第2章 2.6微分中值定理与补充练习.doc

微分：函数增量 微分 导数*自变量增量-（看作泰勒公式的特例）P.143 8 x 表示上述公式中的自变量的增量1.1微分中值定理11.1.1主要内容11.1.2小结11.1.3求分段函数在分段点的可导性21.1.4利用拉格朗日中值公式证明不等式21.1.5习题21.1.5.1题821.1.5.213题21.1.5.314题31.1.62.6补充题31.1 微分中值定理1.1.1 主要内容1.微分中值定理1) 罗尔定理2) 拉格朗日中值定理3) 柯西中值定理2.几个中值定理之间的联系与区别3.中值定理的应用1.1.2 小结1 证明方程根的存在性a) 介值定理、零点定理b) 罗尔定理（化方程为另外一个函数的导数）2 证明导函数方程根的存在性：罗尔定理a) 结论包含函数的一阶导数（二阶导数也可以考虑用）3 证明根的唯一性a) 反证法：结合罗尔定理来证明4 证明不等式：拉格朗日中值定理a)b) 在区间上应用，得5注意：（1）左端“存在”一个点（2）右端“任意”，（且a，b可均为变量，）利用拉格朗日中值定理，可以分析：（1） 可以研究某点导数的符号；（2） 可以研究某些函数的取值范围：要利用 或 （也可用于证明不等式）（3）考虑下列结论的综合应用：（1）局部保号性（及推论）、介值定理（及推论）、导数定义（及左右导数）、三个中值定理1.1.3 求分段函数在分段点的可导性（1） 方法1：根据定义（2） 方法2：如果在分段点连续；且在右去心邻域内可导，则右导数=.1.1.4 利用拉格朗日中值公式证明不等式（1） 在x0,x或x,x0应用中值公式得到f(?)与f(x)的关系式（一个方程）； 联想到：根据acx或xca，可以确定f(c)的范围，从确定讨论f(x)的取值范围。应用难点：确定f(x)则根据，可以确定的范围，构造不等式。1.1.5 习题1.1.5.1 题8曲线1（直线）：连接曲线2个端点的弦；或曲线2：acba,c c,bF(x)=01.1.5.2 11题1.1.5.3 12题1.1.5.4 13题提示：（1） 用倒推法分析（2） 结论中涉及存在2个点-可能要用2次中值定理（才能产生2个点）（结论）猜测：对这2个函数分别用拉格朗日中值定理满足拉格朗日中值定理条件，满足拉格朗日中值定理条件1.1.5.5 14题f(x)与x3 柯西或（拉格朗日）对?(x)应用拉格朗日中值定理先用柯西中值定理：再用拉格朗日中值定理：1.1.6 2.6补充题21设函数上连续，在内可导，在内至少有一个零点，且，求证证 设是的一个零点，即，据拉格朗日定理，所以相加即得22设函数在上连续，在内可导，证明存在，使得证 令，则在上连续，在内可导，且，据罗尔定理，必存在，使得。而故得23设函数和在上连续，在内存在二阶导数，且，认证：（1）在内；（2）在内至少存在一点，使。证（1）用反证法。若存在点使，则对在与上用罗尔定理，存在使再对在上用罗尔定理，知存在的假设矛盾，故在（2）令易知 对在上用罗尔定理，知存在，使，即因为，故得26设在区间上具有二阶导数，且，证明存在和使及证 （1）先证存在法一 用反证法。若不存在使，则在上恒有或，不妨设（对情况类似可证），则从而，与已知条件矛盾，所以在内至少存在一点，使。法二 不妨设 (情况类似可证)，即有故存在同理存在显然，在上用零点定理，可知存在，使（2）证明存在，使由及罗尔定理知，存在，使，再在上对用罗尔定理，知存在，使.28. 设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得.证