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第三十七讲气体分子动理论之一 理想气体的压强和温度公式能量均分定理 第一部分气体动理论 第三十八讲气体分子动理论之二 麦克斯韦速率分布律分子的平均自由程 本讲主要内容 一 分子热运动和统计规律二 麦克斯韦速率分布律 三 玻尔兹曼分布 略讲自学 四 分子平均自由程五 真实气体和范德瓦耳斯方程 略讲自学 六 气体内的迁移现象 自学 麦克斯韦速率分布律分子的平均自由程 第三十八讲气体分子动理论之二 一 分子热运动和统计规律 分子热运动的基本特征 特征一 混乱性和无序性 永恒的运动 频繁的碰撞 特征二 在分子热运动中 个别分子的运动存在着极大的偶然性 但总体上却存在着确定的规律性 统计规律性 特征三 涨落现象 一切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均值 如理想气体压强 在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内 观测值都与统计平均值有偏差 人口中身高为hi hi h的人数为Ni 归一化的分布数 总人数 归一化条件 令间隔 h 0 分布函数f h 分布在身高h附近单位身高间隔的百分比 分布函数和平均值 例 某大城市人口按身高的分布曲线 归一化分布函数f h 满足 平均身高 身高在h h dh范围内的人数dN Nf h dh 分布函数f h 分布在身高h附近 单位身高间隔的人口占总人口的百分比 可将h推广为任意物理量 可将上面的h推广为任意物理量 如理想气体系统中分子的速度v 讨论分子数按速率的分布函数 归一化条件 思考 f v 的物理意义 处于平衡态的气体分子的热运动速度在每一个时刻都在随机变化着 但是大多数分子之间存在一种统计相关性 它表现为平均来说气体分子的速率介于v v dv的概率是不会改变的 分子速率分布函数 速度为v v dv间隔内的分子数为dN 分布在速率v1 v2速率间隔的分子数占总分子数的概率 分布在速率v v dv速率间隔的分子数占总分子数的概率 速率的分布函数f v 分子分布在速率v附近单位速率间隔的分子数占总分子数的概率 分布在速率v v dv速率间隔的分子数 分布在速率v1 v2速率间隔的分子数 问题 速率的分布函数f v 的具体形式是怎样的 二 麦克斯韦速率分布律 1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律 1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律 t l v v l Stern做了分子射线束实验 分子速率的实验测定 通过改变 可获得不同速率区间的分子 只有满足此条件的分子才能同时通过两缝 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速率分布曲线的特点 利用理想气体模型 麦克斯韦推导了分子速率分布函数 麦克斯韦速率分布律 a 最概然速率vp b 不同温度下的速率分布曲线 c 不同的气体质量下的速率分布曲线 73K 1273K 273K 同一种气体 同一个温度 m1 m2 分布在速率vp vp dvp速率间隔的分子数占总分子数的概率最大 麦克斯韦速率分布曲线的特点 算术平均速率 同理 方均根速率 方均根速率用来计算分子平均动能 速率的三个统计值 一般用于计算分子运动的平均距离 最概然速率对应分布函数的极大值 令 得 最概然速率用在讨论分子速率分布 例1试计算分子热运动速率的大小介于vp vp 100和vp vp 100之间的分子数占总数的百分数 解 按题意 v vp vp 100 99vp 100 v vp 50 引入W v vp 把麦克斯韦速率分布律改为如下形式 现在W v vp 99 100 W v vp 1 50 代入上式得 1 k 由归一化条件 例2 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速度分布函数F v 自学 既为分子分布在vx vx dvx vy vy dvy vz vz dvz间隔内的概率 麦克斯韦速度分布律 方均根速率与大气成分 在地球周围厚厚的大气层中 富含着自有氧粒子和氮粒子 却几乎没有宇宙中含量最多的自由氢分子和氦原子 想不到这却是与方均根速率有关的自然现象 我们在力学中已经知道 地球表面附近的物体要脱离地球引力场的束缚 其逃逸速率 第二宇宙速度 为v 11 2km s 现在 按式计算一下t 200C时 氢 氦原子 氧 氮的方均根速率 依次得到 趣味物理 显然它们都小于逃逸速度 其中氢的方均根速率最大 也只是逃逸速度的1 6 这样一来大气层中似乎应该有大量的自由氢分子 但实际上地球大气层中几乎没有自由氢分子 这是什么原因呢 要解决这个问题要借助分布曲线 从图中可以看出 有相当数量的一部分气体分子的速率比方均根速率要大得多 当这些分子的速率达到逃逸速率时 他们就逃逸出地球的大气层 由于氢气的方均根速率比氧 氮都大得多 因此不断有氢分子逃逸出大气层 氦气也与氢气有类似情况 而氧分子的方均根速率只有氢分子的1 4 氮分子也接近 只有很少的氧分子能达到逃逸速率 所以 在地球大气层中只有自由氧离子和氮离子 而几乎不存在自由氢分子和氦离子 趣味物理 三 玻尔兹曼分布 略讲自学 麦克斯韦速度分布函数F v 自学 上面我们没有考虑外力场对气体分子的作用 气体按位置的分布是均匀的 概率因子 考虑分子受到外力作用而具有势能 将Ek 代之以E Ek Ep 玻尔兹曼计算得到 玻尔兹曼分布律 考虑分子受到外力作用 将Ek 代之以E Ek Ep 玻尔兹曼计算得到 在速度间隔 空间间隔 内的分子数为 这就是玻尔兹曼分布律 概率因子 它说明分子优先占据能量较低的状态 由于 因此玻尔兹曼分布可写成如下常用形式 表明粒子数如何按位置分布 在温度为T的平衡态下 任何系统的微观粒子按状态的分布 即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子能量有关 与 成正比 热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处 在重力加速度可以认为不变的范围 取z 0为势能零点 z轴向上为正 则玻尔兹曼分布律可写成 分布在高度为z的地方单位体积内的分子数 O2 H2 重力场中粒子按高度的分布 可由分子数分布求得大气压强按高度为z的变化关系 此式称为等温气压公式 使用于高度变化不大的条件下 登山时 利用气压计算高度可用以下公式 高度计原理 四 分子的平均自由程 分子的平均碰撞次数 平均碰撞频率 分子的平均自由程 几个概念 分子的自由程 有效直径d 平均相对速率 跟踪分子 看其在一段时间内与多少分子相碰 以该分子质心的运动轨迹为轴 分子有效直径d为半径 作一曲折圆柱体 则凡质心在该圆柱体内的分子都将与A相碰 t内其它分子与A分子平均碰撞的次数等于圆柱体体积中的分子数 计算分子的平均自由程 实际上其它分子也在运动 设圆柱体的截面积为 d2 在 t内 分子所走过的路程 相应圆柱体的体积为 设气体分子数密度为n 在 t时间内与A相碰的分子数为 设想某个分子以平均相对速率运动 其余分子不动 平均相对速率 平均碰撞频率为 平均自由程为 平均自由程与平均速率无关 仅与分子数密度有关 思考 一定量气体 体积不变而温度升高 分子平均碰撞频率和平均自由程将怎样变化 例求在标准状态下一秒内分子的平均自由程和平均碰撞次数 已知氢分子的有效直径为2 10 10m 解 根据 因此得 数亿次 标准状态下几种气体的 0 C不同压强下空气分子的 五 范德瓦耳斯方程 略讲自学 由于不需要考虑理想气体分子的大小及分子之间的相互作用力 所以理想气体状态方程 但是 当气体的压强比较大 温度比较低即气体分子的数密度 n比较大时 气体的行为与理想气体状态方程就有较大的差异 这是因为 在这种情况下 气体分子本身的体积不能不考虑 而且 分子间的相互作用力也不能忽略 1873年 荷兰物理学家J 范德瓦耳斯考虑了上述两个因素 对理想气体状态方程作了修正 中气体的体积V就是容器的体积 而P就是气体内部以及气体对容器气壁的压强 考虑到分子本身的体积 且分子之间斥力导致可压缩空间的减少 气体占有的体积比容器的体积要小 则1mol气体的状态方程可修改为 式中 b为体积修正项 再考虑到分子间的引力作用要产生内压强 由于内压强的作用 使实际观测到的压强P要略小于不考虑引力作用时气体的压强 于是 原方程中的P也应加以修正 范德瓦耳斯推证了pI 并引入了另一个修正项a 得到真实气体的范德瓦耳斯方程为 式中的修正项a和b一般均由实验测定 a b称为范德瓦尔斯常量 引入b a的实质是 b 无法忽略分子间斥力 a 无法忽略分子间引力 气体的范德瓦尔斯常量 系统要从非平衡态自发地向平衡态过渡亦称输运过程 讨论气体在非平衡态下的三种特殊过程 即 三种迁移现象 粘滞现象 分子动量迁移 热传导现象 分子能量迁移 扩散现象 分子密度迁移 迁移现象产生的原因 无外界干预时 六 气体内的迁移现象 自学 流速 温度 密度不均匀 河流中水流的流速分布 粘滞现象 由于各层气流的流速不同 产生相邻两层气流之间的阻碍气体流动的阻力 称为粘性力 这种现象称为内摩擦现象 S 相邻两层接触面面积 粘性力 速度梯度 粘性系数 由于各层气流的流速不同 产生相邻两层气流之间的阻碍气体流动的阻力 称为粘性力 这种现象称为内摩擦现象 用分子运动论解释 热传导现象 气体内部有热量从温度高的地方传递到温度低的地方 温度梯度 热导率 导热系数 能量输运 热传导现象 用分子运动论解释 迁移的气体质量 密度梯度 D 扩散系数 质量输运 扩散现象 由气体动理论可导出 用分子运动论解释 由气体动理论可导出 影响扩散的因素分析 由 可见温度越高 压强越低 扩散进行得越快 总结 主要研究理想气体处于平衡态下的性质 微观理论 状态参量的统计意义 统计规律 压强公式 温度公式 能均分定理 麦克斯韦速率分布 平均碰撞频率和平均自由程公式 三种统计速率 宏观规律 理想气体的状态方程 真实气体范德瓦耳斯方程 同学自学完后回答下列问题 1 1873年 荷兰物理学家J 范德瓦耳斯对理想气体状态方程作了修正 是考虑了哪两个因素做了修正 2 1mol气体范德瓦耳斯方程 式中的修正项意义为 b 3 麦克斯韦速率分布律是描述 玻尔兹曼分布律是描述 4 写出旋转体中悬浮粒子的径向分布 设旋转体