第4次课 计算方法插值.pdf

1 计算方法计算方法 2 插值方法插值方法 航空科学与工程学院航空科学与工程学院 2 2 3 3 Aitken插值插值 Aitken插值表插值表 插值方法插值方法 3 递推公式递推公式 1 111 11 ik kikkki kiik xxxx fxfxfxik xxxx 初值 初值 f0 xi f xi 插值方法插值方法 4 2 3 4 牛顿插值公式牛顿插值公式 差商差商 对于给定的函数对于给定的函数f x 记 记f x0 x1 xn 为为 节点的节点的n阶差商 阶差商 0阶差商阶差商 f xi n阶差商阶差商 12011 01 0 0 0 n nnk nn k n kj j j k f x xxf x xxf x f x xx xx xx 插值方法插值方法 5 插值方法插值方法 差商表差商表 6 001001201 0101 0101 nn nn n f xf xf xxxxf x x xxxxx f x xxxxxxxx f x xx x xxxxxx pxR x 插值方法插值方法 1010 102100100 nn n xxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxp 牛顿插值公式牛顿插值公式 插商形式插商形式 7 总结总结 1 对第对第1类问题的类问题的3种插值方法 种插值方法 2 一致性一致性 解的唯一性 解的唯一性 插值方法插值方法 8 回顾回顾 几个典型问题 几个典型问题 问题问题1 设函数设函数y f x 定义域为定义域为 a b x0 x1 xn是是 a b 上的上的n 1个互异点 且个互异点 且yi f xi 已知 要构造一个函数已知 要构造一个函数g x 使得 使得 g xi yi i 0 1 n 第第1类类 问题问题3 问题问题1 问题问题2 即过给定点 也要求导数相同 即过给定点 也要求导数相同 第第3类类 问题问题4 插值方法插值方法 问题问题2 求做求做n次多项式次多项式pn x 使满足条件 使满足条件 为一组已给数据 为一组已给数据 第第2类类 00 0 1 kk n pxykn 1 0 0 nky k 9 2 4 问题问题2 Taylor插值插值 问题问题2 求做 求做n次多项式次多项式pn x 使满足条件 使满足条件 为一组已给数据 为一组已给数据 nkyxf kk 1 0 00 nkyxp kk n 1 0 00 1 0 0 nky k Taylor多项式多项式 且且 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxp 2 0 02 0 0 00 0 Taylor余项定理余项定理 插值方法插值方法 1 0 1 1 n n n xx n f xpxf 10 2 5 问题问题3 Hermite插值插值 Lagrange Aitken Newton插值要求过已插值要求过已 知点知点 插值方法插值方法 Taylor插值要求节点导数相同插值要求节点导数相同 综合 综合 问题问题3 即要求过节点即要求过节点 全部或部分全部或部分 又 又 要求节点要求节点 全部或部分全部或部分 处导数相同 处导数相同 11 典型问题典型问题 求函数求函数f x 的二次近似式的二次近似式p2 x 满足 满足 p2 x0 f x0 y0 p 2 x0 f x0 y 0 p2 x1 f x1 y1 插值方法插值方法 12 解法解法1 令令p2 x c0 c1 x x0 c2 x x0 x x1 则有 则有 c0 y0 c1 y1 y0 x1 x0 1 0 01 01 01 2 y xx yy xx c 插值方法插值方法 13 解法解法2 基函数法 基函数法 特例 特例 求函数求函数f x 的二次近似式的二次近似式p2 x 满足 满足 p2 0 f 0 y0 p 2 0 f 0 y 0 p2 1 f 1 y1 插值方法插值方法 14 令令 p2 x y0 0 x y1 1 x y 0 0 x 式中 基函数式中 基函数 0 x 1 x 0 x 均为二次式 均为二次式 满足 满足 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 插值方法插值方法 15 得 得 0 x 1 x 1 x 1 x x2 0 x x 1 x 插值方法插值方法 16 原来的问题原来的问题 求函数求函数f x 的二次近似式的二次近似式p2 x 满足 满足 p2 x0 f x0 y0 p 2 x0 f x0 y 0 p2 x1 f x1 y1 插值方法插值方法 17 单位化 令单位化 令h x1 x0 z x x0 h 则则z1 x1 x0 h z0 0 仍记 仍记x z 有有x1 1 x0 0 令令p2 x y0 0 x y1 1 x y 0 0 x 式中 基函数式中 基函数 0 x 1 x 0 x 均为二次式 均为二次式 满足 满足 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 插值方法插值方法 18 从而 从而 其中 其中 0 x 1 x 1 x 1 x x2 0 x x 1 x 插值方法插值方法 0 0 0 0 11 0 002 h xx hy h xx y h xx yxp 19 练习题练习题 求函数求函数f x 的三次近似式的三次近似式p3 x 满足 满足 p3 x0 f x0 y0 p 3 x0 f x0 y 0 p3 x1 f x1 y1 p 3 x1 f x1 y 1 插值方法插值方法 20 特例特例 求函数求函数f x 的三次近似式的三次近似式p3 x 满足 满足 p3 x0 f x0 y0 p 3 x0 f x0 y 0 p3 x1 f x1 y1 p 3 x1 f x1 y 1 且且x0 0 x1 1 21 令令 满足满足 插值方法插值方法 1 10 011003 xyxyxyxyxp 0 x x 1 2 1 2x 1 x x2 2x 3 0 x x x 1 2 1 x x2 x 1 22 从而 从而 式中 式中 0 x x 1 2 1 2x 1 x x2 2x 3 0 x x x 1 2 1 x x2 x 1 0 1 1 0 0 0 0 11 0 003 h xx hy h xx hy h xx y h xx yxp 插值方法插值方法 23 2 6 一个新问题一个新问题 分段插值法分段插值法 问题问题 一般观点 一般观点 1 节点数越多 插值函数越精确 节点数越多 插值函数越精确 2 插值函数的阶次越高 越精确 插值函数的阶次越高 越精确 插值方法插值方法 24 高次插值的龙格现象高次插值的龙格现象 f x 1 1 x2 5 x 5 大范围高次插值并大范围高次插值并 不是最好的选择 不是最好的选择 插值方法插值方法 25 x P 3 01 0 999 3 015 3 02 0 9993 3 03 0 9995 3 04 0 9997 3 05 0 9998 3 06 0 9998 3 07 0 9999 3 08 0 9999 3 09 1 26 分段插值分段插值 将被插函数逐段多项式化将被插函数逐段多项式化 1 将所考察的区间进行将所考察的区间进行分划分划 a x0 x1 xn b 2 在每个子在每个子段段 xi xi 1 上构造上构造插值多项式插值多项式sk x 3 将每个区间上的插值多项式进行拼接 将每个区间上的插值多项式进行拼接 如果函数如果函数sk x 在分划在分划 上的每个子段上的每个子段 xi xi 1 上都是上都是 k次式 则称为具有分划次式 则称为具有分划 的的分段分段k次式次式 点 点 xi i 0 1 2 n 称为称为sk x 的的节点节点 插值方法插值方法 27 特点特点 1 简单 收敛 简单 收敛 2 精度高 精度高 3 局部性质 局部性质 插值方法插值方法 28 Exercises 习题习题1 第第41页页 的第的第24 27 29 33题 题 插值方法插值方法 29 2 7 问题问题3 样条函数样条函数 问题产生问题产生 造船 航空等行业对造船 航空等行业对光滑性光滑性的的 特殊需求 特殊需求 在电子计算机应用之前 采用在电子计算机应用之前 采用 样条 样条 spline 绘图 绘图 插值方法插值方法 30 基本概念基本概念 称具有分划称具有分划 a x0 x1 xn b的的分段分段 k次式次式sk x 为为k次样条次样条 spline 函数 如果它在函数 如果它在 每个内节点每个内节点xi i 1 2 n 1 上具有直到上具有直到k 1阶阶 连续导数 连续导数 点点xi i 1 2 n 1 称为样条函数的节点 称为样条函数的节点 插值方法插值方法 31 改进的改进的分段插值分段插值 一次插值 分段插值一次插值 分段插值 样条插值样条插值 插值方法插值方法 32 三次样条插值问题三次样条插值问题 问题 求做具有分划问题 求做具有分划 的三次样条的三次样条S3 x 使满足 使满足 S3 xi yi i 0 1 n S 3 x0 y 0 S 3 xn y n 插值方法插值方法 33 需要满足的条件 需要满足的条件 1 连续性条件连续性条件 已知已知 s3 xi 0 s3 xi 0 i 1 2 n 1 2 光滑性条件中的一阶导数连续光滑性条件中的一阶导数连续 未知未知 s 3 xi 0 s 3 xi 0 i 1 2 n 1 3 二阶导数连续二阶导数连续 未知未知 s 3 xi 0 s 3 xi 0 i 1 2 n 1 插值方法插值方法 34 问题的解法问题的解法 插值方法插值方法 35 练习题练习题 求函数求函数f x 的三次近似式的三次近似式p3 x 满足 满足 p3 x0 f x0 y0 p 3 x0 f x0 y 0 p3 x1 f x1 y1 p 3 x1 f x1 y 1 0 1 1 0 0 0 0 11 0 003 h xx hy h xx hy h xx y h xx yxs 插值方法插值方法 36 式中 式中 hi xi 1 xi xi x xi 1 0 x x 1 2 1 2x 1 x x2 2x 3 0 x x x 1 2 1 x x2 x 1 y i i 1 2 n 1 为未知数 为未知数 1 10 1103 i i ii i i ii i i i i i i h xx yh h xx yh h xx y h xx yxs 插值方法插值方法 37 显然在子段显然在子段 xi xi 1 有 有 1 1 22 3 2 6 1 4 6 1 1 2 6 1 2 6 i i i i i i i i i i i i i i i i y h xx h y h xx h y h xx h y h xx h xs i ii ii i i i ii ii i i h yy yy h xs h yy yy h xs 1 1 2 1 3 1 1 2 3 42 6 24 6 插值方法插值方法 38 连续性要求 连续性要求 s 3 xi 0 s 3 xi 0 i 1 2 n 1 3 22 2 1 2 1 1 1 1 1 i ii i ii i ii i ii h yy h yy h yy h yy 1 1 2 2 1 1 1 2 42 624 6 i ii ii ii ii ii i h yy yy hh yy yy h 插值方法插值方法 39 y 0 y n已知 已知 从而 从而 iiiiii i ii i i ii ii ii i i yyy h yy h yy hh h 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 21 1 21 2 12 2 32 2 32 2 12 011 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 nnnnnn nnnnnn yyy yyy yyy yyy 插值方法插值方法 40 解出节点上的一阶导数值解出节点上的一阶导数值 则插值函数为 则插值函数为 1 10 1103 i i ii i i ii i i i i i i h xx yh h xx yh h xx y h xx yxs 插值方法插值方法 41 2 8 问题问题4 最小二乘法最小二乘法 数据本身有误差数据本身有误差 不要求严格过节点 但要求总体不要求严格过节点 但要求总体 趋势正确 总体