离散余弦变换与小波变换的比较.pdf

第 27卷 第 3期河 北 理 工 学 院 学 报Vol127 No13 2005年 8月Journal ofHebei Institute of TechnologyAug 2005 文章编号 1007 2829 2005 03 0053 04 离散余弦变换与小波变换的比较 王培茂 江苏工业学院 计算机工程系 江苏 常州 213016 关键词 离散余弦变换 小波变换 图像编码 摘 要 研究了离散余弦变换和小波变换性能的不同 介绍了离散余弦变换的数学原理及其 应用上的特点 以及小波变换的数学原理和信号处理中的分频特点 最后 对比了离散余弦变 换 DCT 与离散小波变换 DWT 图像编码的性能 得到了它们图像编码各自的优缺点 中图分类号 TP 751 1 文献标识码 A 0 引言 1974年由 Ahmed等人提出的离散余弦变换至今已有 30年的历史 这期间 DCT编码已发展成为 JPEG MPEQ H 26x等图像视频编码标准中的核心 而小波是近十几年才发展并迅速应用到图像和语音分析等众 多领域的数学工具 是继 110多年前建立傅立叶 Joseph Fourier 分析之后的一个重大突破 特别是 Shapiro 的 EZ W 以及 Sald等人的 SPI HT 小波编码的成功应用 对传统的 DCT编码提出了挑战 1 离散余弦变换 离散余弦变换是酉变换的一种 其变换前后的信号熵和能量不变 在时域 或空域 中的 m 维信号 x 其 变换核可分离的正 逆离散余弦变换分别定义如下 X k 2 M c k E M 1 m 0 x m cos 2 m 1 kP 2 M k 0 1 M 1 1 x m 2 M E M 1 m 0 c k X k cos 2 m 1 kP 2 M m 0 1 M 1 2 其中 c k 1 2 k 0 1 k 1 2 3 M 1 3 DCT的各行 列 基矢量均是归一正交的 为了保证变换前后熵或范数相等 由于图像信号的统计特 性接近一阶马氏链 因此 DCT 基矢量与之非常匹配 且不仅 DCT基矢量的设计在多数情况下符合 HVS特 性 而且编解码电路简单 综合 DCT编解码 1 特性及相关性等方面因素 它仅此于理想的 KLT 所以 DCT 在众多变换 DFTDCTKLTWHT 等 中脱颖而出 经过 DCT后的系数主要值集中在左上角低频区域 其中直 流值最大 由于变换后系数矩阵右下角大多数高频系数趋向于零 这样就为结合 HVS特性 采用 有死区 的 量化 Zigzag扫描 截断 DCT的变字长压缩编码创造了条件 更重要的是为数字化图像 视音频信号的压 缩找到了切实可行的方法 尽管带限的频率城模型存在频谱的截断误差 但由于其求解精度和抗噪声能力 较好 该方法同样有助于问题更加准确的描述和求解 这也正是频率方法研究的意义所在 收稿时期 2002 11 16 作者简介 王培茂 1978 男 吉林省长春人 江苏工业学院计算机工程系助教 硕士 2 小波变换 小波分析是把一个信号分解成由原始小波经过移位和缩放后的一系列小波 因此小波是小波变换的基 函数 即小波可以表示一些函数的基函数 小波 wavelet 是定义在有限间隔且平均值为零的函数 设 x t 是平方可积函数记作 x t L2 R U t 是基本小波或母小波的函数 U t 是 U t 的共轭 则 x t 的小 波变换为 WTx a S 1 aQ x t U t S a dt x t 4 式中 a 0是尺度因子 S是反映位移 其值可正可负 当 U t L2 R 满足下面的可容许条件 CW Q W X 2 X dX 5 存在小波变换的反演 式中 W X 是 U t 的频谱 如果用 WTx a S 反演源函数 x t 那么 x t 1 cWQ 0 da a 2Q WTx a S UaS t dS 1 cWQ 0 da a 2Q WTx a S 1 aU 1 S a dS 6 小波变换就是将任意信号表示为小波的叠加 信号的小波叠加表示将信号分解为不同的尺度级 在每 一尺度级 该信号又在这一尺度级对应的分辨率下被分解 尺度级对应着频率 频率越高 对应的分辨率越 高 换句话说 我们将信号分解成了不同的频率通道成份 并将每一频率成份又按相位进行了分解 频率 越高者 相位划分越细 反之则越疏 3 离散余弦变换和小波变换的比较 3 1 反演存在的条件不同 由于离散余弦变换的变换核是可逆的 所以任何一个经过离散余弦正变换后的信号或者图像都存在逆 变换 而对于小波变换而言 所采用的小波必须满足所谓的 容许条件 0 反变换才存在 3 2 都具有能量集中的特点 变换域编码就是通常在时域描述的信号 如声音信号 或空间域描述的信号 如图像信号 变换到另外 一个正交矢量空间 即变换域 中进行描写 并使变换域中描写的各信号分量之间相关性很小或互不相关 从而与变换前相比 其能量更加集中 DCT使实际信号的能量主要集中在低频段 在允许一定误差的条件 下对其进行编码时 可以忽略能量小于某值的频率分量 使数码率降低 现在的 JPEG方法就是采用离散余 弦变换 我们知道它有一个严重的缺陷 在数码率很低时要产生令人眼无法忍受的方块效应 小波变换方法 也属于变换域方法中的一种 由于它具有很好的时 频局部化特性 信号经小波变换后的能量也集中在少数 变换系数上 用它代替 DCT并合理的利用其变换系数的分布特点 可克服 JPEG方法产生的方块效应 获得 较好的压缩效果 3 3 方向选择性不同 图像经过小波变换后 它的各个高频带是图像中的边缘 轮廓和纹理等细节信息的体现 而且各个频带 所表示的边缘 轮廓等信息的方向是不同的 其中包括有 表现水平方向的信息 表现竖直方向的信息 还有 表现对角线方向的信息 小波处理的图像具有良好的空间方向选择性 这与人眼的视觉系统十分吻合 而 离散余弦变换处理的图像不具备这样的方向选择性 3 4 多分辨率分析能力不同 小波变换具有多分辨率分析的能力 算法是采用 M allat提出的多分辨率塔形算法 小波变换处理的图 像各个频带分别对应了原图像在不同尺度和不同分辨率下的细节以及一个由小波变换分解级数决定的最小 尺度 最小分辨率下对原始图像的最佳逼近 小波变换的多分辨率分析能力比 DCT 体现的更为优越 54河 北 理 工 学 院 学 报 第 27卷 3 5 变换系数的比较 基于 DCT的 JPEG图像编码中 图像是经过分块后再做 DCT 这种变换是局部的 只反应图像某一部分 的信息 分块图像经过 DCT后 变换系数有三个特点 系数取值全部集中在 0附近 动态范围很小 用较少 的量化比特数即可表示 DCT系数 DCT变换后图像能量主要集中在图像的低频部分 可以较有效的将它们 组织起来 没有保留原图像块的精细结构 不能反应原图像块的边缘 轮廓等信息 这是由 DCT 缺乏时 频局域性造成的 它不能很好的反应编码图像的细节 再来讨论小波图像编码 对于各个高频带数据 系数 的动态范围很小 大部分取值为零 这和 DCT图像是很近似的 而且 从理论上讲可以得到对于小波图像各 个高频带在均方差下的最优量化器 另一方面 与 DCT 相比 小波变换没有一种简单的方式来组织各个高 频带的系数 这是由于在小波图像中 不为零的系数主要集中在低频带和各个高频带中对应图像边缘 轮廓 位置的地方 而这些边缘 轮廓通常是无序的 对于小波图像一般采用使零码连续出现概率最大的准则来组 织系数 3 6 实验结果 Xiong 2 3 等人对基于离散余弦变换与离散小波变换编码的性能作了系统深入的比较 表 1列出了算法 编码重建图像的比较结果 通过对表中数据的分析容易得出这样一个结论 在率失真方面 压缩效率 比特 率 并不正比于视觉质量 峰值信噪比 的降低 也就是说 DCT 仍然能产生高压缩效率和高峰值信噪比 因 此 DCT仍是未来图像 视频压缩编码中不可缺少的主要工具之一 借助于小波变换来压缩图像 其编码质 量并非任何情况下均占优 譬如 采用内嵌 DCT子带编码算法 0对某些图像进行压缩时还优于 SPI HT0 且 多数 DCT 的计算较小波变换简单 例如 时域信号的卷积对应于 DCT 频域的直接乘积 而小波变换则无此 计算之简单性 表 1 典型图像 Lena和 Barb DCT和 DWT 编码恢复图像的 PNSR比较 比特率压缩编码算法 单位 dB JPEGl mproved JPEGEZ DCTSPI HT bpp LenaBarbLenaBarbL enaBarbLeanBarb 0 2531 6025 2032 3026 7032 2526 8334 1127 58 0 5034 9028 3035 9030 6036 0030 8237 2131 39 0 7536 6031 0038 1033 6038 0633 7039 0434 25 1 0037 9033 1039 6035 9039 6236 1040 4036 41 4 结论 离散余弦变换和小波变换相比 各自有不同的性能 DCT对变换信号的 紧缩有效性和独立于信号本 身的变换基以及变换后的系数游程编码0独具优势 而小波仅在 变换0最为理想 并且 DCT经过了 30年的 理论与实践的丰富与发展 它已在图像压缩上在保证有较高的编码性能同时 从有损发展到 近 无损 功能 上也突破原来 JPEG压缩编码 实现图像处理 分析 理解及技术应用等 形式上也从单纯的 DCT走向与其他 先进变换编码的融合 基于 DWT的编码在低编码压缩比的时候 小波变换得到的图像质量一般要好于传 统基于 DCT的 JPEG编码方法 而在高压缩比时 小波变换得到的图像质量降低很快 需要有更好的系数组 织和编码方式 参考文献 1 刘财 王培茂等 离散余弦变换 DCT 编码在地震勘探数据压缩上的应用 J 吉林大学学报 地球科学版 2004 34 2 277 282 2 X iong Z Orchard M Guleryuz O A DCT based embedded i mage coder J I EEE Signa lProcessing Letters 1996 3 11 289 290 3 X iong Z Orchard R K A comparative study of DCT and wavelet based i mage coding J IEEE Transactions on Circuits and Systems forV ideo Technology 1999 9 8 692 695 55 第 3期 王培茂 离散余统变换与小波变换的比较 Co mparative AnalysisBetween D iscrete Cosine Transform and W aveletTransfor m WANG Pe imao Jiangsu PolytechnicUniversity the Department of Computer Science and Technology Changzhou Jiangsu 213016 China Key words discrete cosine transfor m transform wavelet transfor m picture coding Abstract The study researches the difference between discrete cosine transfor m and wavelet transform The charac ter of DCT abovemathe m atical principle and application is put forward On the contrary wavelet transform is showed that includes itsmathematical principle and peculiarity of frequency division F inally the relativemerits are found in picture coding according to their respective perfor mance 上接第 52页 5 结束语 技术无法根治垃圾邮件的时候 我们期待立法 法律可以对犯罪分子形成威慑却不能消灭犯罪 宣传是 用知识和道德约束人们的行为但没有威慑力 单纯寄希望于某种方法很难有效遏制电子邮件的泛滥趋势 需要采取多管齐下的组合策略 让垃圾邮件无处遁形 参考文献 1 彭树青 1 Inter net垃圾邮件过滤技术研究 J 1信息技术 2003 12 2 沈卫超 1邮件过滤器系统的设计与实现 J 信息与电子工程 2003 2 1 3 魏衍亮 1垃圾邮件法律问题研究 J 1金陵法津评论 2002 1 1 4 赵培云 1电子垃圾邮件的由来及防范 J 1中国信息导报 2003 11 5 付爱英 1实时反垃圾邮件系统的应用 J 1计算机与现代化 2003 9 1 6 冯英健 1Email营销 1 M 1 北京 机械工业出版社 20031 Exploration and analysis of the spam ZHANG Su juanWU Tao MA Jun Department ofAcadem ic Affairs HebeiPolytechnicUniversity TangshanH ebei 063009 China Key words spa m f