第二章(第三讲)习题课.pdf

1 1 1 1 第二章 参数估计 习题课 第一章 数理统计的基本概念 2 2 2 2 解 例1 设总体设总体设总体设总体X X X X在区间在区间在区间在区间从总体中随机抽取容从总体中随机抽取容从总体中随机抽取容从总体中随机抽取容 125125125125 XXXXXXXXXXXX 求求求求 0 3 0 3 0 3 0 3 上服从均匀分布 上服从均匀分布 上服从均匀分布 上服从均匀分布 125125125125 max 2 max 2 max 2 max 2 PXXXPXXXPXXXPXXX 量为量为量为量为5 5 5 5的样本的样本的样本的样本 设总体的分布函数为 设总体的分布函数为 设总体的分布函数为 设总体的分布函数为 F xF xF xF x 则随机变量则随机变量则随机变量则随机变量 125125125125 max max max max XXXXXXXXXXXX 分布函数为 分布函数为 分布函数为 分布函数为 5 5 5 5 maxmaxmaxmax FxF xFxF xFxF xFxF x 于是 有 于是 有 于是 有 于是 有 125125125125 max 2 max 2 max 2 max 2 PXXXPXXXPXXXPXXX 125125125125 1 max 2 1 max 2 1 max 2 1 max 2 PXXXPXXXPXXXPXXX maxmaxmaxmax 1 2 1 2 1 2 1 2 F F F F 5 5 5 5 1 2 1 2 1 2 1 2 F F F F 5 5 5 5 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 0 8683 0 8683 0 8683 0 8683 5 5 5 5 maxmaxmaxmax FxF xFxF xFxF xFxF x 5 5 5 5 5 5 5 5 0 00 00 00 0 03 03 03 03 3 3 3 3 1 31 31 31 3 x x x x x x x x x x x x x x x x 0 00 00 00 0 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x x x x x F xxF xxF xxF xx x x x x 3 3 3 3 解 由题意可知 由题意可知 由题意可知 由题意可知 例2 设总体设总体设总体设总体样本均值为 样本均值为 样本均值为 样本均值为 X X X X求 求求求 2 2 2 2 52 6 3 52 6 3 52 6 3 52 6 3 N N N N中随机抽取容量为中随机抽取容量为中随机抽取容量为中随机抽取容量为36363636的样本 的样本 的样本 的样本 50 853 8 50 853 8 50 853 8 50 853 8 PXPXPXPX 50 853 8 50 853 8 50 853 8 50 853 8 PXPXPXPX 样本容量为样本容量为样本容量为样本容量为36 36 36 36 n n n n 总体总体总体总体 2 2 2 2 52 6 3 52 6 3 52 6 3 52 6 3 XNXNXNXN 于是 于是 于是 于是 52 52 52 52 E XE XE XE X 22222222 6 3 6 3 6 3 6 3 D XD XD XD X 由于由于由于由于 X X X X U U U U n n n n 0 1 0 1 0 1 0 1 N N N N 52525252 6 3 366 3 366 3 366 3 36 X X X X 52525252 6 6 6 6 6 36 36 36 3 X X X X 所以所以所以所以 50 853 8 50 853 8 50 853 8 50 853 8 PXPXPXPX 50 8525253 85250 8525253 85250 8525253 85250 8525253 852 666666666666 6 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 3 X X X X P P P P 1 141 711 141 711 141 711 141 71PUPUPUPU 10 2510 2510 2510 25 0 750 750 750 75 5 5 5 5 解 例4 从总体从总体从总体从总体 求求求求 2 2 2 2 N N N N 中抽取容量为中抽取容量为中抽取容量为中抽取容量为16161616的样本 样本的方差为 的样本 样本的方差为 的样本 样本的方差为 的样本 样本的方差为 22222222 2 038533 2 038533 2 038533 2 038533 P SP SP SP S 2 2 2 2 S S S S 1 1 1 1 2 2 2 2 若若若若 2 2 2 2 已知 求已知 求已知 求已知 求 2 2 2 2 D SD SD SD S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 nSnSnSnS 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 038533 2 038533 2 038533 2 038533 S S S S P P P P 2 2 2 2 2 2 2 2 161 161 161 161 161 2 038533 161 2 038533 161 2 038533 161 2 038533 S S S S P P P P 2 2 2 2 30 578 30 578 30 578 30 578 P P P P 2 2 2 2 1 30 578 1 30 578 1 30 578 1 30 578 P P P P 10 0110 0110 0110 01 0 99 0 99 0 99 0 99 2 2 2 2 22222222 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 nSnSnSnS D SDD SDD SDD SD n n n n 2 2 2 2 22222222 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 nSnSnSnS D D D D n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 DnDnDnDn n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n 4 4 4 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1n n n n 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 D SD SD SD S n n n n 结论 结论 结论 结论 4 4 4 4 2 2 2 2 15151515 牢记牢记牢记牢记 6 6 6 6 解 例5 设设设设 0 1 0 1 0 1 0 1 N N N N为总体为总体为总体为总体 2 2 2 2 S S S S与与与与X X X X的样本 的样本 的样本 的样本 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 D XSD XSD XSD XS n n n n 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 分别为样本的均值分别为样本的均值分别为样本的均值分别为样本的均值 与样本方差 求与样本方差 求与样本方差 求与样本方差 求 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 i i i i XNinXNinXNinXNin X X X X n Xn Xn Xn X 2 2 2 2 nXnXnXnX 1 1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 NinNinNinNin n n n n 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 NinNinNinNin 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 D SD SD SD S 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1n n n n 注意到注意到注意到注意到 2 2 2 2 S S S S与与与与X X X X相互独立 相互独立 相互独立 相互独立 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 D XSD XSD XSD XS n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 D XD SD XD SD XD SD XD S n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11111111 DnXD SDnXD SDnXD SDnXD S nnnnnnnn 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnn D nD nD nD nD SD SD SD SX X X X 22222222 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n nn n n nn n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 n nn nn nn n 7 7 7 7 证明 2 2 2 2 1 1 1 1 U U U U T T T T n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n nSnSnSnS 例6 设总体设总体设总体设总体 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n i i i i i i i i XXXXXXXX n n n n 记 记 记 记 从总体中抽取样本从总体中抽取样本从总体中抽取样本从总体中抽取样本 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n XXXXXXXXn n n n t nt nt nt n nSnSnSnS 121121121121 n n n n XXXXXXXXXXXX 证明 证明 证明 证明 2 2 2 2 XNXNXNXN 22222222 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n nininini i i i i SXXSXXSXXSXX n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n XNXNXNXN 2 2 2 2 n n n nXNnXNnXNnXNn 注意到注意到注意到注意到 n n n nX X X X与 与与与 1 1 1 1n n n n X X X X 相互独立相互独立相互独立相互独立 将将将将 1 1 1 1 n n n n n n n n XXXXXXXX 标准化 可得 标准化 可得 标准化 可得 标准化 可得 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n XXNXXNXXNXXN n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n n n n n XXXXXXXX U U U U n n n n n n n n 0 1 0 1 0 1 0 1 N N N N 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n XXXXXXXXn n n n n n n n 又又又又 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n 且且且且U U U U与与与与 2 2 2 2 相互独立 相互独立 相互独立 相互独立 由由由由t t t t分布得 分布得 分布得 分布得 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n XXXXXXXXn n n n n n n n nSnSnSnS n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n XXXXXXXXn n n n nSnSnSnS 1 1 1 1 t nt nt nt n 8 8 8 8 解 22222222 21212121 22222222 12121212 S S S S F F F F S S S S 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 由已知可知 由已知可知 由已知可知 由已知可知 例7 分别独立地从正态总体分别独立地从正态总体分别独立地从正态总体分别独立地从正态总体 1 1 1 1 4 4 4 4 N N N N 中抽取样本 样本中抽取样本 样本中抽取样本 样本中抽取样本 样本 2 2 2 2 1 1 1 1 S S S S和和和和 和和和和 22222222 12121212 0 3656 6 78 0 3656 6 78 0 3656 6 78 0 3656 6 78 PSSPSSPSSPSS 1 1 1 1 2 2 2 2 N N N N 容量分别为容量分别为容量分别为容量分别为10101010和和和和9 9 9 9 样本方差分别为 样本方差分别为 样本方差分别为 样本方差分别为求求求求 2 2 2 2 2 2 2 2 S S S S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又又又又 12121212 1 1 1 1 1 1 1 1 F nnF nnF nnF nn 1 1 1 1 10 10 10 10 n n n n 2 2 2 2 9 9 9 9 n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 S S S S S S S S 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S S S S S S S S 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 36566 78 0 36566 78 0 36566 78 0 36566 78 S S S S P P P P S S S S 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 36566 780 36566 780 36566 780 36566 78 222222222222 S S S S P P P P S S S S 0 18283 39 0 18283 39 0 18283 39 0 18283 39 PFPFPFPF 查查查查F F F F分布表 可知 分布表 可知 分布表 可知 分布表 可知 0 050 050 050 05 10 1 9 1 10 1 9 1 10 1 9 1 10 1 9 1 F F F F 0 050 050 050 05 9 8 9 8 9 8 9 8 F F F F 3 39 3 39 3 39 3 39 0 990 990 990 99 10 1 9 1 10 1 9 1 10 1 9 1 10 1 9 1 F F F F 0 990 990 990 99 9 8 9 8 9 8 9 8 F F F F 0 010 010 010 01 1 1 1 1 8 9 8 9 8 9 8 9 F F F F 1 1 1 1 5 475 475 475 47 0 1828 0 1828 0 1828 0 1828 0 1828 0 1828 0 1828 0 1828 P FP FP FP F 3 39 3 39 3 39 3 39 P FP FP FP F 0 05 0 05 0 05 0 05 0 99 0 99 0 99 0 99 由此可知 由此可知 由此可知 由此可知 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 36566 78 0 36566 78 0 36566 78 0 36566 78 S S S S P P P P S S S S 0 99 0 050 94 0 99 0 050 94 0 99 0 050 94 0 99 0 050 94 9 9 9 9 解 1 1 1 1 E XE XE XE X 例8 设总体设总体设总体设总体X X X X服从服从服从服从 0 00 00 00 0 分布 其密度函数为 分布 其密度函数为 分布 其密度函数为 分布 其密度函数为 求求求求为未知参数 为未知参数 为未知参数 为未知参数 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x xexxexxexxex f xf xf xf x x x x x 其中其中其中其中 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 来自总体来自总体来自总体来自总体X X X X的样本 的样本 的样本 的样本 矩估计 矩估计 矩估计 矩估计 总体的一阶原点矩 总体的一阶原点矩 总体的一阶原点矩 总体的一阶原点矩 1 1 1 1 0 0 0 0 x x x x xxedxxxedxxxedxxxedx 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x xedxxedxxedxxedx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 总体的二阶原点矩 总体的二阶原点矩 总体的二阶原点矩 总体的二阶原点矩 2 2 2 2 2 2 2 2 E XE XE XE X 21212121 0 0 0 0 x x x x xxedxxxedxxxedxxxedx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x xedxxedxxedxxedx 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 10101010 用样本的用样本的用样本的用样本的k k k k阶原点矩来估计总体的阶原点矩来估计总体的阶原点矩来估计总体的阶原点矩来估计总体的k k k k阶原点矩 可得 阶原点矩 可得 阶原点矩 可得 阶原点矩 可得 11111111 1 1 1 1 2 2 2 2 222222222 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i n n n n i i i i i i i i XAXAXAXA n n n n XAXAXAXA n n n n 反解以上方程组 可得反解以上方程组 可得反解以上方程组 可得反解以上方程组 可得 矩估计为 矩估计为 矩估计为 矩估计为 22222222 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222 21212121 11111111 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222 21212121 11111111 11111111 11111111 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii A A A AXXXXXXXX AAAAAAAA XXXXXXXXXXXXXXXX nnnnnnnn A A A AXXXXXXXX AAAAAAAA XXXXXXXXXXXXXXXX nnnnnnnn 注意 注意 注意 注意 2 2 2 2 22222222 2 2 2 2 11111111 11111111 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii BXXXXBXXXXBXXXXBXXXX nnnnnnnn 样本的二阶中心矩 样本的二阶中心矩 样本的二阶中心矩 样本的二阶中心矩 11111111 0 0 0 0 1 1 1 1 X X X X 合合合合格格格格 次次次次品品品品 设该批产品的次品率为设该批产品的次品率为设该批产品的次品率为设该批产品的次品率为p p p p 解 概率函数为 概率函数为 概率函数为 概率函数为 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 xxxxxxxx P XxppxP XxppxP XxppxP Xxppx 对这件产品的检验结果可以用以下随机变量表示 对这件产品的检验结果可以用以下随机变量表示 对这件产品的检验结果可以用以下随机变量表示 对这件产品的检验结果可以用以下随机变量表示 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 iiiiiiii n n n n xxxxxxxx i i i i L pppL pppL pppL ppp 从这批产品中随机抽取一件产品时 从这批产品中随机抽取一件产品时 从这批产品中随机抽取一件产品时 从这批产品中随机抽取一件产品时 则则则则X X X X服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为p p p p的的的的 0 0 0 0 1 1 1 1 分布 分布 分布 分布 例9 从一大批产品中随机抽取从一大批产品中随机抽取从一大批产品中随机抽取从一大批产品中随机抽取n n n n件 发现其中有件 发现其中有件 发现其中有件 发现其中有k k k k件次品 用最大件次品 用最大件次品 用最大件次品 用最大 似然估计法估计这批产品的次品率 似然估计法估计这批产品的次品率 似然估计法估计这批产品的次品率 似然估计法估计这批产品的次品率 12121212 n n n n xxxxxxxxxxxx 从总体中抽取样本观测值为从总体中抽取样本观测值为从总体中抽取样本观测值为从总体中抽取样本观测值为则似然函数为 则似然函数为 则似然函数为 则似然函数为 11111111 1 1 1 1 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii xnxxnxxnxxnx pppppppp 则对数似然函数为 则对数似然函数为 则对数似然函数为 则对数似然函数为 11111111 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii xnxxnxxnxxnx L pppL pppL pppL ppp 11111111 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii xpnxpxpnxpxpnxpxpnxp 12121212 令对数似然函数的导数为零 得 令对数似然函数的导数为零 得 令对数似然函数的导数为零 得 令对数似然函数的导数为零 得 11111111 ln 11ln 11ln 11ln 11 1 1 1 1 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii dL pdL pdL pdL p xnxxnxxnxxnx dpppdpppdpppdppp 11111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii pxp nxpxp nxpxp nxpxp nx pppppppp 111111111111 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnnnnnnnnn iiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiii xpxnppxxpxnppxxpxnppxxpxnppx pppppppp 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i xnpxnpxnpxnp pppppppp 0 0 0 0 解得参数解得参数解得参数解得参数p p p p的最大似然估计值为 的最大似然估计值为 的最大似然估计值为 的最大似然估计值为 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i pxxpxxpxxpxx n n n n 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i xkxkxkxk k k k k p p p p n n n n 这批产品的次品率的最大似然估计值为 这批产品的次品率的最大似然估计值为 这批产品的次品率的最大似然估计值为 这批产品的次品率的最大似然估计值为 如果如果如果如果 80 2 80 2 80 2 80 2 nknknknk 则有 则有 则有 则有 0 025 0 025 0 025 0 025 p p p p 13131313 01 1 2 01 1 2 01 1 2 01 1 2 i i i i xinxinxinxin 解 似然函数取对数 得 似然函数取对数 得 似然函数取对数 得 似然函数取对数 得 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i Lf xLf xLf xLf x 似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为 例10 设总体设总体设总体设总体X X X X的概率密度函数为的概率密度函数为的概率密度函数为的概率密度函数为 为总体的样本 为总体的样本 为总体的样本 为总体的样本 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 求未知参数求未知参数求未知参数求未知参数 1 01 1 01 1 01 1 01 0 0 0 0 xxxxxxxx f xf xf xf x 最大似然估计 最大似然估计 最大似然估计 最大似然估计 设设设设 12121212 n n n n xxxxxxxxxxxx 为样本值为样本值为样本值为样本值 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n i i i i i i i i x x x x 1 1 1 1 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 n n n n n n n n i i i i i i i i LxLxLxLx 1 1 1 1 ln 1 lnln 1 lnln 1 lnln 1 ln n n n n i i i i i i i i nxnxnxnx 令对数似然函数的导数为零 得 令对数似然函数的导数为零 得 令对数似然函数的导数为零 得 令对数似然函数的导数为零 得 1 1 1 1 ln ln ln ln lnlnlnln 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i dLndLndLndLn x x x x d d d d 0 0 0 0 解得参数解得参数解得参数解得参数 的最大似然估计为 的最大似然估计为 的最大似然估计为 的最大似然估计为 1 1 1 1 1 1 1 1 lnlnlnln n n n n i i i i i i i i n n n n X X X X 14141414 Uniform DistributionUniform DistributionUniform DistributionUniform Distribution 解 总体的概率密度为总体的概率密度为总体的概率密度为总体的概率密度为 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x f xf xf xf x 其其其其他他他他 总体的分布函数为总体的分布函数为总体的分布函数为总体的分布函数为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x x x x x F xxF xxF xxF xx x x x x 的最大似然估计是否为的最大似然估计是否为的最大似然估计是否为的最大似然估计是否为 0 0 0 0 XUXUXUXU 未知 未知 未知 未知 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 讨论参数讨论参数讨论参数讨论参数 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 最小可能取值为最小可能取值为最小可能取值为最小可能取值为 12121212 max max max max n n n n xxxxxxxxxxxx 12121212 max max max max n n n n xxxxxxxxxxxx 最大似然估计值为最大似然估计值为最大似然估计值为最大似然估计值为即 即 即 即 因此 因此 因此 因此 最大似然估计量为最大似然估计量为最大似然估计量为最大似然估计量为 12121212 max max max max n n n n XXXXXXXXXXXX 15151515 的分布函数为 的分布函数为 的分布函数为 的分布函数为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n z z z z z z z z F zF zzF zF zzF zF zzF zF zz z z z z 的密度函数为 的密度函数为 的密度函数为 的密度函数为 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n nznznznz dF zdF zdF zdF z z z z z fzfzfzfz dzdzdzdz 其其其其他他他他 Ezfz dzEzfz dzEzfz dzEzfz dz 1 1 1 1 0 0 0 0 n n n n n n n n nznznznz zdzzdzzdzzdz 0 0 0 0 n n n n n n n n nznznznz dzdzdzdz 0 0 0 0 n n n n n n n n nznznznz dzdzdzdz 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 n n n n n n n n nznznznz n n n n 1 1 1 1 n n n n n n n n 不是 不是不是不是 无偏估计 无偏估计 无偏估计 无偏估计 但又因为但又因为但又因为但又因为 limlim limlim limlim limlim 1 1 1 1 nnnnnnnn n n n n E E E E n n n n 的数学期望为 的数学期望为 的数学期望为 的数学期望为 的数学期望为 的数学期望为 的数学期望为 的数学期望为 是是是是 渐近无偏估计 渐近无偏估计 渐近无偏估计 渐近无偏估计 16161616 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x f xexf xexf xexf xex 解 例12 设设设设 求未知参数求未知参数求未知参数求未知参数 是是是是 X X X X 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 证明 证明 证明 证明 2 2 2 2 XNXNXNXN 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 1 1 1 1 2 2 2 2 的无偏估计量的方差下界 的无偏估计量的方差下界 的无偏估计量的方差下界 的无偏估计量的方差下界 1 1 1 1 X X X X的密度函数为 的密度函数为 的密度函数为 的密度函数为 2 2 2 2 ln ln ln ln f xxf xxf xxf xx 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 ln ln 2 ln ln 2 ln ln 2 2 2 2 2 x x x x f xf xf xf x 2 2 2 2 ln ln ln ln f Xf Xf Xf X IEIEIEIE 2 2 2 2 2 2 2 2 X X X X E E E E 2 2 2 2 4 4 4 4 X X X X E E E E 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 EXEXEXEX 4 4 4 4 1 1 1 1 DXDXDXDX 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 克拉美 克拉美克拉美克拉美 罗不等式的下界为 罗不等式的下界为 罗不等式的下界为 罗不等式的下界为 2 2 2 2 1 1 1 1 nInnInnInnIn 2 2 2 2 是是是是 X X X X 的无偏估计 且的无偏估计 且的无偏估计 且的无偏估计 且 DD XDD XDD XDD X 2 2 2 2 n n n n 1 1 1 1 nInInInI 是是是是 X X X X 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 17171717 证明 例13 设总体设总体设总体设总体已知 已知 已知 已知 是是是是 22222222 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i X X X X n n n n 证明 证明 证明 证明 2 2 2 2 XNXNXNXN 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 2 2 2 2 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 X X X X的密度函数为 的密度函数为 的密度函数为 的密度函数为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x f xexf xexf xexf xex 未知参数 未知参数 未知参数 未知参数 XPXPXPXP 12121212 n n n n XXXXXXXXXXXX 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 来自总体的样本 的最大似然估计是的最大似然估计是的最大似然估计是的最大似然估计是 证明 证明 证明 证明 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 似然函数为 似然函数为 似然函数为 似然函数为 1 1 1 1 i i i i x x x x n n n n i i i i i i i i e e e e x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i x x x x n n n n n n n n i i i i i i i i e e e e x x x x 似然函数取对数为 似然函数取对数为 似然函数取对数为 似然函数取对数为 1 1 1 1 1 1 1 1 ln lnln lnln lnln ln n n n n i i i i i i i i x x x x n n n n n n n n i i i i i i i i e e e e L L L L x x x x 11111111 lnln lnln lnln lnln nnnnnnnn iiiiiiii iiiiiiii xnxxnxxnxxnx 令对数似然函数的导数为零 可得 令对数似然函数的导数为零 可得 令对数似然函数的导数为零 可得 令对数似然函数的导数为零 可得 1 1 1 1 ln ln ln ln n n n n i i i i i i i i x x x x dLdLdLdL n n n n d d d d 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i x x x x n n n n 的最大似然估计的最大似然估计的最大似然估计的最大似然估计 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i XXXXXXXX n n n n 20202020 XPXPXPXP E XE XE XE X D XD XD XD X EE XEE XEE XEE X E XE XE XE X 是是是是 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 的无偏估计 X X X Xe e e e f Xf Xf Xf X X X X X ln lnln ln lnln ln lnln ln lnln f XXXf XXXf XXXf XXX ln ln ln ln 1 1 1 1 df XXdf XXdf XXdf XX d d d d 2 2 2 2 22222222 ln ln ln ln df XXdf XXdf XXdf XX d d d d 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln ln ln df Xdf Xdf Xdf X IEIEIEIE d d d d 2 2 2 2 X X X X E E E E 2 2 2 2 X X X X E E E E 2 2 2 2 EXEXEXEX 2 2 2 2 1 1 1 1 的无偏估计的方差的下界为 的无偏估计的方差的下界为 的无偏估计的方差的下界为 的无偏估计的方差的下界为 1 1 1 1 nInnInnInnIn 又又又又 DD XDD XDD XDD X DXDXDXDX n n n n n n n n 1 1 1 1 nInInInI X X X X 是 是是是 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 的有效估计量 21212121 解 这里这里这里这里 2 2 2 2 均未知 均未知 均未知 均未知 10 95 10 95 10 95 10 95 20 025 20 025 20 025 20 025 16 16 16 16 n n n n 16161616 11111111 11111111 503 75 503 75 503 75 503 75 16161616 n n n n iiiiiiii iiiiiiii xxxxxxxxxxxx n n n n 22222222 1 1 1 1 1 1 1 1 38 467 38 467 38 467 38 467 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i SxxSxxSxxSxx n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 38 4676 2022 38 4676 2022 38 4676 2022 38 4676 2022 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i SxxSxxSxxSxx n n n n 20 025 20 025 20 025 20 025 1 16 1 2 1315 1 16 1 2 1315 1 16 1 2 1315 1 16 1 2 1315 tnttnttnttnt 的置信度为的置信度为的置信度为的置信度为0 950 950 950 95的置信区间 的置信区间 的置信区间 的置信区间 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 SSSSSSSS xtnxtnxtnxtnxtnxtnxtnxtn nnnnnnnn 0 0250 0250 0250 0250 0250 0250 0250 025 6 20226 20226 20226 20226 20226 20226 20226 2022 503 75 161 503 75 161 503 75 161 503 75 161 503 75 161 503 75 161 503 75 161 503 75 161 1616161616161616 tttttttt 500 445 507 055 500 445 507 055 500 445 507 055 500 445 507 055 例15 有一大批糖果 现从中随机地取有一大批糖果 现从中随机地取有一大批糖果 现从中随机地取有一大批糖果 现从中随机地取16161616袋 称得质量如下 袋 称得质量如下 袋 称得质量如下 袋 称得质量如下 求求求求 置信度为置信度为置信度为置信度为0 950 950 950 95的置信区间 的置信区间 的置信区间 的置信区间 设袋装糖果的质量设袋装糖果的质量设袋装糖果的质量设袋装糖果的质量 506 508 499 503 504 510 497 512 506 508 499 503 504 510 497 512 506 508 499 503 504 510 497 512 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 514 505 493 496 506 502 509 496 514 505 493 496 506 502 509 496 514 505 493 496 506 502 509 496 2 2 2 2 XNXNXNXN unit gunit gunit gunit g 22222222 2 2 2 2 1 1 1 1 6400 9 6400 9 6400 9 6400 9 S S S S 解 600 600 600 600 x x x x 查表得 查表得 查表得 查表得 1 1 1 1 10 10 10 10 n n n n 由题意可知 由题意可知 由题意可知 由题意可知 2120 025 2120 025 2120 025 2120 025 2 18 2 1009 2 18 2 1009 2 18 2 1009 2 18 2 1009 tnnttnnttnnttnnt 222222222222 12121212 未知 未知 未知 未知 例16 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用 选为了估计磷肥对某种农作物增产的作用 选为了估计磷肥对某种农作物增产的作用 选为了估计磷肥对某种农作物增产的作用 选20202020块条件大致相块条件大致相块条件大致相块条件大致相 设施磷肥的地块单位面积产量设施磷肥的地块单位面积产量设施磷肥的地块单位面积产量设施磷肥的地块单位面积产量 施磷肥 施磷肥 施磷肥 施磷肥 同的地块进行对比试验 其中同的地块进行对比试验 其中同的地块进行对比试验 其中同的地块进行对比试验 其中10101010块地施磷肥 另外块地施磷肥 另外块地施磷肥 另外块地施磷肥 另外10101010块地不施肥 块地不施肥 块地不施肥 块地不施肥 得到单位面积产量 单位 得到单位面积产量 单位 得到单位面积产量 单位 得到单位面积产量 单位 kgkgkgkg 如下 如下 如下 如下 不施磷肥 不施磷肥 不施磷肥 不施磷肥 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 2 2 2 2 1 1 1 1 XNXNXNXN 不施磷肥的地块单位面不施磷肥的地块单位面不施磷肥的地块单位面不施磷肥的地块单位面 积产量积产量积产量积产量 2 2 2 2 2 2 2 2 YNYNYNYN 12121212 求求求求置信度为置信度为置信度为置信度为0 950 950 950 95的置信区间 的置信区间 的置信区间 的置信区间 2 2