动点通关51题(含答案).pdf

第 1页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 动点通关动点通关 51 题 含答案 题 含答案 1 如图 已知 是数轴上的三点 点 表示的数是 h h 1 写出数轴 两点表示的数 2 动点 分别从 同时出发 点 以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动 点 以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 设运动时间为 t h 秒 为何值 时 原点 与 三点中 有一点恰好是另两点所连线段的中点 2 如图 在四边形 中 h h h tan h h 分别 是 上的动点 点 与 不重合 且 h 1 求 的长 2 若 h 求 的长 3 动点 从原点出发向数轴负方向运动 同时 动点 也从原点出发向数轴正方向运动 秒后 两点相距 点 个单位长度 已知动点 的速度比是 速度单位 单位长度 秒 1 求出两个动点运动的速度 并在数轴上标出 两点从原点出发运动 秒时的位置 2 若 两点从 1 中的位置同时向数轴负方向运动 几秒时 原点恰好处在两个动点的 正中间 3 若 两点从 1 中的位置同时向数轴负方向运动时 另一动点 也同时从 点位置出 发向 点运动 当遇到 点后 立即返回向 点运动 遇到 点后又立即返回向 点运动 如此往返 直到 追上 时 点 立即停止运动 若点 一直以 h 单位长度 秒的速度匀 速运动 那么点 从开始运动到停止运动 行驶的路程是多少个单位长度 4 如图 已知抛物线 h t 氠 的图象经过 th th 两点 1 求抛物线的表达式 第 2页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 若 t 是抛物线上位于第一象限内的点 是线段 上的一个动点 不与 重合 过点 分别作 交 于 交 于 求证 四边形 是矩形 连接 线段 的长是否存在最小值 若存在 求出 的最小值 若不存在 请说明理 由 5 如图 已知抛物线 h t 氠 h的对称轴为直线 h 且抛物线经过 th ht 两点 与 轴的另一个交点为 1 若直 h 经过 两点 求直线 和抛物线的表达式 2 在抛物线的对称轴直线 h 上找一点 使点 到点 的距离与到点 的距离之和最 小 求出点 的坐标 3 设点 为抛物线的对称轴直线 h 的一个动点 求使 为直角三角形的点 的坐 标 6 如图 在平面直角坐标系中 以点 ht 为端点的射线 轴 点 是射线 上的一个动 点 点 与点 不重合 在射线 上取 h 作线段 的垂直平分线 垂足为 且 与 轴交于点 过点 作 交射线 于点 连接 设点 的横坐标为 1 用含 的式子表示点 的坐标为 2 当 为何值时 h h 7 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 h t 氠 的图象与坐标轴交于 三点 其中点 的坐标为 ht 点 的坐标为 th 第 3页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 1 求该二次函数的表达式及点 的坐标 2 点 的坐标为 ht 点 为该二次函数在第一象限内图象上的动点 连接 以 为邻边作平行四边形 设平行四边形 的面积为 求 的最大值 在点 的运动过程中 当点 落在该二次函数图象上时 请直接写出此时 的值 8 已知抛物线 h h 与直线 h 交于两点 与 轴交于点 h 轴 1 求抛物线的解析式 2 设 是线段 上异于 的两个动点 点 在点 的右上方 h 过点 作 轴的平行线 交抛物线于 设点 的横坐标为 的面积为 把 表示为 的 函数 并求自变量 的取值范围 3 在 2 的条件下 过点 作 轴的平行线 交抛物线于 试问能不能适当选择点 的 位置 使 h 如果能 求出此时点 的坐标 如果不能 请说明理由 9 如图 在 Rt 中 h h h cm h cm 动点 分别从点 同时出发 均以每秒 cm 的速度分别沿 向终点 移动 同时动点 从点 出发 以每秒 cm 的速度沿 向终点 移动 连接 设移动时间为 单位 秒 h t t 点 第 4页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 1 当 为何值时 以 为顶点的三角形与 相似 2 是否存在某一时刻 使四边形 的面积 有最小值 若存在 求出 的最小值 若不 存在 请说明由 10 若两条抛物线的顶点相同 则称它们为 友好抛物线 抛物线 h 与 h 为 友好抛物线 1 求抛物线 的表达式 2 点 是抛物线 上在第一象限的动点 过 作 轴 为垂足 求 的最 大值 3 设抛物线 的顶点为 点 的坐标为 t 问在 的对称轴上是否存在点 使 线段 绕点 逆时针旋转 h 得到线段 且点 恰好落在抛物线 上 若存在 求 出点 的坐标 若不存在 请说明理由 11 如图 在长方形 中 h h 是 边的中点 是线段 上的动点 将 沿 所在直线折叠得到 连接 求 的最小值 12 分别是不等边三角形 即 的边 的中点 是 所在平 面上的动点 连接 点 分别是 的中点 顺次连接 1 如图 当点 在 的内部时 求证 四边形 是平行四边形 第 5页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 若四边形 是菱形 则 与 应满足怎样的数量关系 直接写出答案 不需要说 明理由 13 如图 已知抛物线 h t 氠 经过 th th ht 三点 直线 是抛物线的对 称轴 1 求抛物线对应的函数表达式 2 设点 是直线 上的一个动点 当 的周长最小时 求点 的坐标 3 在直线 上是否存在点 使 为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合条件的点 的坐标 若不存在 请说明理由 14 已知反比例函数 h 与 h th 是 轴上的一个动点 过 作 轴的垂线分别交函数 h 与 h 的图象于点 过 作 轴的垂线交函数 h 的图象于点 连接 记 的面积为 1 如图 当 h h h 时 h 2 如图 当 h h t h 时 求 的值 第 6页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 3 当 t h 且 t 时 求 的值 用含 的代数式表示 15 已知数轴上两点 对应的数分别是 为数轴上三个动点 点 从 点 出发速度为每秒 个单位 点 从点 出发速度为 点的 倍 点 从原点出发速度为每秒 个单位 1 若点 向右运动 同时点 向左运动 求多长时间点 与点 相距 点 个单位 2 若点 同时都向右运动 求多长时间点 到点 的距离相等 16 如图所示 四边形 中 h h h 点 h h 点 是边 上的动点 点 是射线 上一点 线段 和线段 交于点 且 h 1 求线段 的长 2 如果 是以 为腰的等腰三角形 求线段 的长 17 如图 在 中 点 是 边上的一个动点 过点 作直线 设 交 的 平分线于点 交 的外角平分线于点 1 求证 h 2 当点 运动到何处时 四边形 是矩形 为什么 3 进行怎样的变化才能使 边上存在点 使四边形 是正方形 为什么 18 已知 上两个定点 和两个动点 与 交于点 1 如图 求证 h 第 7页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 如图 若 h 是 的直径 求证 h 3 如图 若 点 到 的距离为 求 的长 19 如图 Rt 中 h h h cm h cm 动点 从点 出发 在 边上 以每秒 cm 的速度向定点 运动 同时动点 从点 出发 在 边上以每秒 cm 的速度向 点 运动 运动时间为 秒 h t t h 连接 1 若 与 相似 求 的值 2 连接 若 求 的值 20 已知 点 是平行四边形 对角线 所在直线上的一个动点 点 不与点 重合 分别过点 向直线 作垂线 垂足分别为点 点 为 的中点 1 当点 与点 重合时如图 求证 h 第 8页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 直线 绕点 逆时针方向旋转 当 h h 时 如图 图 的位置 猜想线段 之间有怎样的数量关系 请写出你对图 图 的猜想 并选择一种情况给予证明 21 如图所示 在矩形 中 h h 点 是 边的中点 分别是 边上 的动点 且始终保持 h 连接 设 h 1 求证 四边形 为平行四边形 2 连接 的面积 会随 的变化而变化吗 若不变 求出 的值 若变 化 求出 关于 的函数表达式 3 在同一平面内 是否存在点 使得以 为顶点的四边形是以 为边的菱形 若存在 求出所有满足条件的 的值 若不存在 请说明理由 22 数学课后 老师布置了一道课后练习 如图所示 已知在 Rt 中 h h h 于点 点 分别在 和 上 h 于点 求证 1 理清思路 完成解答 本题证明的思路可以用下面的框图表示 第 9页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 根据上述思路 请你完整地写出本题的证明过程 2 特殊位置 证明结论 若 平分 其余条件不变 求证 h 3 知识迁移 探索新知 若 是一个动点 当点 运动到 的中点 时 满足题中条件的点 也随之在直线 上 运动到点 请直接写出 与 的数量关系 不必写解答过程 23 如图所示 已知正方形 的边长为 为 边的中点 为 边上的一动点 动点 从 点出发 沿 运动到达点 若设点 经过的路程为 的面积为 1 求当点 在 上时 与 之间的关系式 2 当 h 时 求 的值 24 如图 在梯形 中 h h 点 h h 点 动点 从 点出 发沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动 动点 同时从 点出发沿线段 以 每秒 个单位长度的速度向终点 运动 设运动的时间为 秒 1 求 的长 2 当 时 求 的值 3 试探究 为何值时 为等腰三角形 25 操作 将一把三角尺放在边长为 的正方形 上 并使它的直角顶点 在对角线 上滑 动 直角的一边始终经过点 另一边与射线 相交于点 探究 设 两点间的距离为 1 点 在 上时 线段 与线段 之间有怎样的大小关系 试证明你观察得到的结论 如图 第 10页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 点 在线段 上滑动时 是否可能成为等腰三角形 如果可能 指出所有能使 成为等腰三角形的点 的位置 并求出相应的 的值 如果不可能 试说明理 由 图 图 为备用图 26 如图 在平面直角坐标系中 直线 h h 与 轴 轴相交于 两点 点 的坐标 是 t 连接 1 求过 三点的抛物线的表达式 并判断 的形状 2 动点 从点 出发 沿 以每秒 个单位长度的速度向点 运动 同时 动点 从点 出发 沿 以每秒 个单位长度的速度向点 运动 规定其中一个动点到达端点时 另一 个动点随之停止运动 设运动时间为 s 当 为何值时 h 27 如图 抛物线 h 点 点 与 轴相交于点 与 轴相交于点 抛物线的对称轴 与 轴相交于点 是抛物线在 轴上方的一个动点 点 不在同一条直线上 分 别过点 作直线 的垂线 垂足分别为 连接点 1 求点 的坐标 直接写出结果 并证明 是等腰三角形 2 能否为等腰直角三角形 若能 求此时点 的坐标 若不能 说明理由 3 若将 是抛物线在 x 轴上方的一个动点 点 不在同一条直线上 改为 是抛 物线在 轴下方的一个动点 其他条件不变 能否为等腰直角三角形 若能 求此时 点 的坐标 直接写出结果 若不能 说明理由 第 11页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 28 如图 已知抛物线经过原点 顶点为 t 且与直线 h 交于 两点 且 1 求抛物线的表达式及点 的坐标 2 若点 为 轴上的一个动点 过点 作 轴与抛物线交于点 则是否存在以 为顶点的三角形与 相似 若存在 请求出点 的坐标 若不存在 请说明理由 29 如图 已知抛物线 h t 氠 经过 的三个顶点 其中点 ht 点 t h 轴 点 是直线 下方抛物线上的动点 1 求抛物线的表达式 2 当点 为抛物线的顶点时 在直线 上是否存在点 使得以 为顶点的三角形 与 相似 若存在 求出点 的坐标 若不存在 请说明理由 30 如图 Rt 中 h h h cm h cm 点 从点 出发 在 边上以 每秒 cm 的速度向定点 运动 同时动点 从点 出发 在 边上以每秒 cm 的速度向点 运动 运动时间为 sh t t h 连接 1 若 与 相似 求 的值 第 12页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 连接 若 求 的值 31 已知 是一元二次方程 h h 的两个实数根 且 t 抛物线 h t 氠 的图象过点 th ht 如图所示 1 求这个抛物线的表达式 2 点 是直线 上的一个动点 点 不与点 和点 重合 过点 作 轴的垂线 交抛 物线于点 点 在直线 上 距离点 为 个单位长度 设点 的横坐标为 的面积为 求出 与 之间的函数关系式 32 如图 1 抛物线 h 点 与 轴交于点 th 和 th 点 在点 的 左侧 与 轴交于点 连接 1 求 的值 2 如图 2 点 分别为线段 和线段 上的动点 连接 是否存在这样的点 使 为等腰三角形 为直角三角形同时成立 若存在 求出点 的坐标 若 不存在 请说明理由 33 如图 在平面直角坐标系中 直线 h 分别与 轴 轴相交于 两点 点 ht 是 轴负半轴上的一个动点 以 为圆心 为半径作 1 若 与 轴有公共点 求 的取值范围 2 连接 若 h 试判断 与 轴的位置关系 并说明理由 3 当 与直线 相切时 求 的值 34 如图 点 在线段 上 点 在 同侧 h h h h 第 13页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 1 求证 h 2 若 h h 点 点 为线段 上的动点 连接 作 交直线 于点 i 当点 与 两点不重合时 求 的值 ii 当点 从 点运动到 的中点时 求线段 的中点所经过的路径 线段 长 直 接写出结果 不必写出解答过程 35 如图 抛物线经过点 th th ht 1 求抛物线的解析式 2 是抛物线在 轴下方的部分上的一个动点 过点 作 轴 垂足为 是否存在 点 使得以点 为顶点的三角形与 相似 若存在 请求出符合条件的点 的坐标 若不存在 请说明理由 3 抛物线在直线 下方的部分上有一点 若使得 的面积最大 求出点 的坐标 36 如图 在矩形 中 h tan h 以 为坐标原点 所在直线为 轴 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 设 分别是线段 上的动点 它们同时出发 点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 运动 点 以每秒 个单位长度的速度从点 向 点 运动 设运动时间为 秒 1 求直线 的解析式 2 用含 的代数式表示点 的坐标 第 14页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 3 当 为何值时 为直角三角形 37 如图 抛物线 h t 氠 与直线 h 交于 两点 其中点 在 轴上 点 的坐标为 t 1 求抛物线的解析式 2 点 是 轴右侧的抛物线上一个动点 过点 作 轴于点 交直线 于点 若 点 的横坐标为 设线段 的长度为 求 与 之间的函数关系式 并直接写出自变 量 的取值范围 3 在 2 的条件下 是否存在点 使 h 点 若存在 求出点 的坐标 若不存在 请说明理由 38 如图 已知抛物线经过原点 顶点为 t 且与直线 h 交于 两点 1 求抛物线的解析式及点 的坐标 2 求证 是直角三角形 3 若点 为 轴上的一个动点 过点 作 轴与抛物线交于点 则是否存在以 为顶点的三角形与 相似 若存在 请求出点 的坐标 若不存在 请说明理由 39 已知 是 的直径 弦 垂足为点 点 为 上不与点 重合的一个动 点 连接 与 分别相交于点 连接 1 如图 1 求证 h h 2 如图 2 若 h 且 tan h 求证 h 第 15页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 3 如图 3 在 2 问的条件下 连接 延长 相交于点 连接 交 于点 若 h 求线段 的长 40 如图 在平面直角坐标系中 点 为坐标原点 直线 h h 与 轴交于点 与 轴交于点 过点 的抛物线 h t h 与直线 交于另一点 点 坐标为 t 1 求 的值 2 点 是射线 上的一个动点 过点 作 轴 垂足为点 在 轴上点 的右侧 取点 使 h 点 在 的延长线上取点 连接 已知 tan tan h 求线段 的长 3 在 2 的条件下 过点 作 使点 在直线 下方 且 h 连接 当以 的长为三边长构成的三角形面积是 点 时 在 轴左侧的抛物线上是 否存在点 连接 使得 与以 的长为三边长的三角形全等 若 存在 求出 点的坐标 若不存在 请说明理由 41 如图 在平面直角坐标系中 为坐标原点 抛物线 h 氠 经过 th ht 两点 与 轴交于另一点 直线 h 点 与 轴交于点 与 轴交于点 第 16页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 1 求抛物线的解析式 2 点 是第二象限抛物线上的一个动点 连接 过点 作 的垂线 在 上截取线段 使 h 且点 在第一象限 过点 作 轴于点 设点 的横坐标为 线段 的长为 求 与 之间的函数关系式 不要求写出自变量 的取值范围 3 在 2 的条件下 过点 作 交 的延长线于点 连接 点 为 的 中点 当直线 经过 的中点 时 求点 的坐标 42 在平面直角坐标系中 点 为坐标原点 抛物线 h t 与 轴交于点 点 在点 的左侧 与 轴正半轴交于点 点 为抛物线的顶点 抛物线的对称轴交 轴于点 1 如图 1 当 h 时 求抛物线的解析式 2 如图 2 连接 点 为 轴上方对称轴上一点 连接 当 h 时 求点 的纵坐标 第 17页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 3 在 1 的条件下 如图 3 点 在抛物线上 且点 与点 关于抛物线对称轴对称 过 点 作 轴的垂线 交 轴于点 点 为 轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点 射 线 交 于点 过点 作直线 直 分别交 轴于点 交抛物线对称轴于点 直 当 是以 为底的等腰三角形时 且 直 h 求线段 直 的长 43 如图 正方形 的边长为 cm 分别是 上的动点 且 h h h 1 求证 四边形 是正方形 2 试判断直线 是否经过一个定点 并说明理由 3 求四边形 面积的最小值 44 如图 已知点 的坐标为 th 直线 h 与 轴 轴分别交于点 和点 连接 顶点为 的抛物线 h t 氠 过 三点 第 18页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 1 请直接写出 两点的坐标 抛物线的解析式及顶点 的坐标 2 设抛物线的对称轴 交线段 于点 是第一象限内抛物线上一点 过点 作 轴 的垂线 交线段 于点 若四边形 为平行四边形 求点 的坐标 3 设点 是线段 上的一动点 过点 作 交 于点 点 从点 出发 以每秒 个单位长度的速度沿线段 向点 运动 运动时间为 秒 当 秒 为何值 时 存在 为等腰直角三角形 45 已知抛物线 h h 与 轴从左至右依次相交于 两点 与 轴相交 于点 经过点 的直线 h t 与抛物线的另一个交点为 1 若点 的横坐标为 求抛物线的函数解析式 2 若在第三象限内的抛物线上有点 使得以 为顶点的三角形与 相似 求 点 的坐标 3 在 1 的条件下 设点 是线段 上的一点 不含端点 连接 一动点 从点 出发 沿线段 以每秒 个单位的速度运动到点 再沿线段 以每秒 个单位的速度 运动到点 后停止 问当点 的坐标是多少时 点 在整个运动过程中所用时间最少 46 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究 已知 h 1 问题思考 第 19页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 如图 为线段 上的一个动点 分别以 为边在同侧作正方形 和正方形 当点 运动时 这两个正方形的面积之和是定值吗 若是 请求出 若不是 请求出这 两个正方形面积之和的最小值 分别连接 交 于点 当点 运动时 在 中 是否存在两个面积始终相等的三角形 请说明理由 2 问题拓展 如图 以 为边作正方形 动点 在正方形 的边 上运动 且 h 若点 从点 出发 沿 的线路 向点 运动 求点 从点 到点 的运动过程中 的中点 所经过的路径的长 如图 在 问题思考 中 若点 是线段 上的两点 且 h h 分别是边 的中点 请直接写出点 从点 到点 的运动过程中 的中点 所经过的路径的长及 的最小值 47 如图 1 在平面直角坐标系 中 抛物线 h 经过点 t 顶点为点 点 为 抛物线上的一个动点 是过点 ht 且垂直于 轴的直线 过 作 垂足为 连接 1 求抛物线的解析式 并写出其顶点 的坐标 2 当 点运动到 点处时 计算 h h 由此发现 填 t t 或 h 第 20页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 当 点在抛物线上运动时 猜想 与 有什么数量关系 并证明你的猜想 3 如图 2 设点 t 问是否存在点 使得以 为顶点的三角形与 相 似 若存在 求出 点的坐标 若不存在 说明理由 48 如图 在 Rt 中 h h h cm h cm 动点 从点 同时出发 均 以每秒 cm 的速度分别沿 向终点 移动 同时动点 从点 出发 以每秒 cm 的速度沿 向终点 移动 连接 设移动时间为 单位 秒 h t t 点 1 当 为何值时 以 为顶点的三角形与 相似 2 是否存在某一时刻 使四边形 的面积 有最小值 若存在 求 的最小值 若不存 在 请说明理由 49 如图 1 关于 的二次函数 h t 氠 经过点 th 点 ht 点 为二次函数的顶 点 为二次函数的对称轴 在 轴上 1 求抛物线的解析式 2 上是否存在点 到 的距离与到 轴的距离相等 若存在求出点 若不存在请说明 理由 第 21页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 3 如图 2 的左侧抛物线上是否存在点 使 h 若存在求出点 的坐标 若不存在请说明理由 50 如图 点 与点 的坐标分别是 th 点th 点 是该直角坐标系内的一个动点 1 使 h h 的点 有个 2 若点 在 轴上 且 h h 求满足条件的点 的坐标 3 当点 在 轴上移动时 是否有最大值 若有 求点 的坐标 并说明此时 最大的理由 若没有 也请说明理由 51 如图 在平面直角坐标系 中 抛物线 h t h 与 轴交于 两点 点 在点 的左侧 经过点 的直线 h t 与 轴负半轴交于点 与抛物线的另 一个交点为 且 h 1 直接写出点 的坐标 并求直线 的函数表达式 其中 t 用含 的式子表示 2 点 是直线 上方的抛物线上的动点 若 的面积的最大值为 点 求 的值 3 设 是抛物线的对称轴上的一点 点 在抛物线上 以点 为顶点的四边形能 否成为矩形 若能 求出点 的坐标 若不能 请说明理由 第 22页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 答案答案 第一部分第一部分 1 1 因为点 表示的数是 h h 且点 点 在点 左边 所以点 表示的数为 h 点 表示的数为 h h 即数轴上 点表示的数为 h 数轴上 点表示的数为 2 根据题意 秒后点 表示的数为 h 点 表示的数为 有以下三种情况 若点 是点 与点 的中点 则 h h h 解得 h 若点 是点 与点 的中点 则 h h 解得 h 点 若点 是点 与点 的中点 则 h h 解得 h 点 点 综上 当 的值为 点 点 点 时 原点 与 三点中 有一点恰好是另两点所连线段的中点 2 1 h 又 h h tan h h h sin h 点 h h h h h 2 作 于点 h h sin h 点 h h h h h h 又 h h h h h h 解得 h 或 h h 经检验 两个解均是原方程的解 3 1 设 点运动速度为 单位长度 秒 则 点运动速度为 单位长度 秒 第 23页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 由题意得 h 点 解得 h 点的运动速度是 单位长度 秒 点的速度是 单位长度 秒 2 设 秒后 原点恰好处在 的正中间 由题意得 h 解得 h 点 经过 点 秒后 原点恰处在 的正中间 3 设 追上 需时间 秒 则 h 点 解得 h 点s h 点 h hh 行驶的路程是 hh 个单位长度 4 1 图象过点 th th h h t 氠t h h t 氠t 解得 t h 氠 h t h 2 如图 过点 作 轴于点 把 t 代入 h 得 h 解得 h 或 h t 位于第一象限 t ht t ht t h 舍去 h 点 的坐标为 t h h h h h h h 点 第 24页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h h 点 h 点 h 点 h 点 h h h 四边形 是平行四边形 平行四边形 是矩形 存在 连接 四边形 是矩形 h 当 时 的值最小 t 的最小值是 的最小值是 5 1 依题意 得 t h t t 氠 h ht 氠 h t 解得 h t t h t 氠 h t 抛物线的表达式为 h 对称轴为直线 h 且抛物线经过 th th 把 th ht 分别代入直线 h 得 h ht h t 解得 h t h t 直线 的表达式为 h 2 设直线 与直线 h 的交点为 则此时 的值最小 把 h 代入直线 h 得 h t 即当点 到点 的距离与到点 的距离之和最小时 的坐标为 t 3 设 t 又 th ht h h h h h h 若点 为直角顶点 则 h 第 25页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 即 h h 解得 h 若点 为直角顶点 则 h 即 h h 解得 h 若点 为直角顶点 则 h 即 h h 解得 h h 综上所述 点 的坐标为 t 或 t 或 t 或 t 6 1 t 2 因为 是线段 的垂直平分线 点 在射线 上 h h 所以 h h h h h 所以 h h 因为 所以 h h 所以 h h 所以 h 因为 轴 所以 轴 则 h h 所以 h 所以 所以 h 即 h 所以 h 当 h h 时 点 在线段 上 因为 所以 所以 所以 h 所以 h 即 h h 解得 h 点 h 点 不合题意 舍去 所以当 h 点 时 h h 7 1 把 ht th 代入 h t 氠 得 氠 h t t 氠 h ht 解得 t h t 氠 h t 抛物线的表达式为 h 第 26页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 当 h h 时 h h 解得 h h 点的坐标为 th 2 连接 如图 设 t 四边形 h h h h h h 点t 当 h 时 的面积有最大值 最大值为 点 四边形 为平行四边形 又 h 的最大值为 点h 四边形 为平行四边形 h 点 向左平移 个单位 再向上平移 个单位得到点 点 向左平移 个单位 再向上平移 个单位得到点 即 t 又 t 在抛物线上 h 解得 h 当 h 时 h 点 h 此时 h h 8 1 令 h h 得 h 则得 ht 则得 t 则得 t 代入 h h 求得 h 2 过 作 为垂足 h t h h h t t 3 t t h 第 27页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 解得 h t 9 1 在 Rt 中 h h h cm h cm h h 点 cm 以 为顶点的三角形与 相似 分两种情况 当 时 h 即 点 h 点 解得 h 当 时 h 即 h 点 点 解得 h h 不合题意 舍去 综上所述 当 为 时 以 为顶点的三角形与 相似 2 存在某一时刻 使四边形 的面积 有最小值 理由如下 如图 过点 作 于点 则 h 即 h 点 h 点 h h 点 h 点 点 h t t 点 点 t h h t t 点 当 h 时 有最小值 最小值h 点 故当 的值为 时 四边形 的面积 有最小值 的最小值是 点 10 1 h h 抛物线 的顶点坐标为 t 抛物线 与 顶点相同 h h 解得 h h 抛物线 的表达式为 h 2 设点 的坐标为 t 则 h h 第 28页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h h h 当 h 时 有最大值 最大值为 3 如图 连接 过点 作 垂直为 t t 抛物线的对称轴为 h h h h h h h h h 在 和 中 h t h t h t h h 设点 的坐标为 tt 则 h h t h h 点 的坐标为 t tt t t h t 整理得 t t h h h 解得 t h 或 t h 点 当 t h 时 的坐标为 t 当 t h 点 时 的坐标为 t点 综上所述 当点 的坐标为 t 或 t点 时 恰好落在抛物线 上 11 如图 当 h 点 在 上时 的值最小 根据折叠的性质 得 所以 h 因为 是 边的中点 h 所以 h h 第 29页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 因为 h 所以 h h h 所以 h h 12 1 因为 分别是 的中点 所以 h 同理 h 所以 h 所以四边形 是平行四边形 2 当 h 时 平行四边形 是菱形 13 1 将 三点的坐标代入 h t 氠 得 t 氠 h ht t 氠 h ht 氠 h t 解得 h t t h t 氠 h 抛物线对应的函数表达式为 h 2 点 关于直线 对称 h 当点 为直线 与 的交点时 的周长最小 由 th ht 易求得直线 对应的函数表达式为 h 又易知直线 为直线 h 于是易求得点 的坐标为 t 3 存在 点 的坐标为 t t t th 14 1 解析 因为 h h h 所以 th t t t 所以 h h h h 所以 h h h 2 因为 h h t h 所以 th t t t 所以 h h h h 所以 h h h 3 由 th 得 t t t 第 30页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 所以 h h h h 所以 h h h 15 1 解 设经过 秒点 与点 相距 点 个单位 依题意可列 h 点 解方程 得 h 点 答 经过 点 秒点 与点 相距 点 个单位 2 解 设经过 秒点 到点 的距离相等 h 或 h h 点 或 h 点 h 或 h 答 经过 或 秒点 到点 的距离相等 16 1 作 于 如图 1 则四边形 为矩形 h h h 在 Rt 中 h h 点 h h h h h 2 h 时 则 h h h 点 点与 点重合 即 h 作 于 如图 1 则 h h 点 h Rt Rt h 即 点 h 点 解得 h 点 第 31页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h 时 则 h h 而 h h h h h h 点 综上所述 是以 为腰的等腰三角形时 线段 的长为 点 或 点 17 1 取 延长线上一点 h h 又已知 平分 平分 h h h h h h h 2 当点 运动到 的中点时 四边形 是矩形 理由如下 当点 运动到 的中点时 h 又 h 四边形 为平行四边形 又 为 的平分线 为 的平分线 h h h h 即 h h 四边形 是矩形 3 当点 运动到 的中点时 且 满足 h h 时 四边形 是正方形 理由 如下 由 知 当点 运动到 的中点时 四边形 是矩形 h h h h h h 四边形 是正方形 18 1 因为 h h 所以 所以 h 所以 h 第 32页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 2 在题图 中 连接 交 于点 因为 h 所以 h h 且 h h 又因为 为 的直径 所以 h h 又因为 h h 所以 所以 h 即 h 所以 h 3 连接 并延长交 于点 连接 所以 为 的直径 所以 h h 过点 作 于点 所以 h 因为 h 所以 h h 因为 所以 h h h 因为 h 所以 所以 h 所以 h 所以 h h 19 1 由题意知 h cm h cm h cm h h h cm 第 33页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 当 时 有 h h h 解得 h h 当 时 有 h h h 解得 h 与 相似时 的值为 h 或 2 如图 过点 作 于点 由题意有 h sin h h h 点 cm h cos h h h 点 cm h cm h cm h 点 cm h h h h h h h h h h h h 点 点 解得 h 20 1 因为 所以 h h h 在 和 中 h t h t h 所以 所以 h 2 图 中的结论为 h 图 中的结论为 h 选图 中的结论证明如下 延长 交 于点 第 34页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 因为 所以 所以 h 在 和 中 h t h t h 所以 所以 h h 在 Rt 中 因为 h 所以 h h 因为 h h 所以 h h h h h 所以 是等边三角形 所以 h 因为 h 所以 h 因为 h 所以 h 选图 的结论证明如下 延长 交 的延长线于点 因为 所以 所以 h 在 和 中 h t h t h 所以 第 35页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 所以 h h 在 Rt 中 因为 h 所以 h h 因为 h h 所以 h h h h h 所以 是等边三角形 所以 h 因为 h 所以 h 因为 h 所以 h 21 1 四边形 是矩形 h 又 h h 四边形 为平行四边形 2 的面积 的值不变 如图 1 所示 h 梯形 h 点 点 h 点 3 分两种情况讨论 如图 2 所示 当 h 时 则 h 即 h 点 h 点 如图 3 所示 第 36页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 当 h 时 作 可得 h 即 点 h 点 解得 h h 综上所述 满足条件的 的值为 h 点 或 h 或 h 22 1 h h h h h h 点 h 点 h h 点 h h h h h h 在 和 中 h t h t h t 2 由 1 得 h 平分 h h 在 和 中 h t h t h t AAS h 3 与 的数量关系是 h 23 1 当点 在 上时 第 37页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h h 2 分 种情况 点 在 边上或点 在 边上或点 在 边上时 才有可能使得 h 当点 在 边上时 h h 解得 h 当点 在 边上时 由 可知 h h 解得 h 点 当点 在 边上时 h 点 h 解得 h 综上所述 的值是 点 或 24 1 过 分别作 于 于 因为 h 点 所以 为等腰直角三角形 所以 h 又 h 即 h 得 h h 又因为 所以 h h h h 在 Rt 中 由勾股定理知 h h 点 h 所以 h 所以 h h h h 2 当 时 过 作 第 38页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 因为在 Rt 与 Rt 中 共用 所以 Rt Rt h h 又 h h 点 h 可得 h 点 h 点 且 h h h 点 所以 h h 点 由 h 得 h h 点 点 解得 h 点h 所以当 时 h 点h 3 若 为等腰三角形 则有三种情况 当 为底时 有 h 所以 h h 所以 h h 当 为底时 h 同 2 过 作 则有 h 同 2 Rt Rt 得 h 点 又由 h 得 h h 点 点 解得 h 点 当 为底时 h 过 作 则有 h 因为 h 所以 h h 在 Rt 与 Rt 中 共用 所以 Rt Rt 所以 h 因为 h h h h h 点 所以有 h h 点 解得 h h 综上所述 当 h h 或 h 点 或 h h 时 为等腰三角形 25 1 h 证明如下 过点 作 分别交 于点 交 于点 则四边形 和四边形 都是矩形 和 都是等腰直角三角形 如图 第 39页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h h h h h h 而 h h h 又 h h h ASA h 2 可能成为等腰三角形 当点 与点 重合 点 与点 重合 这时 h 是等腰三角形 此时 h h 当点 在边 的延长线上 且 h 时 是等腰三角形 如图 是正方形的对角线 h 点 h h 点 h 点 为等腰三角形 h h h 点 h 点 h h h h 点 h 点 h 点 即直角三角尺经过点 旋转的边与 边成 点 时 构成的 为等腰三角形 h h h h 点 h 点 h h h h 点 点 h 点 h h 点 h h 即当点 在线段 上滑动到距点 的距离等于边长 时 三角形 就能构成等腰三角形 点 与点 重合 不存在 综上所述 h h 或 时 为等腰三角形 26 1 在直线 h h 上 令 h h 得 h 点 令 h h 得 h h 即 点th ht h 第 40页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 因为点 点th t hth 在抛物线 h t 氠 上 所以 氠 h ht 点 点t 氠 h ht t 氠 h t 解得 h t t h 点 t 氠 h h 所以抛物线的表达式为 h 点 因为 h 点 h 点 h h h hh h 点 h h 点 所以 h 所以 是直角三角形 2 设运动时间为 s 时 h h 则 h h 因为当点 运动到端点时 h h 点 当 h 点 时 h 点 t h 所以 的取值范围是 h 点 在 Rt 和 Rt 中 h h 点 h h 点 h h h 点 因为 h 所以 h 即 h 点 h 点 解得 h h 舍去 h h 即运动时间为 h s 时 h 27 1 抛物线解析式为 h 点 令 h h 即 点 点 h h 解得 h 或 h 点 th 点th 如图所示 分别延长 与 交于点 第 41页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h 在 与 中 h t h t h t ASA h 即点 为 Rt 斜边 的中点 h 即 是等腰三角形 2 能 抛物线解析式为 h 点 点 h 点 点 对称轴是直线 h th 令 h h 得 h ht 为等腰直角三角形 有 种可能的情形 若 由 可知点 在一条直线上 而点 在 轴上 因此点 必然在 轴上 由 可知点 只能与点 重合 即直线 与 轴重合 不符合题意 故此种情况不存在 若 与 同理可知 此种情况不存在 若 如图所示 第 42页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 设直线 与对称轴交于点 h 在 与 中 h t h t h t ASA h 抛物线解析式为 h 点 点 h 点 点 故对称轴是直线 h th h h t 设直线 解析式为 h t 点 t ht 在抛物线上 t h t t h t 解得 h t h h 将 h 代入抛物线解析式得 h 点 点 解得 h h 或 h 当 h h 时 交点为点 当 h 时 h h t 综上所述 能成为等腰直角三角形 此时点 坐标为 t 3 能 如图所示 设对称轴与直线 交于点 与 2 同理 可知若 为等腰直角三角形 直角顶点只能是点 第 43页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h 在 与 中 h t t h h 点 t ASA h t 设直线 解析式为 h t 点 t ht 在抛物线上 t h t t h t 解得 h t h h 将 h 代入抛物线解析式得 h 点 点 解得 h h 或 h 当 h h 时 交点为点 当 h 时 h h 点 t 点 综上所述 能成为等腰直角三角形 此时点 坐标为 t 点 28 1 因为顶点 的坐标为 t 所以设抛物线的表达式为 h 因为抛物线过原点 所以 h h h 解得 h 所以抛物线的表达式为 h 即 h 令 h h 解得 h 或 h 当 h 时 h h h 即 th 当 h 时 h h 即 t 2 假设存在满足条件的点 设 th 第 44页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 则 t 所以 h h 由 t th t 得 h h 所以 轴于点 所以 h h h 所以当 时 有 h 即 h 整理 得 h 当 h h 时 不能构成三角形 故 h 所以 h 解得 h 点 或 h 此时点 的坐标为 点 th 或 th 当 时 有 h 即 h 整理 得 h 因为 h 所以 h 解得 h 点 或 h 此时点 的坐标为 th 或 点th 综上所述 存在满足条件的 点 其坐标为 点 th 或 th 或 th 或 点th 29 1 把点 ht t h 的坐标代入 h t 氠 得 氠 h t t 氠 h h 解得 t h t 氠 h 抛物线的表达式为 h 2 设 与抛物线对称轴 交于点 由 h h 得顶点 的坐标是 t 此时 h h h h 则在 Rt 中 h h 点 同理可求 h 点 h 在直线 上存在满足条件的点 使得以 为顶点的三角形与 相似 ht t h t t h h h 第 45页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 如图 当 时 设 t 则 h 即 h 解得 h 如图 当 时 设 t 则 h 即 h 解得 h 综上所述 存在点 使得以 为顶点的三角形与 相似 此时点 的坐标为 t 或 t 30 1 由题意知 h cm h cm h cm h h h cm 当 时 h h h 解得 h h 当 时 h h h 解得 h 若 与 相似 则 的值为 h s 或 s 2 如图 过点 作 于点 则 h sin h 点 h cos h 点 h h h 点 h h h h h h 第 46页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h h h h h h 点 点 解得 h 或 h h 舍去 h s 31 1 解方程 h h 得 h h 因为 是方程 h h 的两根 且 t 所以 h h 把点 th ht 代入 h t 氠 得 t 氠 h ht 氠 h t 解得 t h t 氠 h 所以这个抛物线的表达式为 h 2 由 ht th 得直线 的表达为 h 所以设点 的坐标为 t 因为 轴 点 在抛物线上 所以点 的坐标为 t 如图 过点 作 于点 则 为等腰直角三角形 因为 h 所以 h 如上图 当点 在点 上方时 即 h t t h h 所以 h h h 如图 当点 在点 下方时 即 t h 或 t 第 47页 共 79 页 来自初中数学解题研究会 450116225 QQ 群文件 h h 所以 h h h 综上所述 h th t t t t h 或 t 32 1 因为抛物线的对称轴是 h 所以 h 解得 h 所以 th 点th 把 th 代入抛物线表达式 得 点 h h 解得 h 所以 h h 2 假设点 存在 设点 hthh t ht 点 当点 为 的直角顶点时 h 因为 所以 h h 所以 h 点 点