第六章-1变分法的基本概念.ppt

第5章变分法及其在最优控制中的应用 主要内容 变分法的基本概念连续系统的动态最优化连续系统的最优控制离散线性系统最优控制 5 1最优控制的基本概念 实例1 飞船的月球软着陆问题 飞船的总质量m 高度h 垂直速度v 月球重力加速度g 飞船自重M 燃料重量F 推力u t 飞船的运动方程 实例1 飞船的月球软着陆问题 续 初始状态 0时刻 h 0 h0 v 0 v0 m 0 M F终点条件 tf时刻 h tf 0 v tf 0约束 推力u t 满足目标 选择推力u t 使J m tf 达到最小 即燃料最省 实例2 间歇化学反应器的最大产量问题 反应器内化学反应 其中反应速率常数k1 T k2 T 与温度相关反应器内的物料平衡方程 实例2 间歇化学反应器的最大产量问题 续 初始状态 t0时刻 C1 t0 1 0 C2 t0 0约束 反应器内温度T t 满足目标 确定温度T t 的变化 使得时刻tf时B物质的产量C2 tf 为最大 即在约束条件下求J C2 tf 的最大的问题 最优控制的基本概念 被控系统的数学模型目标集容许控制性能指标最优控制问题的描述 1 被控系统的数学模型 将最优控制问题抽象为数学问题用非线性时变系统的状态空间模型描述最优控制问题其中 系统的状态向量 为系统的控制 输入 向量 为系统的输出向量 分别为关于状态想力量 输入向量和时间t的非线性函数向量 2 目标集 动态系统 6 1 1 在输入u t 的作用下 总会从一个状态转移到另一个状态在最优控制中 动态系统的初始状态通常是已知的 即x t0 x0已知 而所要达到的末端状态是控制要达到的目标 它可以是状态空间中的一个点 也可以是预先规定的某个范围末端状态的集合称为目标集 记为M 3 容许控制 输入向量u t 的各个分量 控制量 具有不同的物理含义在实际系统中 大多数的控制量受到客观条件的限制 只能在一定范围内取值控制域 由控制量约束条件所规定的集合 记U0容许控制 在闭区间 t0 tf 上有定义 且在控制域U内取值的控制函数u t 记为 4 性能指标 性能指标 衡量控制效果好坏或评价控制品质的函数一般形式 式中 右边第一项为末端性能指标 是对末端状态的要求 第二项为积分形式指标 是对系统状态变化过程中的状态和控制的要求 4 性能指标 续 性能指标的三种形式Lagrange形式Bolza形式Mayer形式 5 最优控制问题的描述 已知被控系统的状态方程及初始条件为目标集为求一容许控制 使系统由初始状态x0出发 在时刻tf t0时刻转移到目标集M同时使得性能指标最小 5 最优控制问题的描述 续 如果上述问题有解u t 则u t 叫做最优控制 相应的状态轨线x t 叫做最优轨线 而性能指标J J u t 则为最优性能指标 5 2变分法的基本概念 变分法是研究泛函极值的一种经典方法 从十七世纪末开始逐渐发展成一门独立的数学分支 例 求连接平面上A B两点间的最短弧长 0 泛函与函数的对比 函数的定义设有一变量x 它的取值范围是一数集X 如果在X内所取的每一数值x 根据一确定的法则f 有另一变量y的唯一确定的数值与它相对应 则称y是x的函数 记作y f x x 自变量 y 函数 泛函的定义对于某一类函数集合中的每一个函数y x 均有一个确定的数J与之对应 那么就称J为依赖于函数y x 的泛函 记作J J y x x 自变量y 宗量J 泛函 容许函数类 空间 一个泛函定义于其上的函数类 称为对应于该泛函的容许函数类 Y称为容许函数类 空间 定义域自变量的取值范围 称为函数的定义域 D称为定义域 函数的接近零阶接近一阶接近 邻域 泛函中距离的定义 实变函数中距离的定义 泛函的极值如果泛函J y x 在任何一条与接近的曲线上的值不小于 大于 即则称泛函J y x 在曲线达到极大 小 值 若 由所限定的x0邻域内 总有则称点x0是函数y x 的一个极小 大 值 宗量的变分其中是属于同一函数类中两个不同的函数 也是独立变量x的函数 自变量x的微分dx 泛函的连续性对于任何一个正数可以找到这样一个当时 就有那么就称泛函J y x 在曲线y0处是连续的 函数的连续性对于任何一个正数可以找到这样一个当时 就有那么就称函数y x 在点x0处是连续的 线性泛函连续泛函J y x 如果满足下列两个条件其中c为任意常数 则称为线性泛函 线性函数 泛函的变分若连续泛函J y x 的增量可以表示为且其中右边第一项是宗量的线性连续泛函 第二项是关于宗量的高阶无穷小 就将第一项叫做泛函的变分 并记为 函