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奥林匹克数学竞赛 同于问题 讲课人 马银冰 在平时解题中 我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题 如 现在时刻是7时30分 再过52小时是几时几分 我们知道一天是24小时 也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时 这样就在7时30分的基础上加上4小时 就是11时30分 很明显这个问题的着眼点是放在余数上了 1 同余的表达式和特殊符号7 3 2 110 3 3 17和10同除以3 余数都是1 把除数3称作 模3 7 10对于模3同余 记作 7 10 mod3 读作同余 一般地 两个整数a和b 除以大于1的自然数k所得的余数相同 就称a b对于模k同余 记作 a b modk 2 同余的性质 1 a a modk 每个整数都与自身同余 称为同余的反身性 2 若a b modk 则b a modk 同余的对称性 3 若a b modk b c modk 则a c modk 同余的传递性 4 若a b modk c d modk 则a c b d modk 同余的可加性 可减性 a c b d modk 同余的可乘性 5 如果a b modk 那么kI a b a b的差一定能被k整除 例1 用412 133和257除以一个相同的自然数 所得的余数相同 这个自然数最大是几 分析与解答 假设这个自然数是a 因为412 133和257除以a所得的余数相同 所以al 412 133 al 412 257 al 257 133 说明a是以上三个数中任意两数差的约数 要求最大是几 就是求这三个差的最大公约数 155 124 279 31所以a最大是31 例2 249 388 234除以19 余数是几 分析与解答 如果把三个数相乘的积求出来再除以19 就太麻烦了 利用同余思想解决就容易了 249 2 mod19 249除以19商0余19 388 8 mod19 234 6 mod19 249 388 234 6 8 2 mod19 同余的可乘性 6 8 2 1 mod19 同余的传递性 所以249 388 234 1 mod19 例3 在求51173526被7除的余数时 小明这样做 51173526 51126 2126 5所以余数是5刘老师说 小明的算法不仅正确 而且巧妙迅速 你知道其中的道理吗 分析与解答 看了下面的算式 你就会明白的 51173526 51100026 70000 3500 49000000 2100026 70000 3500 49000000 2100000 70000 3500 21 5 7的倍数 5 小明用的这种方法 有比较广泛的应用 常称之为 拼凑法 在解关于用几除的余数的问题时 常常 拼凑 出显然是几的倍数的部分 对于这部分 简直可以 置之不理 这样可以使解答过程简化 练习 如果某数除482 992 1094都余74 这个数是几 某数除680 970和1521 余数相同 这个
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