初二第四讲 二次根式的定义及性质.doc

二次根式的定义与性质二次根式基本知识点1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。3.同类二次根式：1二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。2合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并（0）（0）0 （=0）；4.二次根式的性质：（1）（）2= （0）； （2）（3）积的算术平方根的性质：（a0，b0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.（4）商的算术平方根的性质（，），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点考点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。考点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。考点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。【注】：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。考点四：二次根式（的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.考点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。【注】：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。考点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点七：同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。经典例题题型一：二次根式的判定【例】下列各式1），其中是二次根式的是多少( )【自我巩固】1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有 个.题型二：二次根式有意义【例】若式子有意义，则x的取值范围是 【自我巩固】1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限题型三：二次根式定义的运用【例】若y=+2009，则x+y= 【自我巩固】1、 若，则xy的值为（ ） A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。题型四：小数部分和整数部分的运用【例】已知a是的整数部分，b是的小数部分，求 【自我巩固】1：若7-的整数部分是a ，小数部分是b，则 2：若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.题型五：二次根式的双重非负性【例】若则 【自我巩固】1、若，则的值为 。2、已知为实数，且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、 已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为 。4、 4、若与互为相反数，则。题型六：二次根式的性质【例】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4【例】已知,则化简的结果是 A、 B、C、D、 【自我巩固】1、 在实数范围内分解因式: = ；= 2、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D93、已知a0，那么2a可化简为（ ） Aa Ba C3a D3a4、若，则等于（ ）A. B. C. D. 5、若a30，则化简的结果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a6、化简得（ ）（A）2（B）（C）2（D）7、当al且a0时，化简 8、已知，化简求值：题型七：与数轴和绝对值的运用【例】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ）0 A2b B2b C2a D2a【自我巩固】实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1【自我巩固】若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或【例】如果，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 【自我巩固】1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）2、若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【例】化简二次根式的结果是（ ）（A） (B) (C) (D)【自我巩固】1、把二次根式化简，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2、把根号外的因式移到根号内：当0时， ； 。题型八：最简二次根式和同类二次根式【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)【自我巩固】1、中的最简二次根式是 。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A B C D3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化为最简二次