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第四节 一 第一型曲面积分的概念与性质 二 第一型曲面积分的计算法 第一型曲面积分 第九章 一 对面积的曲面积分的概念与性质 引例 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想 采用 可得 求质 大化小 常代变 近似和 求极限 的方法 量M 其中 表示n小块曲面的直径的 曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者 最大值 定义 设 为光滑曲面 乘积和式极限 都存在 的曲面积分 其中f x y z 叫做被积 据此定义 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f x y z 是定义在 上的一 个有界函数 或第一类曲面积分 若对 做任意分割和局部区域任意取点 则称此极限为函数f x y z 在曲面 上对面积 函数 叫做积分曲面 则对面积的曲面积分存在 对积分域的可加性 则有 线性性质 在光滑曲面 上连续 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 积分的存在性 若 是分片光滑的 例如分成两 片光滑曲面 定理 设有光滑曲面 f x y z 在 上连续 存在 且有 二 对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明 由定义知 而 光滑 说明 可有类似的公式 1 如果曲面方程为 2 若曲面为参数方程 只要求出在参数意义下dS 的表达式 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分 见本节后面的例4 例5 例1 计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部 解 思考 若 是球面 被平行平面z h截 出的上下两部分 则 例2 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面 解 设 上的部分 则 与 原式 分别表示 在平面 例3 设 计算 解 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分 它在xOy面上的 投影域为 则 思考 若例3中被积函数改为 计算结果如何 例4 求半径为R的均匀半球壳 的重心 解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 而 用球面坐标 思考题 例3是否可用球面坐标计算 解释什么是球面坐标变换 例5 计算 解 取球面坐标系 则 解释什么是球面坐标变换 例6 计算 其中 是球面 利用对称性可知 解 显然球心为 半径为 利用重心公式 例7 计算 其中 是介于平面 之间的圆柱面 分析 若将曲面分为前后 或左右 则 解 取曲面面积元素 两片 则计算较繁 方法很特殊 强记 例8 求椭圆柱面 位于xOy面上方及平面 z y下方那部分柱面 的侧面积S 解 取 微元法 内容小结 1 定义 2 计算 设 则 曲面的其他两种情况类似 注意利用球面坐标 柱面坐标 对称性 质心公式 简化计算的技巧 基础训练题 1 设 在xOy面上的投影域为 这是 的面积 2 如图
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