅 0 222 0 02 F A KmwCw s 阻尼比0 0836 2 n C mw 所以动态放大因子 222 1 5 98 1 2 解 依题意 该系统为简谐激励下的振动系统 故有振动方程 0 sinm x cx kxFFt 该系统的瞬态响应为 sin nt d x tAet 其中 2 1 dn 2 n C m n K m 由初始条件 求解待定系数 0 0 x t 可以得出sin0A 0 0 x t 可以得出sincos0 nd AA 联立上两式 得出0 2 A 所以系统的瞬态响应为 0 x t 解 由题可知 激振函数 0 0 1 QQ 且系统为无阻尼单自由度系统 故响应 0 0 0 1 1 sin t n n QQxQtd m 联立上两式 即得 0 0 0 1 1 sin t n n x tQtd m 整理 求积分得 0 2 00 sin 1 cos n n nnn Qtt x tt m 当 0 tt 时 0 0 0 11 sinsin tt nn t nn xFtdFtd mm 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 11 sin0 sin sinsin cos tt nn t nn n n nn Q ttdtd mtm tttQ t mt 解 该隔振系统为被动融振 记地面简谐振动方程为 3 2 10sinYt 则 3 2 10cosYt 由 3 2 100 1256Y 得出62 8Hz 频率比 62 8 16 522 3 8 n 所以振动幅度非常小 所以 仪器的最大位移 即受迫振幅 22 22 222 1 2 1 2 16 520 125 20 03 1 16 25 20 125 16 52 1 2 100 1 0 015 100 98 5 r XYum 所以 隔振效率 1 T 解 依题 由牛顿定律可得 1121 2221 m xK xx m xK xx 整理得 1112 2212 0 0 m xKxKx m xKxKx 记 12 9 72 11 36 KK abcd mm 故系统的固有频率 22 1 2 10 5410 54 22 nn adad bc 所以 12 0 4 59 nn 主振型 2 1 1 1 n a u b 2 2 2 1 16 n a u b 解 取质量块 M 与摆杆连接点为坐标原点 M 的位移 x 及摆杆的摆角 为广义坐标 初始位置为 x 0 及0 则摆杆上的质量 m 的任一时刻位置坐标为 sin cos xll 所以 系统的势能为 2 1 1 cos 2 UKxmgl 系统的动能为 2 22 11 22 xy TM xm vv 其中 对 m 的坐标示求一次导数 即为 m 的速度 xy v v 即 cos sin x y vx l vl 故系统动能 22 2 11 cos 22 TMm xm xlml 拉氏函数 22 22 111 cos 1 cos 222 LTUMm xm xlmlKxmgl 所以 2 cos cos sinsin L Mm x ml x L Kx x L mlx ml L mlxmgl 代入 0 0 dLL dtx x dLL dt 得出 2 2 sincos0 cossinsinsin0 Mm x mlmlKx mlmlx mlxmlxmgl 因为是微小振动 所以sin cos1 可略去 2 sinml 项 故可得到系统的运动微分方程 2 0 0 Mm x mlKx ml x mlmgl 2 计算系统的固有频率 设振动方程组的解为 sin sinxAtBt 将其代入微分方程 得 22 22 0 AMmKml Blg 并令 A B 的系数行列式为零 可得到频率方程 42 0MlklMm gkg 整理 得 42 1 0 nn Mm gkg k MlMl 解 取质量块的位移 12 x x为广义坐标 对 12 m m分别进行受力分析 根据牛顿定律 有 112211 1 2222132 m xKxxK x m xKxxK x 整理 得 1112122 2221232 0 0 m xKKxK x m xK xKKx 记 23 1222 1122 2 2 KKKKKKKKKK abcd mmmmmmmm 1 系统的固有频率 22 1 2 33 222 nn adadK bc m 即 22 12 3333 22 nn KK mm 主振型 2 1 1 2 2 2 13 0 366 2 13 1 366 2 n n a u b a u b 振型图如右图所示 2 若在 2 m上作用简谐力 20sin pPt 对 12 m m进行受力分析 有 1112122 222123220 0 sin m xKKxK x m xK xKKxpPt 令该微分方程组的解为 1122 sin sinxBt xBt 并代入上两式 得 2 12 2 120 2 0 22 KmBkB KBKmBP 解该方程组 得 0 1 222 2 0 2 222 2 22 2 2 22 KP B KmKmK KmP B KmKmK 所以 受迫响应为 0 1 222 sin 2 22 KP xt KmKmK 及 2 0 2 222 2 sin 2 22 KmP xt KmKmK 解 取摆杆摆角 123 为广义坐标 如上右图所示 用速度合成法则 将该三级摆的三摆杆分别进行速度分析 图解如下 对速度进行矢量和运算 即 11 2 21 3 32 vv vvl vvl 可得 22 1 1 22 2222222 1212121212 221 22222 33321 322321 2cos 2 2cos vl vlllll vvlv ll 因此 系统的动能为 2 2 22 112321 2 ml T 系统的势能为 123 3 1 cos 2 1 cos 1 cos Umglmglmgl 所以拉氏函数为 22 22 112321 123 3 1 cos 2 1 cos 1 cos 2 ml LTUmglmglmgl 将拉氏函数代入分别以 123 为广义坐标的拉格朗日方程 1 1 2 2 3 3 0 0 0 dLL dt dLL dt dLL dt 可以求得 3 个分别对应于 123 坐标的运动方程 222 123 1 222 123 2 222 123 3 323sin0 222sin0 sin0 mlmlmlmgl mlmlmlmgl mlmlmlmgl 该方程组即为该三级摆的运动方程 解 取系统在静平衡位置作为广义坐