第九讲 一笔画 学生版.doc

北京名师状元国际教育 名师面对面，顺利上重点，精品五人班 教务86543067人大附校区82523786中关村82522461傲城84920977;万柳82860116;天秀62827601 茉莉园82409188http:/blog ./mszygijy 第九讲 一笔画所谓一笔画，就是从图形上某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次又不重复的图形。什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画的问题，它源自于一个著名的数学故事哥尼斯堡七桥问题。18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题。（所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？）这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快给出人们一个答案！你想知道大数学家欧拉是怎样解决这个问题么？那么我们需要先来了解一下“一笔画”的有关规律！让我们的脑和手一起动起来吧！再学习之前，我想先问问小朋友，什么样的图形你觉得可以一笔画出？是不是简单点的图形可以，复杂的就不可以？下面我们来动手研究一下！【例1】 你能试着用一笔把下列图形画出来么？下面让我们一起来观察一下图形。我们不难发现，这些图形都是由点和线构成的（这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线）每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点两条线相连，有的点与3条线相连等等在这里面我们约定：（1） 从一点出发的线的条数是偶数（双数），这点称为偶点。（2） 从一点出发的线的条数是奇数（单数），这点称为奇点。 【例2】试试看右图能一笔画出么？ 通过研究、总结、归纳，大数学家欧拉发现：不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形 有0个奇点(即全部是偶点)的连通图能够一笔画成(画时可以任一点为起点，最后又将回到该点) 只有两个奇点的连通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点)；奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成最后，综合成一条判定法则： 有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成 能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去了那么我们用这个法则来再次看一下【例1】中部分图形。【例3】请用“一笔画”法则来判别一下，下列图形能否一笔画出。练1、下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画。练2、下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画。这个时候用心的同学可能已经知道：大数学家欧拉是怎么解决“七桥问题”了。那么现在我们回到“七桥问题”看一看！ 欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如下（1）图所示： （1） （2）于是“七桥问题”就等价于图（2）中所画图形的一笔画问题了。（这是一张为了研究而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要）同学们一观察就发现：图（2）中的四个点都是奇点，所以不能一笔画出，当然也不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。“一笔画”问题的发现不仅解决了这个问题，还帮助人们在日常生活中找到了许多智慧，我们一起来看看吧！【例4】右图是商场的平面图，小明的妈妈想不重复地走遍商场的每条通道，节余逛街的时间，她能做到么？如果不能，请说明理由；如果能，请你帮她设计一个行走路线（可以从六个门进出商场）。练1、一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗？练2、小马是一名刚刚参加工作的邮递员，他将他所要走的街道画成地图（见右图），打算设计一种最好的方法，使得自己每天不重复地走遍每一条街道，小马动脑筋想了想，很快就想出了方法。小朋友，你知道小马是怎么走得吗？【例5】右图是一个公园的平面图，要使游客走遍每条路而不重复，出入口应设在哪里？ 练1、右图中的线段代表小路，请你考虑一下，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎样爬?练2、右图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进、出口应设在什么地方？ 【例6】我国著名数学家陈景润所著数学趣谈一书中，有这样一道题：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示。那么，从任一岸出发，不重复地通过所有的桥到达另一岸，能做到吗? 练1、右图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗?(每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走)【例7】 右图是某地区所有街道的平面图。甲、乙二人同时分别从A、 B出发， 以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C，问两人谁能最先到达C？ 【例8】下图中的每一个图形，最少需要几笔画出？ 练习九1. 下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成（在图上标出箭头）；如果不能，请简单说明理由。A组：B组：C组： （4） （5） （6） （7）2判断图中的三个图形，哪个图形能一笔画？为什么？请把能一笔画出的图形的画法用字母和箭头表示出来。3下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？ 3题图 4题图4一张纸上画有如右上所示的图，你能否用剪刀连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？课外小故事马术师的儿子梦想的力量哲理的故事 有一个马术师的儿子，从小就跟着父亲东奔西跑，到各个农场去给别人训I练马匹。等到他上了初中，老师让全班同学以“长大后的志愿”为题写一篇作文。小男孩儿洋洋洒洒写了七页纸，详细描绘了自己的志愿：拥有一座属于自己的牧场。他还附上了一张设计图，上面标明了马厩、跑道等位置，位于牧场中央的是占地400平方米的一座巨型豪宅。 但是，作文交上去后，结果却出乎他的意料：老师竟然给了他不及格!他拿着作文去质问老师：“为什么不及格?”老师对他说：“要盖这么大一座牧场，还要买马匹、照顾它们，需要一大笔钱。而你一没钱，二没家庭背景，这样的志愿简直是白日做梦，太离谱啦。你不要好高骛远了。如果你重新写一个不离谱的志愿，我可以重新给你打分。” 男孩儿回家后征询了父亲的意见。父亲只是告诉他：“这是非常重要的决定，你必须自己拿主意。”经过反复的思考，男孩儿终于下了决心：将作文再交上去，一个字都不改。他对老师说，即便得个不及格的分数，也决不放弃梦想! 二十多年后，那位老师带着一群新学生参加一个夏令营。他们来