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第九章圆锥曲线与方程 第五课时抛物线 1 考纲要求 1 了解抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 2 理解数形结合的思想 知识梳理 一 抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l 定点不在定直线上 的距离的点的轨迹是抛物线 其中定点叫焦点 定直线叫准线 二 抛物线方程抛物线的类型 标准方程及其几何性质 注意 表中的p 0 三 圆锥曲线的统一定义 属知识拓展 圆锥曲线的统一定义 平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 当01时 轨迹为双曲线 基础自测 1 设a 0 a R 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 A a 0 B 0 a C 0 1 16a D 随a符号而定 答案 C 2 以抛物线y2 2px p 0 的焦半径 PF 为直径的圆与y轴位置关系为 A 相交B 相离C 相切D 不确定 答案 C 3 2008年广州调研 抛物线y2 4x上一点M到焦点的距离为3 则点M的横坐标x 2 4 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆的右焦点重合 则p的值为4 典例试解 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 思路分析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p 从实际分析 一般需确定p和确定开口方向两个条件 否则 应展开相应的讨论 解析 1 设所求的抛物线方程为y2 2px或x2 2py p 0 过点 3 2 4 2p 3 或9 2p 2 p 2 3或p 9 4 所求的抛物线方程为y2 4 3x或x2 9 2y 前者的准线方程是x 1 3 后者的准线方程是y 9 8 2 令x 0得y 2 令y 0得x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 SX p 2 SX 4 p 8 此时抛物线方程y2 16x 焦点为 0 2 时 SX p 2 SX 2 p 4 此时抛物线方程为x2 8y 所求的抛物线的方程为y2 16x或x2 8y 对应的准线方程分别是x 4 y 2 点评 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论 先入为主 设定一种形式的标准方程后求解 以致失去一解 变式探究 1 求满足下列条件的抛物线方程 1 抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 抛物线上一点P 3 a 到焦点的距离为5 2 以原点为顶点 以坐标轴为对称轴 并且经过点P 2 4 答案 y2 8x 已知抛物线C的顶点在原点 焦点F在x轴的正半轴上 设A B是抛物线C上的两个动点 AB不垂直于x轴 且 AF BF 8 线段AB的垂直平分恒经过定点Q 6 0 求抛物线的方程 思路分析 由已知 抛物线C的顶点在原点 焦点F在x轴的正半轴上 可设抛物线方程为y2 2px p 0 利用抛物线的定义可解决 解析 设抛物线的方程为y2 2px p 0 其准线为x p 2 设A x1 y1 B x2 y2 AF BF 8 x1 p 2 x2 p 2 8 即x1 x2 8 p Q 6 0 在线段AB的中垂线上 x1 x2 x1 x2 12 2p 0 AB与x轴不垂直 x1 x2 故x1 x2 12 2p 8 p 12 2p 0 即p 4 从而抛物线方程为y2 8x 点评 求抛物线的标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再求抛物线的标准方程 要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再由条件确定参数p的值 同时 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可以求出其他两个 本题根据抛物线的顶点在原点及焦点在x轴设出方程 再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离 产生所设方程中的参变量 分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行 难度不大 但基础性较强 变式探究 2 圆心在抛物线y2 2x上且与x轴及抛物线的准线都相切 求此圆的方程 x 1 2 2 y 1 2 1或 x 1 2 2 y 1 2 1 答案 设P是抛物线y2 4x上的一动点 1 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值 2 若B 3 2 求 PB PF 的最小值 思路分析 由抛物线方程为y2 4x知此抛物线的焦点为F 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1的距离等于点P到焦点的距离 于是 问题转化为 在曲线上求一点P 使点P到点A 1 1 与到点F 1 0 的距离最小的问题 从而获得问题的解答 解析 1 由于A 1 1 F 1 0 P为抛物线上任意一点 则 AP PF AF 从而知点P到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和的最小值为 所以点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值也为 2 如右图所示 自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q 交抛物线于点P1 此时 P1Q P1F 那么 PB PF P1B P1Q BQ 4 即最小值为4 变式探究 3 2008年海南宁夏卷 已知点P在抛物线y2 4x上 那么点P到点Q 2 1 的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时 点P的坐标为 A 1 4 1 B 1 4 1 C 1 2 D 1 2 答案 A 1 以抛物线x2 2py p 0 的一条焦点弦为直径的圆是x2 y2 6x 8y 0 则p 2 到y轴的距离比到点 2 0 的距离小2的动点的轨迹方程是 3 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分 它的方程是x2 2y 0 y 20 在杯内放入一个玻璃球 要使球触及酒杯的底部 则玻璃球的半径的范围为 A 0 r 1B 0 r 1C 0 r 2D 0 r 2 解析 1 由x2 y2 6x 8y 0得 x 3 2 y 4 2 25 所以圆心坐标为 3 4 半径为5 过焦点弦的端点 及圆心分别作准线的垂线 由梯形中位线定理及抛物线的定义可知 该圆与抛物线的准线相切 3 p 2 5p 4 2 即为动点到点 2 0 的距离等于到直线x 2的距离 或动点在x轴的非正半轴上 所以轨迹方程为y2 8x或y 0 x 0 3 设圆为x2 y r 2 r2 抛物线为x2 2y 联立得y2 2 1 r y 0 令 0 得r 1 rmax 1 点评 正确理解和掌握抛物线的定义和性质和注意问题的多解性 养成严密思考问题的习惯 变式探究 4 2008年四川卷 已知抛物线C y2 8x的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在C上且 AK AF 则 AFK的面积为 4 8 16 32 答案 B 河上有抛物线型拱桥 当水面距拱顶5米时 水面宽度为8米 一小船宽4米 高2米 载货后船露出水面的部分高0 75米 问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时 小船开始不能通行 解析 建立平面直角坐标系 设拱桥型抛物线方程为x2 2py p 0 将B 4 5 代入得p 1 6 x2 3 2y 当船两侧与抛物线接触时不能通过 则A 2 yA 由22 3 2yA得yA 1 25因为船露出水面的部分高0 75米所以h yA 0 75 2米答 水面上涨到与抛物线拱顶距2米时 小船开始不能通行 点评 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧 课时升华 本课时重点是抛物线的定义 四种方程及几何性质 难点是四种方程的运用及对应性质的比较 辨别和应用 关键是定义的运用 在复习过程中注意以下几点 1 求抛物线方程时 若由已知条件可知曲线是抛物线 一般用待定系数法 若由已知条件可知曲线的动点的规律 一般用轨迹法 2 解决焦点弦问题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 3 由于抛物线的离心率e 1 所以与椭圆及双曲线相比 它有许多特殊的性质 而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的 4 抛物线方程中 字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离 p 2等于焦点到抛物线顶点的距离 牢记它对解题非常有益 5 求抛物线方程时 要依据题设条件 弄清抛物线的对称轴和开口方向 正确地选择抛物线标准方程 6 在解题中 抛物线上的点 焦点 准线三者通常与抛物线的定义相联系 所以要注意相互转化 7 焦半径 抛物线上的点M到焦点F的距离叫焦半径 8 抛物线中与焦点弦有关的一些的性质 1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 抛物线的通径为2p 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 3 若抛物线y2 2px p 0 的焦点弦为AB A x1 y1 B x2 y2 则 AB x1 x2 p x1x2 p2 4 y1y2 p2 体验高考 1 2009年宁夏海南卷 已知抛物线C的顶点坐标为原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线C交于A B两点 若P 2 2