浅析参数在解数学竞赛题中的辅助作用.pdf

弓 一 克霄 季 馘 解 怒 2 o 0 年 第3 期 侄 用 1 3 浅析参数在解数 学竞赛题 中的辅助作用 垫查堑 7 6 6 河北省乐亭 第 中学 z一 有些数学竞赛 问题 通过 引 或挖掘辅 一旦 二 1 r 一 f A 1 助参数 使得这些 参数在解题 中起到联 系分4 一1 散条件 显示隐含因素 转化命题结构 简化 i f 一A z 解题过程 促成条件与结论的有机结合 进而 起 到 催 化 和 桥梁 的 作 用 下 面从 四个方 1 面浅析参数在解数学竞赛题 中的辅助作用 而 z 与 t无 关 即式 1 对 1参数 在 解 题 中的 桥 梁 作用 R恒 成立 所 以 数 学 霓 器 中 的 小 等 式 证 明 I 司越 迪 挝 巧 妙地 1 人参数 可 以把证 明转化成对参数的 讨论 使参数在不等式证明中起到桥梁作用 例 1 已知 1 2 j R 且 1 十 2 A A 0 lT 十一 一 十 A2 N且 2 求证 0 1 2 1 9 8 s 四川省中学数学竞赛 证 明 因 1 十 2 一A 0 弓 1 人 待 定参数 t 则 篙 一 z z 十 t 1 2 z 一A 号 n 一 以 打 一 一 1 2 1 n 一 以一 本 赫 日 期l 99 9 05 一 l 2 整理得 一 一2 x A 0 O n 同理可得 0 t 1 2 n 例 2 设 口 b f R 且 出 1 求证 丽 丽 丽 导 第 3 6届 L EO 证明 引入正参数 t 注意到 口 6 c 1 得 缸 6 c 鱼 12 丽 a b c b c 同理 可得 了 维普资讯 1 4 中 等 数 学 丽 了 上述三个同向不等式相加得 1 1 1 丽 卜 丽 卜 2 t 百1 2 丢 告 将 口 6 c 1与前三个 不等式取等号 的条 件联立解得 1 把 它代入 1 得 而 丽 专 百1 1 吾 2参 数 在 解 最 中 的 简 化 作 用 通过固定某些变量 用参数去替换局部 或整体 使命题结构发生改变 解题思路表现 得 自然 明显 解题过程清晰 简捷 倒 3 设 n N 问是否存在 2 n 1 个实 数 口 1 口 2 口 2 满足条件 i I I 1 1 2 2 1 i i I 口1 I l 口 2 l l 口 2 1 I J 口 I 十日 2 n 2 I J 2 n 试作 出判断并证 明你的结论 1 9 9 0 南 昌市高中数学竞赛 解 不存在这样 的 2 n 1 个数 否则 设满足条件 的数 n n n 存在 引入参数 设 l n 1 十口 2 n 2 l l 则 去掉绝对值号 并将其 中的正负数分开 得 l 口I 2 十口2 1 J zl 2 j 一 l 2 卜 j l 一 其 中 l 2 1 2 Y 2 l 一 是 I n 1 I l 口 2 l n 2 l l 的某个 排刊 从 而 l 十 2 十 丑 十 Yl 十 2 2 1一 2 n十 z 1 z 2 十 4 n 1 十 十 2 一 O 2 j n t n十1 1 x 2n 1一 Yl 十 2十 j 1 一 n 2 n 1 一 n十1 2 1 2 得 2 n 1 2 十2 矛 盾 所以不存在满足条件 i i i 的 2 n 1 个数 倒 4 设 s表示所有大于 一1的实数构 成的集合 确定所有的函数 s s 满足以 下两个 条件 i 对于 s内的所有 和 有 f Y 十 f x z i i 在区间 一1 zO的每一 个 内 是严 格 递增 的 正 第 3 5届 I MO 解 令 得 f x 蔓厂 十 z 十五 厂 z 1 固定 令 z十厂 十 厂 z 则 f 在 1 中令 得 t 十2 t t f 若 t 0 则 2 t 0 但 与 在 z 0时严格递增 矛盾 维普资讯 2 0 O O年第 3期 同理 t 0亦 导致矛 盾 因此 对任一 z 恒有 j 0 从 而 z 一 南 易知这一函数满足题设条件 3参 数 在 解 墨 中的 转 化 作 用 通过引人参数 将原命题等价地或 同构 地转化成另一命题 让参数起到转化结构 变 换角度的作用 倒 5 任给 l 3个不同的实数 求证至少 存在两个 不妨设 z和 满足不等式 o 于是 0 t a n 一 t a n 即o 焉 1 1 及 0 O 都有 z z i 成立 试确定所有这样的函数 第四届全国中学生数学冬令 营 解 法 1 取 z n 6 则对 任 维普资讯 巾 等 数学 何 1 b 0 有 f a n 令 n 1 0 2 b l g 则对任何 1有 f f 1 O n 再 令 口 2 5 1办 则 对 f t 何r 1 有 I o 故满足条件 的 1 能芷 r 其 中 为大于 1 的任何实数 最后验证所求的 满足题绐不等式 f Y f 诉 r 记 J r 口 ri g Y 注 意到 口 0 O c 1 有 南 4 a 一 口 4 p 4 口 卢 厂 3 2 1 Y 1 M 0 0 等号仪 口 即 Y 时成立 解 法 2 对 于任意取 定的 J J 选 择 使得 J L 这肘只须选 口 1 一 即 于是原函数不等式变为 r z y r 分离 变量后得 r i i 1 再选择 使 得 1 1 一 一 解得 于是 在 1 中取 则式 1 变为 f x Y 由对称性 义 得 因此 f T T f f 1 f 一 1 f 2 经检 验 2 满 足 已知 不 等式 f C r 为 所求 的函数 上接 第 9页 由表 2可 知 恰好取 遍 J至 k 十3 的 所 有 自然数 于是 引理 得证 下证若对所有 n A 存 在 使 1 则 A 2 事实上 口 q H r q r 1 所 以 q 0 r 1 或 q 1 r 0 对应 的 口 1 或 显 然 若 3 则 A 1 若 n 2 则 A 2 若 1 则 A 1 所 以 A 2 利用上面结论及反复使用引理有 F F 3 2 2 1 F J 3 1 4 2 2 n 2 3 2 J 0 2 5 5 3 5 4 0 2 2 0 n 2 0 3 2 0 4 6 0 2 2