第三届数学冬令营竞赛题及解答.pdf

年第 三 期 第三届数学冬令营竞赛题及解答 第三届全 国中学生数 学冬令营于年 月日至日在上海复旦大学举行竞赛 分两天进行 每天三题 时间为小时分 各题均有多种解 法 因篇幅所限 每题仅给 出一种解法 一 设 是给定 的不全为的 实数 是实数 如果不等式 二一 护公一 十 一 再取 一 由 又有 一 之 么 毛寸爹 二 十 盖 由 得到 子名 丫 二 一 蕊 丫尹 呈 一 乏 一 丫 乡 由柯 西不等式 盈 对任何实数 肠成立 求 的值 取 二 由 万了丁丁了一六 一丫 下 个云 了子 置 盆 护 不全为 故由和 了 口 因 可得 了 介 耳丽丁丁 万不 第二 试 本试共有三题 每题满分分 分别记为 求证 一 一串数 的规律是第一个数是 以后的每一个 数等于它前面的一个数加 直到为止 将所有这些数相乘 试 求所得数的尾部零的 个数例如的尾部零 的 个 数是 黑龙江提供 子 十 量 十 聋子落 安徽提供 二 如果尹 夕一 兰上卫都是整 夕 数 并且尹 试求夕的值 宁夏提供 三 如图 丑和 尹是两个 全等的等边三角形 六边形的边长 中等数 学 一 自 一 一翻 曰 由托勒密定理有 镇 且 工工 一 月 毛 一 一一一 一 取 二 八 二 和得到 里 十 二 丫 万草 万车 由知式两端可约 去公因式而得到 一护 一十 一一 由和即得 丫万 十 孟 盖二 将此写入约式右端 即知柯西不等式 中等号成立 从而有实数久 使得 尹 入 几 价 又 代入式即得 凡 叮 武 十 武 十 十 时 再代入 了口 二 设 是同心圆 的半径是 半径 的倍四边形内接于 将 延 长交 圆于 延 长交圆 延的 于 延 长交圆于 长交圆干 试 证四边形 工 周长 又 四边 形 工 的 周 长 确定等号成立的条件 同理有 一 一 片 工 一 四式相加 即得 一 工 为使式中等号成立 当且 仅当 和均为等式 式等号成立 当且仅当四边形 丑 召 内接于圆这时 乙 二 乙 乙 书乙 即 为匕 的平分线同理 分另 为匕 匕 和 匕 的平分线这意味 着为四边形 的 内切圆的圆心二故知四边形 为 正方形 即当且仅当四边形 山 涯 为正方形时式 朴 等号成立 三 在有限项的实数列 口 一 一 证 明记公共圆心为 连接 并请 如果一段数 十 一 的 算术 和在四边形中应用 推广的 平 均值大于 那么我们把这段数叫做一 条 龙 并把 称为这条龙的 龙头 如果某一项 那么单独这一项也 是龙假定中至少存在一条龙 求证 中全 体可以作 为龙头的项 的算 术平均 值也 必定大于 证 明设 十 是一条以 为龙头的最短龙 我们来证明 其中的任一项 钱无十 均可作为 龙头把龙分成两段 曰 年第三 明 一 口 口夕 乃一口价 一 口左 因为是最短龙 是龙 即 厂有 所以 二 二 一 无 十 泛 因为去龙 沂以 之 一 二 一 卜 乏一 才 即 头 二 为一条龙 所以 可 作为龙 在序列中选出以第一个可作为龙 头 的项 为 龙头的最短龙然 后再选 出以其 余项中第一 个可作为龙头 的项为龙头的最短 龙 如此继续下去 因 为为有限序列 这 一 过程进行 苦干次后必 会结束显然 选出的 这些最短龙包含了中全部可作为龙头的 项 而 山前段证明知这 些最短龙中的各项都 可竹为龙头山定义知每条龙的所有项的算 术平 均值都大于 故这些 选 出的最短龙 的所有项的算术平均值也大于 亦即所 有可作为龙头的项的算术平均值大于 四 设三个正实数 满足 笼孟 夕名 乙 求证 一定是某个三 角 形 的 二 条边 长 没儿个正实数 一 满足不等式 于 千 兰 牛 二 一 兰 十 一 卜 鑫 其中二 习之证这些数 中的任何三个一 定是某个三角形的三条 边 长 本题的第一部分实际上 是 证明第二部分 的提示 矛巳容易证明这里我们将其证明省 略而 作为证明后一结论的依据 证明由 一育 圣 十 蕊 一 于 一 卜 孟 一 异 鑫 一 寸 比 一 一 一 才 当视 为变数时 式左端为二次三 项 式且于实数 取负值又因 一 故有 圣 二 认 一 工 一 一一 全 一 孟 一 一 三 一工 整理 得 二 盖 一 一 全 二 盘 一 由此递推可 得 荃夏孟 卫 于 千 查兰 由前一部分的结论知 可 为 某三 角形的三边 长从而再由对称性便知 上 中的任何三数均可 作为某个三 角 形的三边长 五 给出三个四面体且 过点 作平而 刀 分另与棱 刀 垂直 云 如果九个 平 面 刀 夕 石二 相交于一氛石 而 三点 注 注 在 同一直 线上 求三个 四面体的外接球面的交集形状怎样 位置 如何 解连结 云 则 止 土 上 云二 一 五点共球 且 为此球的直 径 落 为所论 一 蕊一 二 伽 一 时 十 心 卜武 一 武 一卜 一 号 二 二 一工 交 三个外按球而的公共点记盛 中点为 则口 为球 心 二 记点与直线 所确定的平 面 为 二 在平而爪七过作 刃 土 于 则尸也是三个所沦外接球面的 一个公共点 通 生 三 点共线 三点共线 此直线在 平面汀上且平分 亦即为关于直 线 口 的对称 点 转对称的 一三 个球面都是关于直线 旋 下转第页 年第三奥梦 中 令 二 得 俏 毖几履 一 仍 二仍 合仍 结论 二 俨的值的各位数字从左到右 就是展开式的系数由左 到右依次 排 列当 时 须 将 此数相应 地进到高 位 上 如 二 时 它是三项三角形第三行 川 二 自是 三项三角形第四 行 寸二 它是三项三角 形 的第五行 它是三项 三角形的第六行 令才 则 价拼 协 了 一 仍 协 一 示丽不而 了 一 二 结论 一 数 良 的各位数字从 左 到右偶数位的数字 全为零 奇数位的数字 是展开式的系数 从左到右的依次排列当 烦将此数相应地进到高位上 如 二 时 它是三项三角形 中第三行数字 中间各加一个零 它是三项三 角形中第四行数字中间各加一个零 等等 一 般地 令 十 得 二 个 个 个 饥 俗 二 个 召协 协 个 结论 二二 似 二 的数值 的各位数字从左到右依次间隔地分为 一 单 数组 和 仍数组 其中每个 二数组 都是由个 组成 而 单数组 是由展开式 的系数由左到右依次排列当 仍 衬 时 必须将此数 相应地进到高位上 作者单位责州时经学院 经济信息系 参考文献 华罗庚 从杨辉锐角谈 起 徐利治蕊茂森 朱自强 计算组合 寸 二 数学 上 海科学技术出版社 一 哟 必 一 一 一 一 一 一一 一一 一 一 一 一 上接页 它们的交集也是关于直线 口 旋转对称 的 过刀作平面 垂直于直线 当然也垂直 于直线 且 在 上 因为和都在所 论三个球面的交集中 所以 三个球面的交 集是在平面上以 尸为直径的圆周 当点 在上时 此圆退化为一个点 此时三个球 面相切于点 六 如 是不小于钩自然数 以 表示不是可勺因数的最小自然数例如 如果 又 一可作 类 似地 如果 又可作 等等如果了 一 一 一一 个 就把翻做几的 长度 如果用 表示 的长度 试对任意的自 然数 求 并证明你的结论 解 当为奇数时 所以 我们指出 对任意 都有 刀 夕 七 转页下 年 第三如 一 二砚刁二 二二 七 目门 其中 是以年为公差 的 等差数列 现在考虑数列 王 为自然数 为非常数等差数列 公 差为 应用余弦降幂公式及公式 即可推导它们的公式 例求证 十 旦 丝 匕 乙 卜 刃一 泥 甲 一 一 路一 十 一 兄一 刀 用余弦降 幂公式 一 奋 等等 例化简 吕 应用公式 十 一 一一 及很容易推得另外 还可求得 又 幼 竺 不 乙 无 生岔 一 任 一 刀 一 宁 全 去 二 一 十 昭 毯 一口 一 一 一一 吕 弓 梦 丝 艺 刀一 立知原式等于抓扰 砂 一 乙 一 鱼己 作 者单位开封 市教育学院 丝 参考文献 门韩世忠 几个三角公式及其应用 数 学通讯 年第期 一一 一一 一 一 一一一 一一一一一 一 一 一 一 一 接第 页 其中夕为质 数而无为 正整 数实际上 若 不成立 设 子 刀 弋 尹盖 其中夕