第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc

第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形ABCD内接于圆，则有； EDCBA定理：在四边形ABCD中，有，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。【解析】在四边形ABCD内取点E，使，则：和 相似，所以，又因为且，所以和相似，所以，所以，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。1.1 直接应用托勒密定理例1 如图所示，P是正ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗若借助托勒密定理论证，则有PABC=PBACPCAB，AB=BC=ACPA=PB+PC1. 2 完善图形 借助托勒密定理例2 证明“勾股定理”：在RtABC中，B=90，求证：【解析】：如图，作以RtABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形由托勒密定理，有ACBD=ABCDADBC ，又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得例3 如图，在ABC中，A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：ADBC=BD(ABAC)【解析】：连结CD，依托勒密定理，有ADBCABCDACBD1=2， BD=CD故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)1.3 构造图形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是实数，且，求证：【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作RtACB和RtADB，使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的据托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD， 1.4 巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5 已知a、b、c是ABC的三边，且，求证：A=2B分析：将变形为aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c【解析】：如图 ，作ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DAAD=BC，ABD=BAC又BDA=ACB(对同弧)，1=2于是，则依托勒密定理，有BCAD=ABCDBDAC ，而已知，即 ，比较得，3=1=2，BAC=2ABC1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 在ABC中，已知ABC=124，求证：。【解析】：将结论变形为ACBCABBC=ABAC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形如图，作ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD，易证AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC，两端同除以，得。二、 西姆松定理西姆松定理：若从外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。证明：连接DE、DF，显然，只需证明，即可；因为，所以B、E、P、D四点共圆，所以，同理可得：，又因为，且，所以，所以，所以D、E、F三点共线。西姆松逆定理：从一点P向的三边（或它们的延长线）作垂线，若垂足L、M、N在同一直线上，则P在的外接圆上。例7 设的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上。【解析】设的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆，因为由西姆松定理有：Q、R、S三点共线，又因为O、F、B、D四点共圆，且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线，所以P、Q、R、S四点共圆例8 四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。【解析】作，由西姆松定理有：F、E、G共线，又因为，所以四边形BFDG为矩形，所以对角线FG平分另一条对角线BD。例9 求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。【解析】如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G，所以，所以，即圆ABF过点G，同理圆AED也过点G，所以圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G，若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，有西姆松定理可知，L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上。例10 四边形ABCD是圆内接四边形，且是直