第四章(4.1) 实数的连续性.pdf

第第四四章章 实数的实数的连续性连续性 实数的实数的连续性连续性定理定理 闭区间上连续函数闭区间上连续函数整体整体性质的证明性质的证明 第一节 实数的连续性定理 区间套定理 聚点定理 确界定理 有限覆盖定理 公理 单调有界定理 5 4 3 2 1 7 柯西收敛准则 致密性定理 6 nnnnnnnn a aa aa aa aa aa aa aa a 121121121121 nnnnnnnn bbb bbbb bbbb bbbb b 12 112 112 112 1 定理定理 闭区间套定理闭区间套定理 nnnnnnnn abababab若若是是一一个个区区间间套套 即即 或者或者 x x x x l l l l 11111111 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 nnnnnnnnnnnnnnnn ababnababnababnababn 2 lim 0 2 lim 0 2 lim 0 2 lim 0 nnnnnnnn n n n n babababa 一 闭一 闭区间套定理区间套定理 则则存存在在唯唯一一的的实实数数使使 1 2 1 2 1 2 1 2 nnnnnnnn abnabnabnabn 1 1 1 1 n n n n n n n nn n n n b b b ba a a a 证证 由条件由条件1 1 1 1 可知可知 数列数列 a a a an n n n 递增递增 有上界有上界 b b b b1 1 1 1 所以由单调有界定理所以由单调有界定理 可知可知 a a a an n n n 的极限存在的极限存在 从而由条件从而由条件2 2 2 2 可得可得 limlimlimlim limlimlimlimlimlimlimlim n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n a a a aa a a ab b b bb b b b 因为因为 a a a an n n n 递增递增 b b b bn n n n 递减递减 所以所以 n n n nn n n n b b b ba a a a limlimlimlim n n n n n n n n a a a a 设设 这样就证明了这样就证明了 的存在性的存在性 下面来证明唯一性下面来证明唯一性 设设 1 1 1 1 也满足也满足 1 1 1 1n n n nn n n n b b b ba a a a 1 1 1 1 即即惟惟一一性性得得证证 1 1 1 1 0 0 0 0 nnnnnnnn babababa 那那么么 nnnnnnnn a bUa bUa bUa bU 则任给则任给 0 0 0 0 存在存在 N N N N 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n 当当 n n n n N N N N 时时 推论推论 设设 a a a an n n n b b b bn n n n 是一个区间套是一个区间套 nnnnnnnn abababab 证证 由区间套定理的证明可得由区间套定理的证明可得 limlim limlim limlim limlim nnnnnnnn nnnnnnnn abababab 由极限的保号性由极限的保号性 对于任意正数对于任意正数 存在存在 N N N N nnnnnnnn abababab nNnNnNnN 当时 有当时 有 nnnnnnnn abababab nnnnnnnn abababab 00 0 xExii一个至少 supsup xEE Ex 或记为的上确界为称此时 M2M1 上确界 上界 下确界 下确界 定义 下确界为最大的下界 满足以下两个条件若存在一个数给定数集 E xExi 00 0 xExii一个至少 infinf xEE Ex 或记为的下确界为称此时 m2m1 下确界 下界 1 n EnN n 例 sup1EE 1 in f 2 EE 1 1 n n n 0 1 只 要 取 n 任何有限集都存在上下确界 无限集未必存在上下确界 如 对于一个无限数集而言 即使它存在上 下确界 该上 下确界可属于 也可不属于该数集 如果确界属于数集 称确界可达到 如果确界不属于数集 称确界不达到 1 n 例 例 E 1 2 n 01xx 例 E 问 什么样的数集才有上下确界呢 定理 确界定理 设 E 为非空数集 若E有 上界 则E必有唯一的上确界 若E有下界 则E必有唯一的下确界 证明 利用闭区间套定理可以证明确界定理 y y y yx x x xB B B By y y yA A A Ax x x x 有有 满足满足为非空数集为非空数集设设B B B BA A A A例例 infinfinfinfsupsupsupsupB B B BA A A A 且且 证明 证明 数集数集 A A A A 有上确界 数集有上确界 数集 B B B B 有下确界 有下确界 由定义由定义 上确界上确界 sup sup sup sup A A A A 是最小的上界是最小的上界 因此因此 任意任意 证证 由假设由假设 B B B B 中任一数中任一数 y y y y 都是都是 A A A A 的上界的上界 A A A A 中的任中的任 一数一数 x x x x 都是都是 B B B B 的下界的下界 因此由确界因此由确界定定理理 A A A A 有上确有上确 界界 B B B B 有下确界有下确界 y y y y B B B B sup sup sup sup A A A A y y y y 这样这样 sup sup sup sup A A A A 又是又是 B B B B 的一个下界的一个下界 而而 inf inf inf inf B B B B 是最大的下界是最大的下界 因此因此 sup sup sup sup A A A A inf inf inf inf B B B B n 例 用确界定理证明 单调增加有上界的数列 x 存在极限 定义定义 设设 I I I I 为数轴上的一个点集为数轴上的一个点集 S S S S为一些开区间为一些开区间 S S S S 的的集集合合 即即中中的的元元素素均均为为形形如如的的开开区区间间 xISxxISxxISxxISx 若若对对于于任任意意都都存存在在使使 则称则称 S S S S 是是 I I I I 的一个开覆盖的一个开覆盖 若若 S S S S是是 I I I I 的一个开覆盖的一个开覆盖 并且并且S S S S 中的元素中的元素 开区开区间间 仅有有限个仅有有限个 则称则称 S S S S 是是 I I I I 的一个有限开覆盖的一个有限开覆盖 1 1 1 1 11 2 0 1 11 2 0 1 11 2 0 1 11 2 0 1 1 1 1 1 SnISnISnISnI n n n n 例例如如是是区区间间的的 一个开覆盖一个开覆盖 但但S S S S中中找不到有限个区间覆盖找不到有限个区间覆盖I I I I 三 有限覆盖定理三 有限覆盖定理 定理定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 设 S是闭区间 a b 的一个开覆盖 则从 S 中可选 证 海涅 Heine H E 1821 1881 德国 博雷尔 Borel E 1871 1956 法国 出有限个开区间 仍构成闭区间 a b 的一个开覆盖 法一 运用确界定理 来证明 注注 定理中的闭区间不可以定理中的闭区间不可以 改为开区间改为开区间 证证明明 设设A x x a b A x x a b 使使 a x a x 具具有有有有限限覆覆盖盖 A A非非空空 aA aA b b b b又又A A有有上上界界 由由确确界界定定理理 A A有有上上确确界界 设设supA cb supA cb 下下证证 supA b supA b 且且bA bA 1 1 若若c b c 1 1 1 1 2 2 2 2 c c c c scccscccscccsccc 而而与与 是是上上确确界界矛矛盾盾 从从而而 sup sup sup sup cbAbbAcbAbbAcbAbbAcbAbbA即即 下下证证 ba bS s t bba bS s t bba bS s t bba bS s t b bAxbxAbAxbxAbAxbxAbAxbxA 是是 的的上上确确界界 故故存存在在使使得得 2 2 2 2 1 1 1 1 i i i i a xsima xsima xsima xsim 即即有有有有限限覆覆盖盖 设设为为 2 2 2 2 s s s s 从从而而是是 a b a b 的的一一个个有有限限开开覆覆盖盖 证证明明 法法二二 闭闭区区间间套套定定理理 f xC a bf xa bf xC a bf xa bf xC a bf xa bf xC a bf xa b证证明明 若若则则在在上上有有界界 有限覆盖定理的应用有限覆盖定理的应用 分析 分析 因为因为 f f f f x x x x 在在 a ba ba ba b 局部有界的性质化为整体有界性质局部有界的性质化为整体有界性质 上每一点连续上每一点连续 从而局部有界从而局部有界 我们的任务就是将我们的任务就是将 0 0 0 0 0 0 0 0 tttttttt ta bMta bMta bMta bM 证证 对对于于任任意意的的存存在在以以及及 tttttttt xtta bxtta bxtta bxtta b 当时当时 t t t t f xMf xMf xMf xM H H H H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间 a a a a b b b b 由有限覆盖定理由有限覆盖定理 在在 H H H H 中中存存 11111111 11111111 nnnnnnnn ttntntttntntttntntttntnt tttttttttttttttt 1 1 1 1 xa biinxa biinxa biinxa biin 于任意存在使于任意存在使 tttttttt ttta bttta bttta bttta bH H H H 设开区间集设开区间集 显然显然 12121212 max max max max n n n n tttttttttttt a bMMMMa bMMMMa bMMMMa bMMMM 覆盖了令覆盖了令则对则对 在有限个开区间在有限个开区间 iiiiiiiii i i i itittitittitittititt xttf xMMxttf xMMxttf xMMxttf xMM 因此因此 设设 E E E E 为数轴上的非空点集为数轴上的非空点集 为直线上的为直线上的 一个定点一个定点 当然可以属于当然可以属于 E E E E 也可以不属于也可以不属于E E E E 定义定义若对若对于任意正数于任意正数 在在 中含有中含有E E E E 的无限的无限 个点个点 四 四 WeierstrassWeierstrass聚点定理聚点定理 则称则称 是是 E E E E 的一个的一个聚点聚点 UEUEUEUE 无无限限集集即即 1 1 1 1 0 0 0 0S S S S n n n n 比比如如 是是的的一一个个聚聚点点 若设若设 S S S S 是是 0 0 0 0 1 1 1 1 中的无理数全体中的无理数全体 则则 S S S S 的聚点的聚点集合集合 S S S S 为闭区间为闭区间 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 若若对对于于任任意意 定义定义 UEEUEEUEEUEE 那那么么称称是是的的一一个个聚聚点点 定义定义 若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列 n xE lim n n x 使得极限 称为E的一个聚点 定义定义 定义定义 由定义直接得到由定义直接得到 定义定义 定义定义 因为因为 0 0 0 0 0 0 0 0 UEUEUEUE 那么那么 11111111 1 1 1 1 1 1 1 1 xUExUExUExUE 取取 2122212221222122 min 1 2 min 1 2 min 1 2 min 1 2 xxUExxUExxUExxUE 取取 1 1 1 1 min 1 min 1 min 1 min 1 nnnnnnnnnnnnnnnn n xxUEn xxUEn xxUEn xxUE 取取 nnnnnnnnnnnn xExxExxExxEx 这这样样就就得得到到一一列列由由的的取取法法两两两两 1 1 1 1 0 0 0 0 n n n n x x x x n n n nn n n n 0 0 0 0 使得使得 SM MSM MSM MSM M SSxM MxSSxM MxSSxM MxSSxM Mx 若的聚点集合那么 任给若的聚点集合那么 任给 xxxxxxxx x x x x 0 0 0 0 都不是聚点 这就是说存在表示与有都不是聚点 这就是说存在表示与有 xxxxxxxx xxSxxSxxSxxS 关使得有限集关使得有限集 很明显很明显 H H H H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间 MMMM M M M M 根据有限覆盖根据有限覆盖 0 0 0 0 xxxxxxxxxxxx HxxxM MHxxxM MHxxxM MHxxxM M xxxxxxxx xxSxxSxxSxxS 有限集有限集 设开区间集设开区间集 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 iiiiiiiiiiiiiiii HxxinHxxinHxxinHxxin 由由H H H H 的构造的构造 有限集 有限集 S S S Sx x x xx x x x i i i ii i i ii i i ii i i i 所以所以 有限集 有限集 S S S Sx x x xx x x xS S S SMMMMMMMMS S S S i i i ii i i ii i i ii i i i n n n n i i i i 1 1 1 1 矛盾矛盾 定理定理 存在存在 H H H H 中的有限子覆盖中的有限子覆盖 f xC a bf xa bf xC a bf xa bf xC a bf xa bf xC a bf xa b 例例 应应用用聚聚点点定定理理证证明明闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的有有界界性性 若若则则在在上上有有界界 聚点定理的应用聚点定理的应用 五 致密性定理五 致密性定理 定理 定理 致密性定理致密性定理 有界数列必有收敛子列有界数列