第一节 导数的概念.doc

第二章 导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少.本章，将在函数与极限两个概念基础上来研究导数与微分.第一节 导数的概念一、引例微分，最早来源于牛顿先生为了描述一些物理学基本概念所设立的数学方法，它最早的应用就是用来描述直线运动速度，曲线的切线问题.对于直线运动的速度，通常，我们在初中课本接触到的速度定义就是路程除以时间，但是，这是个非常不严格的定义.只有在匀速直线运动中，速度=位移/时间.对于一个全过程中速度并不均匀的运动来说，需要描述每一刻的瞬时速度.因为瞬间位移和瞬间时间长相当于都是0，0/0显然是没有实际意义的，所以瞬间的速度不能用瞬间位移除以瞬间时间长来描述.牛顿先生是第一位辩证地看待运动连续过程与运动瞬间的联系的人.他认为，任何的运动，瞬间的速度不是孤立的，而是取决于与之相邻的一小段连续运动的情况.这样，牛顿先生非常创造性地把连续运动的速度=位移/时间这个等式应用到了瞬时速度上！下面先来看第一个问题.1、变速直线运动的瞬时速度问题【引例1】设一物体作变速直线运动，在直线上引入原点，使直线成为数轴.取原点为测量时间的零点，则在物体运动的过程中，对于每一时刻，物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标表示，即与之间存在函数关系：，这个函数称为位置函数.现在我们来求物体在时刻的瞬时速度.瞬时速度本身是一个矛盾体。速度是表征质点运动快慢的物理量。如果没有时间间隔(即瞬时)， 质点就无法运动。从而，也无法体现它的速度。而瞬时速度恰恰是没有时间间隔的速度，这就是矛盾。解决矛盾要用辩证法。为了得到没有时间间隔的速度，先要给一个时间间隔，这样使得运动成为可能。（矛盾运动与辩证法）设在时刻物体的位置为.当经过时刻获得增量时，物体的位置函数相应地有增量（图2-1）， 于是比值就是物体在到这段时间内的平均速度，记作，即.如果时间间隔较短，我们近似认为在这段运动中速度发生了微小到可以忽略为0的改变，也就是近似的匀速.那么，可作为物体在时刻的瞬时速度的近似值.很明显，越小，就越接近时刻的瞬时速度，即(任何变速运动，在小范围内都可以看作匀速运动)，这时就把这个极限值称为物体在时刻的瞬时速度.也就是说，物体运动的瞬时速度是位置函数的增量和时间的增量之比当时间的增量趋于零时的极限. 图2-12、曲线的切线问题在平面几何里，圆的切线被定义为“与曲线只有一个交点的直线”，但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线（见图2-2）.下面给出切线的定义. 图2-2 图2-3 设有曲线及上一点（图2-3），在点外另取上一点，作割线.当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线.【引例2】设曲线的方程为，是曲线上的一个点（即），求曲线在点处的切线的斜率（见图2-4）.在点外另取一点，作割线，割线的斜率为（其中为割线的倾角） （1）当点沿曲线趋于点时，割线绕点旋转而趋于极限位置（直线称为曲线在点处的切线），这时（其中是切线的倾角）.如果当时，（1）式极限存在，设为，即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.所以，切线的斜率为. 由此可见，曲线在点处的纵坐标的增量与横坐标的增量之比，当时的极限即为曲线在点处的切线的斜率. 图2-4二、导数的定义上面我们研究了变速直线运动的速度和曲线的切线斜率，虽然它们分属物理和几何问题，但从数学结构上看，却具有完全相同的形式，即都是函数的增量与自变量的增量之比当自变量的增量趋于零时的极限.在自然科学和工程技术领域，还有许多其它的量，如电流强度、线密度等等，都可归结为这种形式的极限.我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出导数的定义.1、导数的定义定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点+仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为即 （2）也可记作、或. 如果极限（2）不存在，我们说函数在点处不可导.如果不可导的原因是由于时，比式，也往往说函数在点处的导数为无穷大.如果固定，令+，则当时，有，故函数在处的导数也可表示为.有了导数的概念，前面的两个引例可以重述为：（1）变速直线运动在时刻的瞬时速度，就是位置函数在处对时间的导数，即 .（2）平面曲线的切线斜率是曲线纵坐标在该点对横坐标的导数，即 .如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导.这时，对于任一，都对应着一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数的导函数，记作：、或，在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数.在（2）式中把换成，即得导函数的定义式.显然，函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即.2、变化率模型前面我们从实际问题中抽象出了导数的概念，并利用导数的定义可以求一些函数的导数，这当然是很重要的一方面；但另一方面，我们还应使抽象的概念回到具体的问题中去，在科学技术中常把导数称为变化率.对于来说，表示自变量在以与为端点的区间中每改变一个单位时，函数的平均变化量.所以把称为函数在该区间中的平均变化率；把平均变化率当时的极限或称为函数在点处的变化率.变化率反映了函数随着自变量在处的变化而变化的快慢程度.我们可以说：切线的斜率是曲线的纵坐标对横坐标的变化率；瞬时速度是物体位移对时间的变化率.下面我们再举一个经济领域中变化率的例子.在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本.例 产品总成本的变化率设某产品的总成本是产量的函数，即.当产量由变到时，总成本相应地改变量为，则产量由变到时，总成本的平均变化率为.当时，如果极限存在，则称此极限是产量为时的总成本的变化率，又称边际成本.三、左、右导数根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即函数在点处可导的充分必要条件是左、右极限及都存在且相等.这两个极限分别称为在点处的左导数和右导数，记作及，即，. 由此，我们可以得到下面的定理：定理 函数在点处可导的充分必要条件是：在点处的左右导数都存在且相等，即.四、求导数举例 由导数定义可知，求函数的导数可以分为以下三个步骤：1、求增量：处自变量增量为，函数增量为；2、算比值：；3、取极限：.下面，我们根据这三个步骤来求一些基本初等函数的导数.例1 求函数（为常数）的导数.解 （1）求增量：因为，即不论取什么值，的值总等于，所以 ，； （2）算比值：；（3）取极限：即 .例2 求幂函数（为正整数）的导数. 解 （1）求增量：由二项式定理，得（2）算比值： （3）取极限：即 （为正整数）.特别地，当时，.一般地，对于幂函数（是实数），也有.利用这个公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如，当时，的导数为，当时，的导数为.例3 求函数的导数. 解 （1）求增量： （2）算比值： （3）取极限： 即 .同理可证 .例4 求对数函数的导数.解 （1）求增量： （2）算比值：（3）取极限： 即 特别地，当时，得自然对数的导数.五、导数的几何意义 由引例2曲线切线斜率的求法以及导数的定义可知（）：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率.有了曲线在点处的切线的斜率，就很容易写出曲线在该点处的切线方程，事实上，若存在，则曲线上点处的切线方程就是 若，则切线垂直于轴，切线方程就是轴的垂线.若，则过点的法线方程是，而当时，法线为轴的垂线例5 求曲线在点处的切线及法线方程.解 因为，由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，所以，所求的切线方程为 即 法线方程为 即 .六、函数的可导性与连续性的关系定理 如果函数在点处可导，则函数在点处连续.证明 设函数在点可导，即存在.根据函数的极限与无穷小的关系，有 ，其中是当时的无穷小.上式两端同乘以，得 .由此可见，当时，.这就是说，函数在点处是连续的. 所以，如果函数在点处可导，那么函数在点处必连续.但是