概率论概念题.doc

一 、概念题1、样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间。2、随机事件：试验E的样本空间S的子集，称为E的随机事件。3、必然事件：在每次试验中总是发生的事件。4、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件。5、概率加法定理：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)6、概率乘法定理：P(AB)=P(A)P(BA)7、随机事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B)则事件A,B是相互独立的。8、实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。9、条件概率：设A，B是两个事件，且P(A)0，称P(BA)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。10、全概率公式：P(A)= 11、贝叶斯公式： P(BiA)= 12、随机变量：设E是随机试验，它的样本空间是S=e。如果对于每一个eS,有一个实数X(e)与之对应，就得到一个定义的S上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。13、分布函数：设X是一个随机变量，是任意实数，函数F()=P(X)称为X的分布函数。14、随机变量的相互独立性：设(,)是二维随机变量 ，如果对于任意实数,，有F(,)=Fx()Fy()或 f (,)= fx()fy()成立。则称为X与Y相互独立。方差：EX-E()2数学期望：E()= (或)= 15、简单随机样本：设X是具有分布函数F的随机变量，若1 , 2 , n 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称1 , 2 , n为从总体X得到的容量为n的简单随机样本。16、统计量：设1 , 2 , n是来自总体X的一个样本，g(1 , 2 , n)是1 , 2 , n的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g(1 , 2 , n)是一统计量。17、2(n)分布：设1 , 2 , n是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量2= , 服从自由度为n的2分布，记为22 (n).18、无偏估计量：若估计量=(1 , 2 , n)的数学期望E()存在，且对任意 (H)有E()=,则称是的无偏估计量。二、填空题1、随机事件A与B恰有一个发生的事件A B 。2、随机事件A与B都不发生的事件是。3、将一枚硬币掷两次，观察两次出现正反面的情况，则样本空间S= （正正）（正反）（反正）（反反） 。4、设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.5，P(B)=,则 P(A B)=P (AB)=0。5、随机事件A与B相互独立，且P(A)= ,P(B)=，则P（A B）= 。 6、盒子中有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是。X0 1 2 概率1/2 1/4 1/4X0 1 2P1/2 1/4 1/47、设随机变量X的分布律为 则P(X 1)=。 。8、若X的分布函数是F(x)=P(X x) , x (-,+) 则当x1 x2 时，P（x1 0 ,称为概率的乘法定理。41、设X1，X2是任意两个随机变量，则E（X1X2）=E(X1)E（X2）42、随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间。43、已知Xb（n ,p),则p(X=k)=, k=0,1,2,n 。44、随机事件A与B至少一个发生的事件是AB 。45、假设检验可能犯的两类错误是取伪错误和弃真错误。46、设总体XN（, 2 ），则样本平均值服从的分布是N（, )47、在每次试验中总是发生的事件称为必然事件 。48、设X与Y是两个随机变量，则E（aX+bY） = aE(X)+bE(Y) (a,b为常数)。49、设总体XN(, 2 )， x1, x2 , xn 是X的样本，S2是样本方差，则 服从的分布是 x2(n-1).50、随机事件A与B至少一个发生的概率为P（AB） 。51、随机事件A与B都发生的事件为AB 。52、设随机变量X的分布函数为F(x)，则当x1 x2 时，P（x1 0，则P(BA) = 称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。55、若估计量 =（x1, x2 , xn ）的数学期望存在,且对任意H有E()=，则称是的无偏估计量 。56、随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间。57、设x1, x2 , xn 是总体X的一个样本，g(x1, x2 , xn )是x1, x2 , xn 的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数 ，则称g(x1, x2 , xn )是一个统计量。58设A与A互为对立事件，则A= 。59.设A、B、C是三个随机事件，试用A、B、C表示A、B、C至少有一个发生（ABC）。160.设A、B、C是三个随机事件，用A、B、C表示三个事件都不发生（）。161.设袋中有9个球，其中4个白球，5个黑球，现从中任取两个，两个球均为白球的概率是（1/6）162.设A、B、C为二相互独立事件P（AB）=0.6，P（A）=0.4，P（B）=（1/3）。63.设总体服从正态分布N（、2 ）方差2 未知对假设 HO: =O; Hl: O，进行假设检验时通常采用的统计量是（）64.设总体N（、2 ），其2已知，未知，,为来自总体容量为n的样本，对于给定的显著性水平（01），参数的置信度为1-的置信区间是（）。65.设,是来自总体的样本，总体的期望未知，对总体方差D（）进行估计时，常用的无偏估计量是（）。66.设N（1、2 ），YN（2、2 ），与 独立，1与2均未知，2已知，对假设O：1 -2=；Hl: 1-2 进行检验时，通常采用的统计量是（(其中n1 和n2为和的容量)67.设总体N（、2 ），,是来自总体 容量为n的样本，、2 均未知，则总体方差2的矩估计量2=（）.68.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率时（1/2）。69.设,是来自总体的一个样本，则样本方差是（）670.设,是来自总体的一个样本，则样本K阶原点矩是（）。70.若为随机变量，a、b为常数，且D（）存在，则D（a + b）= （a2 D（）71.若随机变量，E（）= a，c为常数，则E（c ）=（c a）。472.设随机变量具有数字期望E（）和方差D（），则对任意正数有P -E（）（）。73.设（、）的联合概率密度为P（x,y），则（、）的联合分布函数F（x,y）= ( ). 74.设随机变量,相互独立，并且分布函数分别为F1 （x）,F2（x）,Fn(x),极大值=max,的分布函数F max（x）= F1（x）F2（x）.Fn(x) 75.设（、）服从二维正态分布N（1、2、1、2 、），则与相互独立的充要条件是=0。76.已知N（、2 ），则P（）=(-x+)。（其中P（x）为概率密度函数）。77.若F（x,y）为二维随机变量（、）的联合分布函数，则F（+、+）=1 78.已知随机变量服从正态分布N（0.8，0.0032）则N（0.1）379.已知随机变量概率密度是P（x）=则E（）=0 79.若二维随机变量（、）在平面区域D中的密度为P（x,y）=，其中A为D的面积，则称（、）在区域D上服从（均匀分布）80.已知随机变量分布函数分F（）= 求E（）和D（）。81.设A、B为随机事件，当 AB 时，P（B-A）=（P（B）-P（A）。182.若服从参数为的指数分布，则D（）=83.设两个相互独立的随机变量与，D（）=4，D（）=2，D（3-2）=D（3x）+D（-2y）=32D（x）+（-2）2D（y）=94+42=44。84已知服从参数为2的泊松分布，即P（X=K）= （K=0，1，2。）E（x）=D（x）=2，则E（3-2）=3E（x）-2=32-2=4。二、单选1、若事件A与B互不相容，则有（B: P(AB)=P(A)+P(B)）2、若事件A与B互为对立事件，则有（C :P(A)=1-P(B)）3、将一枚均匀的硬币掷三次，恰有一次出现正面的概率是（D:3/8） 4、设A，B，C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4，且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)= 1/8 , 则A,B,C至少有一个发生的概率是（B:5/8）5、三人独立地去破译一份密码，他们能译出的概率分别为1/5，1/4，1/3，那么能将此密码译出的概率为（D:3/5）。 6、设X的分布率为 X0 1 2概率1/2 1/4 1/4，则P(X1)的值是（B：3/4） 7、设X在（0.5）上均匀分布,则P(2 X 3)的值是（D：1/5）。 8、下列结果中，构成概率分布的是(B：X0 1 2P0.3 0.2 1/2 9、若X的概率密度是f( X )=则其分布函数是(B:F(x). 10、已知XN（0，4），则X的概率密度函数是（C:）。 11、设Xb（3，0.5），则P(X1)的值是（D:0.975）。 12、已知(X ,Y )的分布律为01101/621/121/631/21/12则X的边缘分布律为（C:X01P7/125/12）。 13、设连续型随机变量X的分布函数为F(x )= 则A的值为（C:0.5）。14、设X的分布律为 X01P0.20.8则E(X)=(C:0.8)15、已知Xb（n, 0.2）则E(X) = (D:0.2n) 16、设X为随机变量，则E(3X-5)=(A:3E(X)-5)17、设XN（,2 ）则E(X) = (D:) 18. 设XN（,2 ）则E(X) =（A：2）19. 设X在（0，5）上服从均匀分布，则E(X) =（B：25/12）20.设X为随机变量，则D(4X-3) =（D：16D（X）21.设总体XN（,42 ）未知，x1, x2 , xn是来自总体X的样本，则的1-置信区间是（C：，）22. 设总体X的数学期望E(X)=，未知x1, x2 , x3是来自总体X的容量的3的样本，则下面的统计量中是的无偏估计量的是（A：1/4x1+1/4 x2+1/4 x3）23.假设检验中可能犯的第类错误，也称弃真错误，犯此类错误的概率是（D：P（拒绝HoHo为真）24.设正态总体XN（,2 ），2 未知，S2是样本平均值和样本方差，给定显著性水平，检验假设Ho：2= ，H1：2应使用的检验用统计量是（A：）。25.设Xb（3，0.2），则P（X=0）=（B：0.512）26.设XN（0，1），其分布函数（x）=P（X x），x（-，+），（0）=（C：0.5）27.已知X在（0，5）上服从均匀分布，则E（X）=（D：2.5）28.设X，Y是任意两个随机变量，E（3X-5Y）=（C：3E（X）-5E（Y）。29.全概率公式是（A：P（A）=30.方差的定义是（D：EX-E（X）2）31.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取3件，则3件中恰有一件次品的概率为（C：3/5）。32. 设X在（a,b）上均匀分布，则f(x)=（D：）33.假设检验可能犯的两类错误是（B：弃真和取伪）。34.已知X的分布律为X01P1-pP=（B：P）35.当X与Y相互独立时，下述四项中正确的是（C：F（x，y）=FX（x）F y(y)）.36.已知X在（0，5）上均匀分布，则P（2 x5）的值是（B：3/5）。37. 已知XN（3，22），则P（2 x5）=（C：（1）-（-0.5）。38. 已知（X，Y）的联合分布律为X、Y0111/81/421/43/8则X的分布律为（B：X01P3/85/839.已知随机变量X的概率密度为f(x)=，则P（23)（D：0.5）63.6只晶体管中有4只正品和2只次品，从中任取3只，则3只中恰有1只次的概率为（D：3/5）64.已知事件A与B互不相容，则下述四项中正确的是（D：P（AB）=0）。65. 已知（X，Y）的联合分布律为X12311/61/61/1223/121/61/6则X的边缘分布律是（A：X123P5/121/33/1266.设XN（3，22），且P= (xc)=p(xc)则C的值是（A：3）67. 已知总体XN（，2），X1,X2，.，Xn是来自X的样本，则服从的分布是（A：正态分布）68. 已知（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=,则边缘概率密度为（C：fx(x)=）).69.随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3则E（X）的值是（D：-0.2）70. 已知（X，Y）概率密度f(x,y)= 则（X，Y）的联合分布函数为（A：f(x,y)= ）.71. 已知XN（0，1），Yx2(n)X，Y相互独立，则t=服从的分布为（C：t（n）分布）72.当总体分布类型已知，但含未知参数，由样本估计参数的问题是（B：参数估计问题）73.假设检验的理论依据是（A：实际推断原理）。74.盒中有3个正品和2个次品，从中任取1个，则取到次品的概率是（D：2/5）。75.二维随机变量（X，Y）的分布函数为（C：F(x,y)=P(X x,Y,y)）.76.X在（0，5）上服从均匀分布，则E（X）=（D：=2.5）.77.标准正态分布N（0，1）的概率密度函数未（B：）78.设X，Y是任意两个随机变量，则E（X+Y）=（A：E（X）+E（Y）79. 已知X1,X2，.，Xn是总体X的一个简单随机样本，则=(C: )80.实际推断原理是指（B：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的）81.已知Xb（n，p），则P（X=k）=（D：）82.设总体X的数学期望E(X)=，未知x1, x2 是容量为3的样本，则下述统计量中是的无偏估计量的是（D：1/2X1+1/2X2）。83.已知总体XN（，2），S2是样本均值和样本方差，则服从的分布的统计量是（D：）84.设X为随机变量，则方差D（2X+3）的值为（B：4D（X）85.正态总体XN（,2 ），未知，给定显著性水平，检验假设Ho：2= ，H1：2应使用的检验用统计量是（A：）86.设事件A与B相互独立，则有（B：P（AB）=P（A）P（B）。87.已知X的分布律为X012P0.10.50.4则P（X=2）=（D：0.4）88. （X，Y）是二维随机变量，其分布函数为（A：F(x,y)=P(X x,Y,y)）89.设随机变量Xb（3，0.1），则P（X0）=（C：1）90. 已知XN（，2），X1,X2，.，Xn是X的样本，则样本平均值服从的分布是（A：正态分布）。91. 已知X与Y相互独立，下述四项中正确的是（C：F（x，y）= FX（x）F y(y)）92.掷一颗骰子，观察出现的点数，则出现小于3的点数的概率为（C：1/3）。93.已知P（A）=0.2，P（B）=0.3，P（AB）=0，则AB）的值是（B=0.5）。94.已知X在（a,b）上均匀分布，则X的概率密度函数为（D：）95. 已知XN（，2），则X的概率密度函数为（D：）f(x)=96. 设X，Y是随机变量，则E（3X+Y）=（B：3E（X）+E（Y）97已知10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取1只，做不放回抽样，则两只都是正品的概率为（D：28/45）。98.已知是总体X的样本方差，则S2的表达式是（D：）99. 设XN（0，1），其分布函数为（x），则（0）=（D：0.5）。100.已知事件A与B相互独立，则有（D:P（AB）=P（A）P（B）。101.袋中装有4个正品和3个次品，从中任取1个，则取到次品的概率是（C：0.43）。102.设A、B、C是三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，则A、B、C至少一个发生的概率是（C：5/8）。103. 设XN（，2），其分布函数为则F()=（C：1/2）。104.已知X的分布律为X012P0.30.20.5则P（X=0）=（D：0.3）。105. 已知Xb（3，0.2），则P（X=1）=（B：0.384）。106.概率的乘法定理是（P（AB）=P（A）P（B/A）。107.已知X的概率密度为f(x)=则其分布函数为（D：108.设X，Y为随机变量，则E（X+3）=（D：E（X）+3）。109. 设XN（0，1），则D（X）=（B：1）。110.设随机变量Xb（3，0.1）则P（x0）=（C：1）。111.设总体XN（0，1），X1,X2，.，X8是来自总体X的样本，则X12,X22，.，X82服从的分布是（C：X2（8）分布）。112.设总体的均值为与方差2都存在，且均为未知参数，,是的一个样本，记 则总体方差2的矩估计为（B:）113.设随机变量与相互独立，且N（1、 ），N（2、 ），则Z=-仍服从正态分布，且（A：ZN（1 +2，12+22）114设随机变量N（0，1）Y=2+1则服从（C：N（1，1）115.设0P（A）1，0P（B）0，则P（C：D）118.设离散型随机变量的分律为P（=K）=bK（K=1，2，。）且b0，则为（C：）。A：0的任意实数 B：=b+1 C： D：119.设服从二项分布B（n,p）则有（D：E（2-1）=4 np（1- p）A：E（2-1）=2np B：E（2+1）=4 np（1- p）+1 C：E（2+1）=4 np+1 D：E（2-1）=4 np（1- p）120.设与为两个随机变量，则（A：E（+）=E（）+E（）是正确的。A：E（+）=E（）+E（） B：D（+Y）=D（）+D（）C：E（）=E（）E（） D：D（Y）=D（）D（）121.设A和B是任意两个不相容事件，且概率都不为0则下列结论中肯定正确的是（D：P（A-B）=P（A）A：与不相容 B：与相容 C：P（AB）=P（A）P（B） D：P（A-B）=P（A）三、计算题0XY1121/81/41/43/80XP13/85/81YP23/85/8-2XP00.40.30.3219.已知XN（，2），求E（X），D（X）？解：E（X）=（设为t）=E（X2）=(设=t=2D（X）= E（X2）-E（X）2=2+2-2=220.在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值落在50.8到53.8之间的概率？解：P（50.80为已知，1，为未知参数。（2） f(x)=,0x，其中0，为未知参数。解：似然函数为L（）=ncn(X1,X2，.，Xn)-(+1)似然方程为令=0解得=（2）似然函数为L（）=(X1,X2，.，Xn)似然方程为令=0解得=23.设总体为随机变量X，且E（X）=（常数，未知），试说明样本平均值是的无偏估计量解：E（）=E（= n=即是的无偏估计量。24.设总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知，X1,X2，.，Xn是一个样本，试求a,b的矩估计量？解：1=E（X）=（a+b）/22=E（X2）= （b a）2/12+（a +b ）2/4令解得a=-b=A1+25.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1，6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，5.0设干燥时间总体服从正太分布N（，2），求的置信度为0.95的置信区间（1）若由以往经验知=0.6（小时）；（2）若为未知？解：（1）已知时，置信区间为现在=6.00.21.96所以置信区间为（5.608，6.392）（1） 未知时，置信区间为现在=6.0所以置信区间为（5.5584，6.4416）。26.随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11（m/s），设炮口速度服从正太分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信区间为0.95的置信区间？解：由题条件，标准差的置信度0.95的置信区间为，代入有关数值，查表计算得（7.43，21.1）27. 设总体X服从区间，2上的均匀分布，其中0是未知参数,X1、X2，.Xn是来自总体的容量为n的样本，即 ，证明： 为的无偏估计。解：X的分布概率密度函数 证毕28. 在长为a的线段上任取两点M与N，试求线段MN长度的数学期望。解：29.设随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为求Z=X-Y的概率密度函数。解：30.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量在（0，4）内的概率分布密度函数，求：解：y0，为未知参数，求的极大似然估计值？令36.设随机变量X的概率密度函数为求X的分布函数F（x）.解：当x0,为未知参数，求的矩估计量。解: 41.已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4 P（AB）=1/6 P（AC）=P（BC）=0 求A、B、C均不发生的概率？解：P（）=P（A+B+C）=1-P（）=1-P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=1-3/4-1/6=7/1242.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，丙的命中率为0.7，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率？解：设A为“甲投中”、B为“乙投中”、C为“丙投中”，则 P（A）=0.9 P（B）=0.8 P（C）=0.7，显然A、B、C相互独立P（AB+BC+CA+ABC）=P（AB+BC+CA）=P（AB）+P（BC）+P（CA）-2P（ABC）=P（A）P（B）+P（B）P（C）-P（C）P（A）-2P（A）P（B）P（C）=0.90243.某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（1）第一次抽次品？（2）第一次和第二次都抽到次品？（3）第一、二、三次都抽到次品？解：设A、B、C分别表示第一次、二次、三次抽到次品则P（A）=5/100 P（AB）=P（A）P（B/A）=5/1004/99=1/495P（ABC）=P（A）P（B/A）P（C/AB）=5/1004/993/98=1/1617044.若A B，A C，P（A）=0.9 P（+）=0.8 求P（A-BC）=？解：因为A B，A C 所以A BCP（A-BC）=P（A）-P（BC）=P（A）-1-P（C）=P（A）-1-P（+）=0.9-（1-0.8）=0.745.对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为90%，当机器发生某一故障时，产品的合格率为30%，每天早上机器干动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得良好的概率是多少？解：设A为“产品合格” B为“机器调整良好”则P（A/B）=0.9 P（A/B）=0.3 P（B）=0.75所求的概率为P（B/A）=P（B）P（A/B）/P（B）P（A/B）+P（B）P（A/B）=0.750.9/0.750.9+0.250.3=0.946.房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号码，求（1）最小号码为5