概统 6-3.ppt

3区间估计 单个正态总体的置信区间两个正态总体均值及方差的置信区间单侧置信区间 但是点估计也有明显的缺点 就是没有提供关于估计精度的任何信息 前面我们讨论了参数的点估计 这一估计方法是用一个统计量作为未知参数的估计 一旦给定了样本观测值就能算出的估计值 在使用中较为直观 也较为方便 为了解决上面的问题 我们常需要估计出未知参数的一个可能范围 这个范围在数轴上就是一个区间 我们希望给出两个区间端点 都是随机变量 用此两端点所构成的区间 是随机区间 来估计参数 使这个随机区间以比较大的概率套住的真值 这就是区间估计的问题 设总体分布中含有一个未知参数 由样本 确定的两个统计量及 对于给定的 满足 称随机区间为的置信水平为的置信区间 分别称为置信下限和置信上限 若越小 就越大 覆盖住的可能性就越大 同时 区间的长度就越大 区间过大 区间估计没意义了 正确提法 在给定的较大的置信水平下 使 称为置信水平 平均长度最小的区间估计为最好的区间估计 一单个正态总体的置信区间 1 单个正态总体均值的置信区间 设总体 为的样本 给定 置信水平为 分别为样本均值和样本方差 1 已知 由是的一个无偏估计 又由第二章知 由正态分布表可知 对给定的 一定存在 一个值 使 即的分布不依赖于任何未知参数 有 这样 我们就得到了关于的一个置信水平为 的置信区间 2 未知 方差未知时 考虑能否用的无偏估计 来代替参数 由第五章定理四知 因而对给定的置信水平 可由分布表查出 分位数的数值 根据分位数的定义可知 于是关于的一个置信水平为的置信区间为 即 例1某工厂生产滚珠 从某日生产的产品中随机抽取9个 测得直径 单位 mm 如下 14 614 715 114 914 815 015 115 214 8 设滚珠直径服从正态分布 若 求直径均值的置信水平为0 95的置信区间 1 已知滚珠直径的标准差 2 未知标准差 解 2 单个正态总体方差的置信区间 未知 设样本来自正态总体 均未知 由于样本方差是的无偏估计 随机变量 由 可得的置信水平为的 置信区间为 例2设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命服从正态分布 其中未知 寿命试验 测得寿命数据如下 单位 h 1502148014851511151415271603148015321508149014701520150514851540 求灯泡寿命方差的置信水平为0 95的置信区间 解 今随机的抽取16只灯泡进行 二两正态总体均值及方差的置信区间 1 两个总体均值差的置信区间 设正态总体与相互独立 和分别为总体的样本 分别为总体和的样本均值 分别为总体和的样本方差 构造总体均值差的区间估计 1 均为已知 因为 所以 统计量 得关于的置信水平为的置信区间为 2 但未知 由 式得 用的无偏估计 代替 得关于的置信水平为的置信区间为 未知 从而 例3有二个建筑工程队 第一对有10人 平均每人每月完成50m2的住房建筑任务 标准差S1 6 7m2 第二对有12人 平均每人每月完成43m2的住房建筑任务 标准差S2 5 9m2 试求的置信水平为0 95的置信区间 解 相互独立 2 两个总体方差比的置信区间 设正态总体与 和分别为总体的样本 分别为总体和的样本均值 分别为总体和的样本方差 构造总体方差比的区间估计 均未知 由第五章定理七知 的分布已知且其中不含任何未知参数 由 得关于的置信水平为的置信区间为 例4某自动机床加工同类套筒 假设套筒的直径服从正态分布 现从两个不同班次A班和B班的产品中各抽取5个套筒 测得它们的直径 单位 cm 分别为 A班 2 066 2 063 2 068 2 060 2 067B班 2 058 2 057 2 063 2 059 2 060 试求两班所加工的套筒直径的方差比的置信水平为0 90的置信区间 解 三单侧置信区间 在上述讨论中 对于未知参数 我们给出两个统计量 得到的双侧置信区间 而在一些实际问题中 我们只关心置信上限或下限 例如 对于元件 设备的寿命问题 希望平均寿命越长越好 而不能过短 所以我们关注的是平均寿命的下限 此时置信区间可采用的形式 与之相反 对产品的次品率等问题 我们关注的是它的上限 置信区间可设为的形式 这就引出了单侧置信区间的概念 设总体分布中含有一个未知参数 由样本 确定的两个统计量及 对于给定的 满足 称随机区间为的置信水平为的置信区间 分别称为置信下限和置信上限 称为置信水平 若越小 就越大 覆盖住的可能性就越大 同时 区间的长度就越大 区间过大 区间估计没意义了 正确提法 在给定的较大的置信水平下 使平均长度最小的区间估计为最好的区间估计 设是来自总体的一个样本 对于 给定的若统计量满足 称随机区间是的置信水平为的单侧置 信区间 称为的置信水平为的单侧置信下限 信区间 又若统计量满足 称随机区间是的置信水平为的单侧置 称为的置信水平为的单侧置信上限 例5从一批灯泡中随机地抽取20只做寿命试验 计算得 h 设灯泡寿命服从正态分布 求灯泡寿命的平均值的置信水平为0 95的单侧置信下限与单侧置信区间 解 本节结束 谢谢 例1某工厂生产滚珠 从某日生产的产品中随机抽取9个 测得直径 单位 mm 如下 14 614 715 114 914 815 015 115 214 8 设滚珠直径服从正态分布 若 1 已知滚珠直径的标准差 2 未知标准差 求直径均值的置信水平为0 95的置信区间 解 由题可知 1 计算得 从而关于的一个置信水平为0 95的置信区间为 2 关于的一个置信水平为0 95的置信区间为 例2设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命服从正态分布 其中未知 今随机的抽取16只灯泡进行 寿命试验 测得寿命数据如下 单位 h 1502148014851511151415271603148015321508149014701520150514851540 求灯泡寿命方差的置信水平为0 95的置信区间 解 的置信水平为0 95的置信区间为 例3有二个建筑工程队 第一对有10人 平均每人每月完成50m2的住房建筑任务 标准差S1 6 7m2 第二对有12人 平均每人每月完成43m2的住房建筑任务 标准差S2 5 9m2 试求的置信水平为0 95的置信区间 解 设两个总体相互独立且服从正态分布 查分布表得 因为 所以关于的置信水平为0 95的置信区间为 解 例4某自动机床加工同类套筒 假设套筒的直径服从正态分布 现从两个不同班次A班和B班的产品中各抽取5个套筒 测得它们的直径 单位 cm 分别为 A班 2 066 2 063 2 068 2 060 2 067B班 2 058 2 057 2 063 2 059 2 060 试求两班所加工的套筒直径的方差比的置信水平为0 90的置信区间 查表得 于是 得的置信水平为0 90的置信区间