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文档简介

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 第八章 常数项级数的概念和性质 一 常数项级数的概念 二 无穷级数的基本性质 三 级数收敛的必要条件 第一节 一 常数项级数的概念 引例1 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正 边形 这个和逼近于圆的面积A 设a0表示 即 内接正三角形面积 ak表示边数 增加时增加的面积 则圆内接正 定义 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数 其中第n项 叫做级数的一般项 级数的前n项和 称为级数的部分和 次相加 简记为 收敛 则称无穷级数 并称S为级数的和 记作 当级数收敛时 称差值 为级数的余项 则称无穷级数发散 显然 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 说明 1 性质2表明收敛级数可逐项相加或减 二 无穷级数的基本性质 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 用反证法可证 推论 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 但 发散 例如 用反证法可证 三 级数收敛的必要条件 注意 并非级数收敛的充分条件 例如 调和级数 虽然 但此级数发散 事实上 假设调和级数收敛于S 则 但 矛盾 所以假设不真 例4 判断下列级数的敛散性 若收敛求其和 解 1 令 则 故 从而 这说明级数 1 发散 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛
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