专题二计数原理.docx

专题二：排列、组合二项式定理与概率第一讲：分类计数原理与分步计数原理一、基础知识归纳考点一：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nml+m2+mn种不同的方法。本原理也称为加法原理 考点二：分步计数原理 :完成一件事，需要分成n个步骤，做第l步有m1种不同的方法做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有Nmlm2mn种不同的方法 本原理也称为乘法原理二：典例归类例1、用三只口袋装小球，一只装有5个不同的白色小球，一只装有6个不同的黑色小球，另一只装有7个不同的红色小球。 若从三只口袋中取出一只小球，则有多少种不同的取法?18 若从三只口袋中取出三只小球，则有多少种不同的取法?210 若每次从中取两个不同颜色的球，共有多少种不同的取法?107牛刀小试：题组11、如图1，一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同线路?52、从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可 以乘轮船，还可以坐飞机，一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，飞机有1班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?103、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个?364、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(B) A、12对 B 、24对 C、 36对 D、48对 题组21、如图由电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源使电灯发光的方法有几种?62、8本不同的书，任选了3本分给3所以同学，每人1本，有多少种不同的分法?3363、将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法? 814、如果按照ABQ血型系统学说，每个人的血型是ABOAB型中的一种。依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一个是AB型时，其子女血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有情况有多少种?9例2、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_630_种(用数字作答)牛刀小试：题组31、如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种个花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（B）A96 B84 C60 D482、某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有_12_种 3、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种例3、设集合I=1、2、3、4、,选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大的数，则不同的选择方法共有（ B ）A、50种 B、49种 C、48种 D、47种牛刀小试：题组41、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 ( A ) A10种 B20种 C 36种 D52种2、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 ( C ) A5种 B6种 C7种 D 8种3、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_12_种(用数字作答)4、如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_36_5、沿着长正方体的棱从一个顶点到与它相对的另一个顶点最近的路线共几条？ （ A ） A6条 B.5条 C.4条 D.3条6、4个同学各拿一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送的贺卡。则四张贺卡的不同分配方式共有（ B ） A6种 子 B.9种 C.11种 D.23种三：基础过关1 一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中任取一本书的取法共有 ( )A5种 B.6种 C.11种 D.30种2教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有（ ）种走法？ A8 B.23 C.42 D.243某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有（ ）种安排方法A8 B.6 C.14 D.484将三封信投入三个信箱，可能的投放方法共有( )种A.1种 B.6 C.9 D.275已知x1，2，3，4，y5，6，7，8，则xy可表示的不同值的个数为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16610个苹果分成三堆，每堆至少2个，共有（ ）种分法A64种 B.16种 C.4种 D.1种7异面直线l1、l2，l1上有5个不同点，l2上有4个不同的点，一共可组成直线（ ）条A9条 B.9条 C.22 D.20条8若整数x、y满足 |x|4，|y|5，则（x，y）为坐标的点共 个9a1，2，3，b4，5，6，R9，16，25,则方程(x-a)2+(y-b)2=R2所表示的不同圆共有 个。10乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有 项. 11（1）若1x4，1y5，则以有序整数对（x、y）为坐标的点共有多少个？ （2）若x,yN且x+y6，则有序自然数对有多少个？12某座四层大楼共有三个大门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼内的第四层的不同走法种数有多少？13设椭圆的方程为 =1(ab0)，a1,2,3,4,5,6,7,b1,2,3,4,5,这样的椭圆共有多少个？14n2个人排成n行n列，若从中选出n名代表，要求每行每列都有代表，则不同的选法共有 种15有一角硬币三枚，贰元币6张，百元币4张，共可组成多少种不同的币值？1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.63 9.27 10.60 11.(1)20 (2) 12 13.20 14.n! 15.139 第二讲：排列与组合一、基础知识归纳考点一：排列排列定义：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数定义：从n个不同元素中取出 m (mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示排列数公式： Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)这里，n，mN+，且mn，这个公式叫做排列数公式。阶乘：（1）自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，即A2221 （2）全排列的阶乘表示: Annn(n一1)(n-2)321=n！考点二：组合组合的定义： 一般地说，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示组合数公式: Cnm=AnmAmm=nn-1(n-m+1m！组合数的两个性质: Cnm =cnn-m Cn+1m =cnm+cnm-1 分排列与组合的区别：前者是从n个不同元素中选取m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从n个不同元素中选取m个不同的元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关。二：典例归类例1、解不等式：化简牛刀小试：题组1、1、计算下列个题A152； A55； 2、解方程：33、化简 4、 ，则S的个位数字是（ ）5、一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站?现有多少个车站?例2、 三个女生和三个男生排成一排(1) 如果六人排成一排，可有多少种不同的排法?(2) 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(3) 如果男生必须全分开，可有多少种不同的排法?(4) 如果男生必须全排在一起, 女生也必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(5) 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?(6) 如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?(7) 如果男生与女生必须相间，可有多少种不同的排法?(8) 如果男生甲男生不排排头，乙女生不排排尾，可有多少种不同的排法? (9) 如果甲男生必须排在乙女生的左边，可有多少种不同的排法?(10) 如果增加一名女生，且该女生只能站中间，可有多少种不同的排法?(11) 仅有两女生相邻，可有多少种不同的排法?(12) 如果增加两名女生，原有男、女生顺序不变，增加两名女生可有多少种不同的站法?牛刀小试：题组21、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有A. 144 B. 96 C. 72 D. 482、7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有_排法.3、一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影, 若老师不排在两端, 则共有多少种不同的排法_.4、8人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有_种.5、现有6张同排连座号的电影票, 分给3名老师与3名学生, 要求师生相间而坐, 则不同的分法数为_.6、书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果不使同类的书分开，共有 种不同的排法。7、记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（B）1440种960种720种480种8、一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有_种不同的排课方法。9、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 3610、班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040例3、 用1，2，3，4，5这个数字组成没有重复数字的四位数：(1) 如果组成的6位数必须是偶数，那么这样的5位数有多少个?(2) 如果组成的5位数必须大于35000，那么这样的5位数有多少个?(3)如果组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有多少个?(4)如果从中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个?牛刀小试：题组31、用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的六位数？（2）可以组成多少个没有重复数字且不能被5整除的六位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的六位数的奇数？（4）可以组成多少个大于300000，小于534201的数字不重复的六位数？（5）若按从小到大的顺序排列，则数字123450应是第几个数 2、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_576_个（用数字作答）。3、从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）A9个B15个C45个D51个例4、证明：Cn0+Cn+11+Cn+22+Cn+mm-1=Cn+m+1m-1 牛刀小试：题组41、计算：（1）A32+A42 A1002 （2）C1008-C1018+C10072、解方程、不等式和证明 (1)解方程:Cn-15+Cn-33Cn-33=345 (2) 解不等式:1Cn3-1Cn40,(ax2+)4展开式中x3的系数为,则a=_4、在（1-x）5+(1-x)6 +(1-x)7 +(1-x)8+(1-x)100的展开式中x3的系数为_5、在（x-1）（x-2）（x-3）（x- 4）（x- 5）的展开式中x4的系数为_6、若多项式x2+x10=a0+ a1（x+1）+ +a9（x+1）9+ a10（x+1）10则a9=_7、(1-)6(1+)4展开式中x的系数为_例2、求（x+1）7的展开式中常数项是_牛刀小试：题组21、在（x4+）10 的展开式中常数项是_2、(2x)6展开式中的常数项为3、（1+）6（1+）10展开式中常数项为_。4、在（）n的展开式中常数项是60,求n的值5、已知（x-）展开式中常数项为1120，求a的值。例3、已知（+）n展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的所有有理项。牛刀小试：题组31、求（-）9展开式中的有理项。2、已知（-）10,其展开式中含x的正整数指数幂的项数为_。3、在（+）24展开式中，x的幂的指数是整数的项共有_项。例4、若，求（1+x）2n展开式中系数最大项。牛刀小试：题组41、求（3-）n展开式各项系数之和为64，则展开式中的常数项是_。2、证明下列各式：1+23、若（3x-1）7=a7x7+ a6x6+ a1x+ a0，求：（1）a1+ a2+ a7； （2）a1+ a3+ a5+ a7； （3）a0+ a2+ a4+ a6；4、设f(x)=1+（xR），求log2f(3)的值。例5、 求1.9975精确到0.001的近似值。证明：46n+5n+1-9,(nN*)能被20整除证明：（）n-1牛刀小试：题组51、（1.002）5精确到0.001的近似值是_2、9192被100整除的余数是_3、证明：2（1+）n3三：基础